一、 病态方程组 二、 扰动对解的影响
三、 矩阵的条件数与病态、良态方程组四、 病态方程组的解法
一、 病态方程组 引例：方程组
⎧5x1+7x2=0.7
T⎨的解为x=(0.0,0.1). +=7x10x1⎩12
现考虑项b有微小的误差
b→b+δb=(0.69,1.01)T，其中δb=(−0.01,0.01)T,
得到一个扰动方程组
⎧5x1+7x2=0.69
⎨
⎩7x1+10x2=1.01
T
ˆ(0.17,0.22)x=−. 其解为
此例说明方程组的常数项分量只有微小的，但是方程组的解发生变化（||δb||∞/||b||∞=1/100）
，并且这种了较大的变化（||δx||∞/||x||∞=17/100）
变化并不是由求解方法带来的，而是方程组本身固有的，也就是说该方程组不是个好的方程组，通常我们称此类方程组为病态方程组。
那么如何知道一个方程组是不是病态方程组呢？显然我们必须建立起常数项以及系数矩阵的扰动对解的影响的估计式，以此对这个问题进行判断。
二、 扰动对解的影响 （一） b扰动对解的影响 定理17 （b扰动对解的影响）
（1） Ax=b≠0,x为精确解，A为非奇异矩阵； （2） A(x+δx)=b+δb 则有
||δx||||δb||−1
≤||A||⋅||A||⋅||x||||b||.
该定理表明，常数项变化引起的解的变化受
−1−1||A||⋅||A||||A||⋅||A||的大小刻画的控制，因子
了解对常数项的灵敏程度。
−1−1
||A⋅A||≠||A||⋅||A|| 注意：一般说来
（二） A扰动对解的影响 定理18 （A扰动对解的影响）
（1） Ax=b≠0,x为精确解，A为非奇异矩阵；
−1
||δA||≤1/||A|| （2） (A+δA)(x+δx)=b，且设
则有
||δA||
||δx||||A||
≤
||x||1−||A−1||⋅||A||⋅||δA||.
||A||
||A−1||⋅||A||⋅
该定理表明，系数矩阵项变化引起的解的变
−1−1
||A||⋅||A||||A||⋅||A||的大的控制, 化也受因子
小也刻画了解对系数矩阵的灵敏程度。 三、 矩阵的条件数与病态、良态方程组 (一) 矩阵的条件数 1．定义
−1
cond(A)=||A||v⋅||A||v， 矩阵的条件数：v
其中v为矩阵的算子范数，如1，2，或∞.
2．性质
（1）cond(A)v≥1
（2）cond(cA)v=cond(A)v,c≠0
TTcond(A)=λ(AA)/λ(AA) 2maxmin（3）
（4）若A为对称正定矩阵，设其特征值为
λ1≥λ2≥\"≥λn>0
则
cond(A)2=λ1/λn
（5）若A为正交矩阵，则cond(A)2=1 （6）若A为非奇异矩阵，P为正交矩阵，则
cond(PA)2=cond(AP)2=cond(A)2
3．例子：Hilbert矩阵（病态矩阵的典型例子）
1/21/n⎤\"⎡1
⎢1/2⎥1/31/(n+1)\"⎥Hn=⎢⎢#⎥###⎢⎥ ⎣1/n1/(n+1)\"1/(2n−1)⎦
Hn是对称正定矩阵，cond(Hn)2=λ1/λn
n 3 5 6 8 cond(Hn)25×1025×10515×10615×109 （三） 病态、良态方程组
矩阵的条件数很大（远远大于1）称为病态方程组，此外称为良态方程组。
注：方程组的病态是方程组本身固有的特性，当方程组的病态程度高时，用普通的数值解法很难求得比较精确的解。
四、 病态方程组的解法
1． 判断和发现病态方程组Ax=b
（1） 当A的行列式相对来说很小，或A的某
些行（或列）近似线性相关时.
（2） 若用选主元素消去法求解时，出现小主元. （3） 当A的元素数量级相差很大，并且无一定
规则时. （4） A的条件数很大
2． 病态方程组的解法 根本目的：改善矩阵的条件数 (1) 方程组预处理法（变换系数矩阵）
ˆˆˆ=bAx=b⇔PAQ(Q−1x)=Pb⇔Ax
其中，P,Q为非奇异的矩阵，且应使
ˆ)=cond(PAQ) (2) 平衡方法 当A的元素数量级相差很大时，首先将A的行（或列）进行均衡化处理，即对Ax=b的每一行乘以适当的数，使所有行按照某种范数大体均衡。 ˆ ˆ=bAx=b⇔DAx=Db⇔Ax 其中D为非奇异的对角矩阵。 例子：方程组 ⎡1104⎤⎣11⎥⎡⎦⎢x1⎤⎣x⎥=⎡⎢104⎢⎤⎥2⎦⎣2⎦ 解： cond(A)∞≈104较大，为病态矩阵 采用平衡方法，将A化为 Aˆ=DA=⎡−4⎢100⎤⎣0 1⎥⎦A 则cond(Aˆ)∞ ≈4，Axˆ=bˆ为良态方程组，用列主元素消去法，可得其解为x1=x2=1（是较好的近似解）。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容