椭圆最值问题常考题型分析

在遇到椭圆中线段或三角形周长最值问题时用函数思想有时很复杂，解题时常利用椭圆上点的性质

（

MF1MF22a）及三角形三边关系.

◆典例剖析

x2y21的右焦点，点M在椭圆上移动，求MPMF2例1、已知点P(2,3)，F2为椭圆

2516值。

解：设椭圆左焦点为F1，∴︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱，

的最大值和最小

连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知–︱PF1︱︱MP︱-︱MF1︱︱PF1︱当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。

∵2a=10, ︱PF1︱=2所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8

x2y2结论：设椭圆221的左右焦点分别为F1、F2， P(x0，y0)为椭圆内一点，M(x，y)为椭圆上任意一点，则

ab︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为2a–︱PF1︱。

x2y21的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。例2、已知点P(-2,6），F2为椭圆 2516解：由题可知点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小（求最大值方法同例1）。

︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1并延长交椭圆于点M1， 则M在M1处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱。 ∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是10+

37，最小值是

41。

x2y2结论：设椭圆221的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则

ab︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为PF2。

◆针对训练

x2y21的左焦点，P是椭圆上的动点，点A(1,1)，则PAPF练1、已知F1是椭圆195

的最小值是

x2y21的左焦点为F，直线xm与椭圆交于A，B两点，求FAB周长的最大值. 练2、椭圆43