高考正弦定理和余弦定理练习题及答案精选.

一、选择题

1. 已知△ABC中，a＝c＝2，A＝30°，则b＝( ) A. 3 C. 33 答案：B

解析：∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°. 由余弦定理可得b＝23.

2. △ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝A. 1个 C. 3个 答案：B 解析：∵asinB＝

10

， 2

2

，则符合条件的三角形有( ) 2

B. 23 D. 3＋1

B. 2个 D. 0个

∴asinB3．(2010·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝( )

A．30° C．120° 答案：A

解析：利用正弦定理，sinC＝23sinB可化为c＝23b. 又∵a2－b2＝3bc，

∴a2－b2＝3b×23b＝6b2，即a2＝7b2，a＝7b. b2＋c2－a2在△ABC中，cosA＝ 2bcb2＋23b2－7b23＝＝，

22b×23b∴A＝30°.

4．(2010·湖南卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则( )

A．a>b

B．a1 / 5word.

B．60° D．150°

C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定

答案：A

解析：由正弦定理，得csin120°＝a

sinA，

a·3∴sinA＝261

2a

＝4>2.

∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.

5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5

18 B. 34 C. 32

D. 78

答案：D

解析：方法一：设三角形的底边长为a，则周长为5a， ∴腰长为2a，由余弦定理知cosα＝2a2＋2a2－a27

2×2a×2a＝8.

方法二：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

则AC＝2a，CD＝aα1

2，∴sin2＝4，

∴cosα＝1－2sin2α

2 ＝1－2×17

16＝8

.

6. (2010·泉州模拟)△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( A. 3

2

B. 34 C.

3

2

或3

D.

332或4

答案：D

解析：∵sinCsinB

3＝1，

∴sinC＝3·sin30°＝

3

2

. 2 / 5word.

) ∴C＝60°或C＝120°.

13当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝×1×3＝，

2213

当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝×1×3sin30°＝. 24即△ABC的面积为二、填空题

2π

7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝，则a＝________.

3答案：1

bc1

解析：由正弦定理＝，即＝sinBsinCsinBππ

又b66

8．(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．

π

答案： 6

解析：∵sinB＋cosB＝2， π

∴sin(B＋)＝1.

4π

又04

221

由正弦定理，知＝，∴sinA＝. sinAsinB2π

又a6

1

9. (2010·课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD

2＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.

答案：60°

13

解析：S△ADC＝×2×DC×＝3－3，

22解得DC＝2(3－1)，

∴BD＝3－1，BC＝3(3－1)．

在△ABD中，AB2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos120°＝6， ∴AB＝6.

3 / 5word.

33

或. 24

31

，sinB＝. 2π2sin3

在△ACD中，AC2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos60°＝24－123， ∴AC＝6(3－1)，

AB2＋AC2－BC2则cos∠BAC＝

2AB·AC＝

6＋24－123－94－231

＝， 22×6×6×3－1

∴∠BAC＝60°. 三、解答题

10. 如图，△OAB是等边三角形，∠AOC＝45°，OC＝2，A、B、C三点共线．

(1)求sin∠BOC的值； (2)求线段BC的长．

解：(1)∵△AOB是等边三角形，∠AOC＝45°， ∴∠BOC＝45°＋60°， ∴sin∠BOC＝sin(45°＋60°) ＝sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝

2＋6

. 4

OCBC

＝，

sin∠OBCsin∠BOCOC

sin∠OBC

(2)在△OBC中，

∴BC＝sin∠BOC×＝

2＋623

×＝1＋. 4sin60°3

511. (2010·全国Ⅱ卷)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝

133

，求AD. 5

3π

解：由cos∠ADC＝>0知B<，

52124

由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，

135从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)

4 / 5word.

＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB 4123533＝×－×＝. 51351365

ADBD

由正弦定理得＝，

sinBsin∠BAD533×

13BD·sinB

AD＝＝＝25.

33sin∠BAD

65

12. (2010·安徽卷)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并ππ

＋Bsin－B＋sin2B. 且sin2A＝sin33

(1)求角A的值；

→→

(2)若AB·AC＝12，a＝27，求b，c(其中b31cosB＋sinB

22

3cosB－1sinB＋sin2B＝3cos2B－1sin2B＋sin2B＝3， 44422

3

所以sinA＝±.

2π

又A为锐角，所以A＝. 3

→→(2)由AB·AC＝12，可得cbcosA＝12.① π

由(1)知A＝，所以cb＝24.②

3

由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝27及①代入，得c2＋b2＝52，③ ③＋②×2，得(c＋b)2＝100， 所以c＋b＝10.

因此c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根． 解此方程并由c>b知c＝6，b＝4.

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