实验二

1、实验内容

一、编写子函数

计算长度为N的序列x(n) （ 0≤n ≤ N-1）的离散时间傅里叶变换，将频率均匀离散化， 一个周期内有M个点。要求画出虚部、实部、幅度、相位，并标注坐标轴。 二、对矩形序列x(n)=RN(n)

1. 用公式表示x(n)的频谱，求出其幅度谱和相位谱； 2. 利用编写的子函数，计算并画出x(n)的频谱

1）固定M，改变N，观察N的取值对频谱的最大值、过零点、第一旁瓣幅度与最大值的比值以及相位谱的影响；

2）固定N，改变M，观察M的取值对幅度谱和相位谱的影响。 如： M=4，26，100 N=4，26，100 三、利用子函数，画出信号x(n)=sin(pi*n/5)和 的幅度谱和相位谱。 N分别取为8，16，20，，号频谱的相同和不同之处，为什么会有这样的结果？2、编程原理、思路和公式

一、给定长度为N的序列x(n)的离散时间傅里叶变换（X(ejwN1)x(n)ejwnx(n)1n0 2可以看出x(n)的DTFT仍然是一个连续函数，所以需要将数字角频域频率周期内离散点有M个，则第k个点所代表的数字角频率变成：

N1X(ejw)X(ej2Mk)x(n)ej2Mnkn0 ，

0对于编程，可以用循环程序来计算求和，也可以利用矩阵乘法来计算求和公式。使用矩阵乘法来计算编程的。可以用下面的图示表示整个计算思路：n为一行N列的行矩阵，k为一行M列的行矩阵，

n1nn2,ww1,w2,...,wM1,nw...nN1ej2Mn*k是N行M列的矩阵，序列x(n)为 4)+cos(pi*n/8) （ 0≤n ≤ N-1），128，M=256。观察N取不同值时信 DTFT）的公式为

X(jew)ejwndw

w离散化，设一个

w2Mk。这样x(n)的DTFT

kM1

下面是

w2Mk也是一行M列的行矩阵，

n1w1,n1w2,...,n1wM1n2w1,n2w2,...,n2wM1........................nN1w1,nN1w2,...nN1wM1

列的行矩阵，而

X(ej2Mk)是一行M

x(n)=cos(pi*n/75N列的列矩阵，根据矩阵的乘法，有下面的图示：

n1w1,n1w2,...,n1wM12jn*knw,nw,...,nw22M12122)x(n)*eMx1,x2,...,xM1*exp(jM........................nN1w1,nN1w2,...nN1wM1X1,X2,...,XM1

所以整个计算过程只需要一条指令即可完成提高了计算速度，减少了计算时间。二、对矩形序列1. 用公式表示X(ejw)所以幅度谱

2. 利用编写的子函数，画出 将序列三、利用子函数，画出信号幅度谱和相位谱 将序列频谱更加真实。利用一个循环程序，将频谱图一次全部获得。3、程序脚本，并注释一、编写子函数计算给定长度为function DTFT(xn,N,M)

n=0:N-1; k=0:M-1; w=2*pi/M*k; Xw=xn*exp(-j*(n'*w)); Xw_real=real(Xw); Xw_imag=imag(Xw); Xw_abs=abs(Xw); Xw_angle=angle(Xw); subplot(2,2,1),plot(w,Xw_real);%xlabel('数字角频率ylabel('实部title('x(n)的subplot(2,2,2),plot(w,Xw_imag); %xlabel('数字角频率ylabel('虚部title('x(n)的Xw=xn*exp(-j*(n'*w)) x(n)=R4(n):

x(n)的频谱，求出其幅度谱和相位谱；

DTFT[x(n)]sin(4w/2)3sin(w/2)exp(j2w)

|X(ejw)|sin(4w/2)sin(w/2)arg[X(ejw)]，相位谱x(n)的频谱

、N、M代入到子函数中从而得到x(n)的频谱图。

x(n)=sin(pi*n/5)和 x(n)=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/

、N、M=512代入到子函数中从而得到x(n)的频谱图。选取

N的序列x(n)的离散时间傅里叶变换 %n为序列的坐标

%k为将w分成M份后的第几份 %w数字角频率 %x(n)的DTFT变换 %取实部 %取虚部 %取幅值 %取相角 画出实部 w'); 的实部');

画出实虚部 w'); 的虚部');

，从而避免了循环，32w 8) （ 0≤n ≤ N-1）的M较大的值会使 x(n)x(n) ');

DTFT');

DTFTsubplot(2,2,3),plot(w,Xw_abs); %画出幅值 xlabel('数字角频率w'); ylabel('幅值');

title('x(n)的DTFT的幅值');

subplot(2,2,4),plot(w,Xw_angle); %画出相角 xlabel('数字角频率w'); ylabel('相位');

title('x(n)的DTFT的相位'); 二、

M=[4 26 100]; for i=1:3 for q=M(i) n=0:q-1;

xn=ones(1,4)运行时分别输入4，26，100 figure;

DTFT(xn,4,q); 运行时分别输入4，26，100 end end

N=[4 26 100]; for i=1:3 for q=N(i) n=0:q-1; xn=ones(1,N(i)) figure;

DTFT(xn,q,4); 运行时分别输入4，26，100 end end

三、

N=[8 16 20 60 75 128]; %N的所有取值 for i=1:6

n=0:N(i)-1 %对于每一个N，n的取值从0到N-1 x=sin(pi*n/5); %第一个函数表达式 figure,DTFTsin(x,N(i),512); %画出频谱图 x=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8); %第二个函数表达式 figure,DTFTcos(x,N(i),512); %画出频谱图 end

4、仿真结果、图形 二，M=4,N=4

M=26,N=4

M=100,N=4

M=4 ,N= 26

M=26,N=26

M=100,N=26

M=4,N=100

M=26,N=100

M=100,N=100

三，

N=8

N=16

N=20

N=

N=75

N=128

5、结果分析和结论

2. 根据x(n)的频谱,可以得到

1）固定M，改变N，当N增加时频谱的最大值在增加，因为加且频谱的最大值就在角频率w=0处；过零点的数目增多；第一旁瓣幅度与最大值的比值不变。相位谱的变化更加迅速并且逐渐变得杂乱，因为每一次过零点都会使相位发生突变，而频率抽样值相对太少时，就会隔过去很多零点，无法表现出完整的相位特性，增大

N增加x(n)的直流分量增M就

可以避免这种现象。当M=N时，频谱变得与众不同，因为此时对连续频谱抽样，抽得都是0值附近的数，实部和虚部很小，致使相位计算不准确。以上讨论是在M=100时进行的，当M较小时，结论会有些差别。

2）固定N，改变M，可以看出幅度谱的峰值没有变化，随着M的增加旁瓣的数目增多，主瓣的宽度变窄，幅度谱和相位谱整体趋向平滑和真实。当M=N时，幅度谱和相位谱变得与众不同，因为此时对连续频谱抽样，抽得都是0值附近的数，实部和虚部很小，致使相位计算不准确。

三、信号x(n)=sin(pi*n/5)和 x(n)=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8) （ 0≤n ≤ N-1）的幅度谱和相位谱，N的取值越大信号频谱的最大值越大，尖峰宽度越窄，尖峰越陡峭，边缘振荡越小，这是因为N越大，相当于输入的信息越多，信号越接近于理想的正余弦信号，频谱越接近于冲激函数。