河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二上学期第三次

河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二上学期第三次月

考

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若抛物线yax2的准线的方程是y2，则实数a的值是（ ）

11A． B． C．8 D．8

882. 不等式

31的解集是（ ） x1A．,11,2 B．1,2 C．,2 D．1,2 3. 夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7℃，已知山顶的气温是14.1℃，山脚的气温是26℃.那么，此山相对于山脚的高度是（ ）

A．1500米 B．1600米 C．1700米 D．1800米

4. 等差数列an共有3m项，若前2m项的和为200，前3m项的和为225，则中间m项的和为（ ）

A．50 B．75 C．100 D．125

5. 满足ABC120,AC12,BCk的ABC恰有一个，则k的取值范围是（ ） A．k83 B．0k12 C．k12 D．0k12或k83 6. 已知等比数列an中，an0，a1a2a84,a1a2a816，则值为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

xya,7. 设x,y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a（ ）

xy1,111的a1a2a8A．5 B．3 C．5或3 D．5或3

x2y28. 已知O为坐标原点，F是椭圆C:221ab0的左焦点，A,B分别为C的左、

ab右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.

若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）

1231A． B． C． D．

23439. 钝角三角形的三边为a,a1,a2，其最大角不超过120，则a的取值范围是（ ） A．0a B．

35a3 C．2a3 D．1a 2210. 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若SAOB4,SCOD9，则四边形ABCD面积的最小值为（ ）

A．21 B．25 C．26 D．36

11. 已知P为抛物线y24x上一个动点，直线l1:x1,l2:xy30，则P到直线l1、l2的距离之和的最小值为（ ）

A．22 B．4 C．2 D．321 212. 已知等差数列an有无穷项，且每一项均为自然数，若75，99，235为an中的项，则下列自然数中一定是an中的项的是（ ）

A．2017 B．2019 C．2021 D．2023

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 若等差数列an满足a7a8a90,a7a100，则当 时an的前n项和最大．

14. 在ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知asin2B3bsinA，若

1cosA，则sinC的值为 ．

3x215. F1,F2是椭圆C1:y21与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限

4的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 ．

16. O:x2y216，A2,0,B2,0为两个定点，l是O的一条切线，若过A,B两点的抛物线以直线l为准线，则该抛物线的焦点的轨迹方程是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （1）求对称轴是x轴，焦点在直线3x4y120上的抛物线的标准方程； （2）过抛物线y24x焦点F的直线l它交于A、B两点，求弦AB的中点的轨迹方程. 18. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a3,1（1）求角A的大小； （2）求bc的最大值.

19. 若数列an的首项为1，且2an1an2. （1）求证：an2是等比数列； （2）求数列an的通项公式；

（3）若bnnan2，求证：数列的前n项和Sn4. 20. 已知数列an中，a11,anan11. 2ntanA2c. tanBb（1）求证：数列a2n与a2n1都是等比数列；

（2）若数列an的前2n项和为T2n.令bn3T2nnn1，求数列bn的最大项. 21. 已知动圆P过定点A1,0，且在定圆B:x1y216的内部与其相内切. （1）求动圆圆心P的轨迹方程E；

（2）直线l:yx1与E交于C,D两点，与圆B交于G,H两点，求

GHCD2的值.

x2y2322. 已知点A1,,O为坐标原点，E,F是椭圆C:1上的两个动点，满足直线AE432与直线AF关于直线x1对称.

（1）证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值； （2）求OEF的面积最大时直线EF的方程.

试卷答案

一、选择题

1-5: BDCBB 6-10: ABABB 11、12：AB

二、填空题

2616x2y213. 8 14. 15. 16.1y0

621612三、解答题

17.解：（1）对称轴是x轴则顶点在焦点在x轴 4x4y120

所以F3,0，则y212x.

p3，2p12， 2（2）由题知抛物线焦点为1,0，

当直线的斜率存在时，设为k，则焦点弦方程为ykx1，

代入抛物线方程得所以k2x22k24xk20，由题意知斜率不等于0，

2k24方程是一个一元二次方程，由韦达定理：x1x2 2kx1x2k22所以中点坐标：x 2k2代入直线方程

中点纵坐标；ykx1k222即中点为2,

kk2 k消参数k，得其方程为y22x2

当直线的斜率不存在时，直线的中点是1,0，符合题意， 综上所述，答案为y22x2.

18.解：（1）在ABC中，∵1∴

tanA2ctanA2cb， ，∴整理可得：tanBbtanBbsinAcosB2sinCsinB，∴sinAcosB2sinCcosAsinBcosA， cosAsinBsinB1∴sinC2sinCcosA，∴cosA，可得：A60.

2（2）由（1），根据余弦定理可得： 9abc2bccos2223bc93bc923bc42，∴解得：bc36，

2∴bc6，当且仅当bc时，bcmax6，故bc的最大值为6.

119.解：（1）由an1an2得an1an1，

2∴an121an2，a11，∴an20，a121， 21的等比数列 2n1∴an2是首项为1公比为

1（2）由（1）知an2121，∴an22n1nN

*n11n11（3）∵bnn22n

222n123n111Sn123n2222311111，Sn23n 22222n1nn1n11n21n

222n111111∴Sn122222n1122n ∴Sn42n224.

20.（1）证明：数列an中，a11， 1anan1nN*，

2n∴an1an2∴

12n1nN，

*an21， an2

∵a11，∴a21， 21为公比的等比数列， 2∴数列a2n1是以1为首项，以数列a2n是以

11为首项，以为公比的等比数列. 22（2）解：由（1）得

T2na1a3a2n1a2a4a2n 11111n322n23n.

1121122∴bn3T2nnn1 13nn1，

21bn13n1n22n1n，

1n2n ∴bn1bn3n12213n12n1n2n，

∴b1b4bn， ∴bnmaxb2b39. 221.解：（1）如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点，即定点A1,0和定圆圆心B1,0距离之和恰好等于定圆半径， 即PAPBPMPBBM4，

∴点P的轨迹E是以A,B为两焦点，半长轴为2，半短轴长为b22123的椭圆：x2y21. 43

x2y2（2）将yx1代入1得，7x28x80，

4382824所以CD24，又由垂径定理得，

777GH214714101，所以. GH21621424CD122723x2y222.解：（1）设直线AE方程为：ykx1，代入1得

2433k34kx4k32kx4120 22223设ExE,yE,FxF,yF，因为点A1,在椭圆上，所以

234k2,ykx3k xEEE34k22又由题知，直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得

234k2,ykx3k， xEEE34k22所以直线EF的斜率kEF=yFyEkxFxE2k1

xFxExFxE22即直线EF的斜率为定值，其值为

1. 21x2y2（2）由（1）可设直线EF方程为：yxm，代入1得

243x2mxm230，则xExFm,xExFm23.由0可得m24.

1EF122xExF24xExFm5， 123m2，O到直线EF的距离d252可得SOEF2111EFd12m23m4123m223， 222当且仅当m22（满足m24），即m2时取等，此时直线EF的方程为：y或y

1x2，21x2. 2