常见排列组合题型及解题策略

可重复的排列求幂法 相邻问题捆绑法 相离问题插空法

元素分析法（位置分析法） 多排问题单排法

定序问题缩倍法（等几率法） 标号排位问题（不配对问题）

不同元素的分配问题（先分堆再分配） 相同元素的分配问题隔板法：

多面手问题（ 分类法---选定标准） 走楼梯问题 （分类法与插空法相结合） 排数问题（注意数字“0”）染色问题

“至多”“至少”问题用间接法或分类: 十三． 几何中的排列组合问题:

排列组合常见题型及解题策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重

复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数

【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？

（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）3（2）4 （3）4

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

433【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7种不同方案.

【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A、8 B、3 C、A8 D、

3C8

3863【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠 军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有8种 不同的结果。所以选A

3二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有

4【解析】：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A424种

【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，

2222C3A2A4A2=432 种

12222其中男生甲站两端的有A2C3A2A3A2=144，符合条件的排法故共有288

三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排

列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

52【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法52种数是A5A63600种

【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）

111【解析】： A7A8A9=504

【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的 演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为A5A6＝3600

【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同排法种数是

【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有A5＝20种不同排法。

【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目， 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变， 则该晚会的节目单的编排总数为 种. 【解析】：A9A10A11=990

【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

3【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方

111252法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决.

【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A3，○*○*○*○，在四个空 中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A4种，所以每个人左右两边都空位的排法有

3A14A3=24种.

31解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A4=24种.

【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？

【解析】：先排好8辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9 个空档中任选一个，将空车位置插入有C9种方法，所以共有C9A8种方法. 注：题中*表示元素，○表示空.

11883四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。

【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）

A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种

23【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。A3A336

113 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C2C2A324；若小张、小赵都入选，则有 22选法A2A312，共有选法36种，选A.

【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

14【解析】：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；

14所以共有A3A472种。.

【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？

1625766【解析】 法一：A5A63600 法二： A6A53600 法三：A7A6A63600

五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 （2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为 （A）A15A10

55（B）A15A10A5A3 （C）A15

5553155553（D）A15A10A5A3

（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共

6A6720种，选C.

（2）答案：C

2（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某1个元素排在后半15段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有

125A4A4A55760种排法.

五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中某几个元素必须保持一定的顺序，

可用缩小倍数的方法.

【例1】.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）

【解析】：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即

15A560种 2【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？

3【解析】：法一：A9 法二：

19

A9 6A6

【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C

在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】：法一：A6

3法二：

16A6 3A3六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排

入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9 种填法，选B.

【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B 【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡， 则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种 【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；

第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的， （2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有3(12)9种分配方式。 故选（B）

【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )

（A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种 答案：B

六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法

【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1） 分成1本、2本、3本三组；

（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； （3） 分成每组都是2本的三个组； （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； （5） 分给5人每人至少1本。

222C6C4C2222【解析】：（1）CCC （2）CCCA （3） （4）C6C4C2 （5）3A3

16253316253333211111C5C5C4C3C2C15A5 4A4【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．

211C4C2C1【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有; 2A2第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A3所以满足条件得分配的方案有

211C4C2C13A3362A2

3说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种

311C5C2C13A3【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种， 2A2若是1,1,3，

122C5C4C23A则有＝90种，所以共有150种，选A 32A2【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A．70 B．140 C．280 D．840 答案：（ A ）

【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）

（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种

【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5

12C5C4名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有 15种方法，再将3组分到3个班，2A23共有15A390种不同的分配方案，选B.

【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超 过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 A．16种 B．36种 C．42种 D．60种

33【解析】：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴C42C32A22C4A3362460 故

选D；

【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：B.

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？

44C12C84C43答案：A3A33

【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担 这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第

211三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C72520种，选C.

【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发 建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

【解析】：因为甲乙有条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

4①若甲乙都不参加，则有派遣方案A8种；

3②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A8方法，所以共

3有3A8；

3③若乙参加而甲不参加同理也有3A8种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方

法，然后再安排其余8人到另

22两个城市有A8种，共有7A8方法.所以共有不同的派遣方法总数为

A843A833A837A824088种

【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

2【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在四个盒中每233次排3个有A4种，故共有C4A4144种.

七．相同元素的分配问题隔板法：

【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数

不少于其编号数，则有多少种不同的放法？

【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17 个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C16120种。

2

【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆 至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，

6故共有不同的分配方案为C984种.

变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种

变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其 中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件 的关灯办法有 种 【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？

【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有C4种方法。

2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有C3、C4、C5种方法。

22233、由分步计数原理可得C4C3C4C5=720种

3222八．多面手问题（ 分类法---选定标准）

【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、 日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日 语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？

4431441324423113 C5C4C5C2C4C5C2C4C5C4C5C4C5C2C1C4

变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中

选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?

答案 ：185

九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）

【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之

间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）； 3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：

（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，

1有 C66种

（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空

2中，有C615种走法。

4）有3次（不可能）

5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台

12阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种C5C515走法；

6）有5次（不可能） 故总共有：1+6+15+15=37种。

变式：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共

有( )

（A）34种 （C）

（B）55种 （C）种 （D）144种 答案：

十．排数问题（注意数字“0”）

【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）

A、210种 B、300种 C、4种 D、600种

5【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，

11311311313A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B.

（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

【解析】 ：将I1,2,3,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集

97，能被4除余2的99，易见这四个集

A4,8,12,100；能被4除余1的数集B1,5,9,数集C2,6,,98，能被4除余3的数集D3,7,11,合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C25C25C25C25种.

2112十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;

（2）根据相对区域是否同色分类讨论;

（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

【例1】 将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，

如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.

【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂

12A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有C5A460种方法。

(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有A4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有

1211C5A4C2C2240种方法。

5(3)若恰用五种颜色染色，有A5120种染色法

2

综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.

【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有54360种染色方法。

由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论： C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；

C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有13227种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法是607420

【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图， 对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 总体实施分步完成,可分为四大步:

①给S涂色有5种方法;

②给A涂色有4种方法(与S不同色); ③给B涂色有3种方法(与A,S不同色);

④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法; 当C与A同色时,C有一种涂色方法(与A同色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.

由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法 [规律小结] 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对

区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

十二．“至多”“至少”问题用间接法或分类: 十三． 几何中的排列组合问题:

xy22【例1】 已知直线1（a，b是非零常数）与圆xy100有公共点，且公共点的

ab横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条

【解析】： 圆上的整点有：(6,8) ,(8,6),(10,0),(010) 12 个

21 C12=66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有C12=12 ，

其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60

答案:60