八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并填写在答题卡上相应的表格内） 1．（3分）下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）反比例函数A．第一、二象限 C．第一、三象限 3．（3分）将分式A．不变
的图象位于（ ）
B．第三、四象限 D．第二、四象限
中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） B．扩大3倍
C．扩大6倍
D．扩大9倍
4．（3分）矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 5．（3分）若分式A．x＝3
的值为零，则（ ） B．x＝﹣2
C．x＝2
D．x＝﹣3
B．对角线相等 D．对角线互相垂直平分
6．（3分）下列式子中，最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
7．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，6），则下列各点在这个函数图象上的是（ ） A．（﹣3，﹣3）
B．（﹣4，3）
C．（4，﹣6）
D．（6，2）
8．（3分）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天．则可列方程为（ ） A．
+＝1
B．10+8+x＝30
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C．+8（+）＝1 D．（1﹣）+x＝8
9．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣4
C．﹣8
D．4
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A．
B．6
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应的位置上．） 11．（3分）
＝ ．
有意义．
12．（3分）当x 时，式子
13．（3分）已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 14．（3分）
，
的最简公分母是 ．
15．（3分）菱形的面积是24，一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为 ． 16．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是 ．
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17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）交于点A，点C坐标为（5，﹣1），则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10题，共76分，请写出必要的计算过程或推演步骤） 19．（10分）计算： （1）（2）
20．（6分）解分式方程：21．（6分）先化简，再求值：
；
．
． ÷（1﹣
），其中x＝
﹣2．
22．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． （1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）若点B的坐标为（3，3）；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标 ．
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23．（6分）小明用18元买软面笔记本，小丽用27元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
24．（6分）已知，如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝DE． 求证：AE＝CF．
25．（7分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当气球内的体积为气体1.6m3时，求气体压强P的值；
（3）当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积不小于多少？
26．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝3．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
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（2）求线段EF的长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，7），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△OCD与△OCA的面积比为3：7． （1）k＝ ，b＝ ； （2）求点D的坐标；
（3）若将△OAD绕点O逆时针旋转，得到△OA′D′，其中点A′落在x轴负半轴上，判断点D′是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．
28．（10分）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90o，若AC＝12，BC＝5，点M是斜边AB上一动点，求线段CM的最小值．
在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．请你根据小明的思路求出这个最小值． 【思维运用】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥BC于点E，求线段DE的最小值．
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【问题拓展】
（3）如图3，AB＝6，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上．∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离的最小值为 ．（直接写出结果，不需要写过程）
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2019-2020学年江苏省苏州市吴江区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并填写在答题卡上相应的表格内） 1．（3分）下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．
【解答】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意； B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意； C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意； D、不是中心对称的图形，不合题意． 故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合． 2．（3分）反比例函数A．第一、二象限 C．第一、三象限
的图象位于（ ）
B．第三、四象限 D．第二、四象限
【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限．
【解答】解：∵y＝﹣，k＝﹣1＜0， ∴函数图象过二、四象限． 故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质：当k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限，比较简单，容易掌握． 3．（3分）将分式A．不变
中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） B．扩大3倍
C．扩大6倍
D．扩大9倍
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【分析】根据分式的基本性质进行解答即可． 【解答】解：将分式故选：A．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的基本性质3是解答此题的关键． 4．（3分）矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 C．对角线互相垂直
B．对角线相等 D．对角线互相垂直平分
中的m、n都扩大为原来的3倍可变为
＝
＝
．
【分析】先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．
【解答】解：因为矩形的对角线互相平分且相等， 菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角， 正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，
