傅里叶变换的基本性质

3-5

傅里叶变换的基本性质

傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需

要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。

一、 线性

傅里叶变换是一种线性运算。若

f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)

则

af1(t)bf2(t)aF1(j)bF2(j) (3-55) 其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。

例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数F(j)。 解 因

f(t)U(t)由式(3-55)得

11sgn(t)22

F(j)U(t)1111211sgn(t)2()()2222jj

二、对称性

若

f(t)F(j)

F(jt)2f() (3-56)

证明 因为

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1f(t)2有

F(j)ejtd

2f(t)F(j)ejtd

2f(t)F(j)ejtd

将上式中变量换为x，积分结果不变，即

2f(t)F(jx)ejxtdx

再将t用代之，上述关系依然成立，即

2f()F(jx)ejxdx

最后再将x用t代替，则得

2f()F(jt)ejtdtF(jt)

所以

F(jt)2f()

证毕

若f(t)是一个偶函数，即f(t)f(t)，相应有f()f()，则式(3-56)成为

F(jt)2f() (3-57)

可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如

f(t)(t)F(j)1 F(jt)12f()2()

例3-7 若信号f(t)的傅里叶变换为

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/22AF(j)0 /2

试求f(t)。

解 将F(j)中的换成t，并考虑F(j)为的实函数，有

t/22AF(jt)F(t)0 t/2

该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为

F(t)2ASa(根据对称性

)2

F(t)2f()

故

f()ASa(再将f()中的换成t，则得

2

)tf(t)ASa()2

f(t)为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。

F(j)A f(t)E0/20/2 2/2/ t

图 3 - 20三、折叠性

若

f(t)F(j)

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则

f(t)为实函数 (3-58) F(j) f(t)F(j)f(t)为虚函数F(j)

四、尺度变换性 观看动画

若

f(t)F(j)

则

f(at)证明 因a＞0，由

1F(j) (a为大于零的实常数) （3-59) aa

f(at)f(at)ejtdt

令xat，则dxadt，代入前式，可得

f(x)f(x)ejx/adx1F(j) 证毕 aaaF(j

函数f(at)表示f(t)沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而

)a则表示

F(j)沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。

该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。

例3-8 已知

t/4Ef(t)0 t/4

,求频谱函数F(j)。 解 前面已讨论了

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。

t/2Ef0(t)0 t/2

的频谱函数，且

F0(j)ESa(2

)f(t)根据尺度变换性，信号f(t)比0的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因

此其频谱函数

F(j)E1F0(j)Sa()2224

两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

f0(t)Ef(t)E/20/2F0(j)t/40/4t E0F(j)E/2 2/ 2/ 图 3 - 214/0

五、时移性

若

f(t)F(j)

则

f(tt0)F(j)ejt0 (3-60)

t则

此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域f(t)平移时间0，

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其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变

t0。

E0tf(t)0 t0,t 的频谱函数F(j)。 例3-9 求

解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有

F(j)ESa(2)ej/2

六、频移性

若

f(t)F(j)

则

f(t)ej0tFj0 (3-61) 证明

f(t)ejt0f(t)ej0tejtdtf(t)ej(0)tdtFj(0)

证毕

j0t频移性说明若信号f(t)乘以e，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以

ej0t，这就使频谱中的每条谱线都必须平移0，亦即整个频谱相应地搬移了0位置。

频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频

cos0t或谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号f(t)乘以所谓载频信号sin0t，即

f(t)cos0t1Fj(0)Fj(0)2

f(t)sin0tjFj(0)Fj(0)2

七、时域微分性

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若

f(t)F(j)

则

dnf(t)n(j)F(j) (3-62) ndt证明 因为

f(t)两边对t求导数，得

12F(j)ejtd

df(t)1dt2所以

jF(j)ejtd

df(t)(j)F(j)dt

同理，可推出

dnf(t)(j)nF(j) 证毕 ndt(n)f(t)(t)的频谱函数F(j)。 例3-10 求

解: 因为

(t)1

由时域微分性

F(j)(j)n

例3-11 图3-22所示信号f(t)为三角形函数

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tttf(t)()120 t

求其频谱函数F(j)。

解: 将f(t)微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为

121f''(t)(t)(t)(t)

由微分性

f''(t)(j)2f(t)(ej2ej)cos1

所以

122(cos1)sin2(/2)2f(t)Sa()222 (j)(/2)

f(t)(t/)1tf(t)1/(1/)tf(t)(1/)(-2/)00-1/图3 - 220t(a) (b) (c)

八、频域微分性

若

f(t)F(j)

则

tf(t)jdF(j)d

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dnF(j)tf(t)(j) (3-63) dnnn

例3-12 求f(t)tU(t)的频谱函数F(j)。 解: 因为

U(t)()根据频域微分性

1j

tU(t)j九、时域积分性

d11'()j()dj2 若

f(t)F(j)

则

tf(t)dtF(j)F(0)() (3-64) j

例3-13 根据(t)1和积分性求f(t)U(t)的频谱函数。 解: 因为

(t)1

又

U(t)(x)dxt

根据时域积分性

U(t)1()j

例3-14 求图3-23所示信号f(t)的频谱函数F(j)。

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解: f(t)对t求两次微分后，得

11f''(t)(t/2)(t/2)

且

f''(t)由时域积分性

12ejt/2ej/2jsin()2 1f(t)f''(x)dx't22sin(2)0()2sin(2)Sa()2

f(t)tf'(x)dxj2sin(2)Sa(0)()()1Sa()j2

f(t)11f(t)1/tt(1/)f(t)/20/2t/20/2/20/2图3 - 23(-1/)(a) (b) (c)

十、频域积分性

若

f(t)F(j)

则

111f(0)(t)f(t)F(jx)dx (3-65) jtj

例3-15 已知解: 因为

f(t)sin(t)t，求F(j)。

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sin(t)1jt2(1)(1)j(1)(1)(eejt)2j2j

根据频域积分性

sin(t)1j(x1)(x1)dxU(1)U(1)tj

十一、时域卷积定理

若

f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)

则

f1(t)f2(t)F1(j)F2(j) (3-66) 证明

Ff1(t)f2(t)f1()f2(t)dejtdtf1()f2(t)ejtdtd

f1()F2(j)ejtdF2(j)f1()ejtdF2(j)F1(j) 证毕

例3-16 图3-24(a)所示的三角形函数

ttf(t)10 t

可看做为两个如图3－24(b)所示门函数

G(t)卷积。

试利用时域卷积定理求其频谱函数

F(j)。

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f(t)11G(t)1tt0/20(a) (b)图 3 - 24/2

解： 因

sin(G(t)2)Sa(22)

又

f(t)G(t)G(t)所以

1

F(j)Sa2(2

)1例3-17 一个信号f(t)的希伯特变换f(t)是f(t)和t的卷积，即



f(t)f(t)解： 因为

11tf()(t)d

sgn(t)则对称性

2j

22sgn()2sgn()jt

有

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1jsgn()t

由时域卷积定理

f(t)f(t)即

1jsgn()F(j)t

F(j)jsgn()F(j)

十二、频域卷积定理

若

f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)

则

f1(t)f2(t)或

1F1(j)F2(j) (3-67) 2

f1(t)f2(t)F1(j2f)F2(j2f)

例3-18 利用频域卷积定理求f(t)tU(t)的傅里叶变换F(j)。 解： 因为

'(t)j

由对称性

jt2'()2'()

有

tj2'()

U(t)()所以根据频域卷积定理

1j

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f(t)tU(t)

有

F(j) 即

11j2'()()2j11j'()'()j'()()()'

F(j)j'()(12

)十三、帕塞瓦尔定理

若

f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)

则

1f1(t)f2(t)dt2F1(j)F2(j)d (3-68) 

可推广

1f1(t)dt22F1(j)d (3-69) 2

若f1(t)为实函数，则

1f(t)dt221F12(j)d (3-70)

若f1(t),f2(t)为实函数，则

例3-19 求f1(t)f2(t)dt12F1(j)F2(j)d (3-71)

Sa2()d。

解： 因

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21Sa()d4222Sa()2Sa()d

又

2Sa()G2(t)

由帕塞瓦尔定理可得

2Sa()d2G2(t)G2(t)dt

十四、奇偶性

若

f(t)F(j)F()ej()R()jX()，则 (1) 当f(t)为实函数时，则

F()F(j)F()R()R()()() X()X() (3-72) 若f(t)为实偶函数，即f(t)f(t)，则

F(j)F()R()X()0 (实偶函数) (3-73) 若f(t)为实奇函数，即f(t)f(t)，则

F(j)jX()R()0 (虚奇函数) (3-74) (2) 当f(t)为虚函数，即f(t)jx(t)时，则

F()F()R()R(()() )X()X() (3-75) 傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。

表3-3傅里叶变换的基本性质

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性 质 名 称 1. 线性 2. 对称性 3. 折叠性 4. 尺度变换性 5. 时移性 6. 频移性 7. 时域微分 时 域 频 域 af1(t)bf2(t) F(jt) aF1(j)bF2(j) 2f() f(t) f(at) f(tt0) ej0tf(t) F(j) 1F(j)aa F(j)ejt0 Fj(0) dnf(t)dtn tnf(t) t(j)nF(j) 8. 频域微分 dnF(j)(j)dn n9. 时域积分 f(x)dx F(j)F(0)()j 1f(t)t 1F(jx)dxj 10. 频域积分 f(0)(t)11. 时域卷积 12. 频域卷积 13. 帕塞瓦尔定理 f1(t)f2(t) f1(t)f2(t) F1(j)F2(j) 1F1(j)F2(j)2 1f1(t)f2(t)dt2F1(j)F2(j)d

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