所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分． 故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟知三者对角线的性质． 5．（3分）若分式A．x＝3
的值为零，则（ ） B．x＝﹣2
C．x＝2
D．x＝﹣3
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【解答】解：根据题意得：x+3＝0且x﹣2≠0， 解得：x＝﹣3． 故选：D．
【点评】本题主要考查了分式的值是0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 6．（3分）下列式子中，最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：A、B、
＝2，故不是最简二次根式，不合题意；
，是最简二次根式，符合题意；
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C、D、
＝2＝
，故不是最简二次根式，不合题意； ，故不是最简二次根式，不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握相关定义是解题关键．
7．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，6），则下列各点在这个函数图象上的是（ ） A．（﹣3，﹣3）
B．（﹣4，3）
C．（4，﹣6）
D．（6，2）
【分析】把点（﹣2，6）代入反比例函数y＝（k≠0）得到关于k的一元一次方程，解之，即可得到反比例函数的解析式，把各个选项的横坐标代入反比例函数的解析式，求纵坐标，即可得到答案．
【解答】解：把点（﹣2，6）代入反比例函数y＝（k≠0）得： 6＝
，
解得：k＝﹣12，
即反比例函数的解析式为：y＝﹣A．把x＝﹣3代入y＝﹣B．把x＝﹣4代入y＝﹣C．把x＝4代入y＝﹣D．把x＝6代入y＝﹣故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键． 8．（3分）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天．则可列方程为（ ） A．C．
+＝1 +8（
+）＝1
B．10+8+x＝30 D．（1﹣
）+x＝8
，
＝4，即A项错误， ＝3，即B项正确， ＝﹣3，即C项错误， ＝﹣2，即D项错误，
得：y＝﹣得：y＝﹣得：y＝﹣得：y＝﹣
【分析】设乙工程队单独完成这项工程需要x天，由题意可得等量关系：甲10天的工作
第9页（共26页）
量+甲与乙8天的工作量＝1，再根据等量关系可得方程10×+（+）×8＝1即可．
【解答】解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，由题意得： 10×
+（
+）×8＝1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，再列出方程，此题用到的公式是：工作效率×工作时间＝工作量． 9．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣4
C．﹣8
D．4
【分析】连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，S△OCD＝S菱形ABCO＝2，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：连接AC交OB于D，如图， ∵四边形ABCO为菱形，
∴AC⊥OB，S△OCD＝S菱形ABCO＝×8＝2， ∵CD⊥y轴， ∴S△OCD＝|k|， 即|k|＝2， 而k＜0， ∴k＝﹣4． 故选：B．
第10页（共26页）
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 不变．也考查了菱形的性质．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
|k|，且保持
A．
B．6
C．
D．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案． 【解答】解：连接BF，交AE于H，
∵BC＝12，点E为BC的中点， ∴BE＝6， 又∵AB＝8， ∴AE＝
＝
＝10，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴） ∴BH＝则BF＝
，
第11页（共26页）
＝，
∵FE＝BE＝EC， ∴∠BFC＝90°， ∴CF＝故选：D．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应的位置上．） 11．（3分）
＝ 2 ．
＝
＝
，
【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解． 【解答】解：∵22＝4， ∴
＝2．
故答案为：2
【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单． 12．（3分）当x ≤2 时，式子
有意义．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解． 【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0，即x≤2时，二次根式有意义． 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
（a≥0）叫二次根式．性质：
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
13．（3分）已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 k＜0 ．
【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大和反比例函数的性质，可以得到k的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴k＜0， 故答案为：k＜0．
第12页（共26页）
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 14．（3分）
，
的最简公分母是 2x2y ．
【分析】利用最简公分母的定义求解即可． 【解答】解：分式故答案是：2x2y．
【点评】本题主要考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
15．（3分）菱形的面积是24，一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为 8 ． 【分析】根据菱形的面积计算公式S＝ab（a、b为对角线的长度），已知一条对角线的长度和菱形的面积即可计算另一条对角线的长度．
【解答】解：菱形的面积计算公式S＝ab（a、b为对角线的长度）， 已知S＝24，a＝6， 则b＝8， 故答案为 8．
【点评】本题考查了菱形的面积计算公式，考查了菱形对角线互相垂直的性质，本题中正确利用面积计算公式求另一条对角线长是解题的关键．
16．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是 1＜x＜4 ．
，
的分母分别是xy、2x2，则它们的最简公分母是2x2y．
【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．
第13页（共26页）
【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0， ∴不等式＜kx+b的解集为1＜x＜4， 故答案为：1＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点的应用，能读懂图象是解此题的关键，数形结合思想的应用．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是
．
【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：连接CE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC， ∵EF⊥AC， ∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2， 解得：x＝， 即DE＝； 故答案为：．
第14页（共26页）
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）交于点A，点C坐标为（5，﹣1），则k的值为 6 ．
【分析】作AE⊥x轴于E，作CF∥x轴，交AE于F，则AF⊥FC，设A（m，n），根据全等三角形的性质得到OE＝AF，AE＝CF，解方程组得到A（3，2），于是得到结论． 【解答】解：作AE⊥x轴于E，作CF∥x轴，交AE于F，则AF⊥FC， 设A（m，n）， ∴OE＝m，AE＝n，
∵正方形AOBC中，∠OAC＝90°，OA＝AC， ∴∠OAE+∠CAF＝90°， ∵∠AOE+∠OAE＝90°， ∴∠AOE＝∠CAF， 在△AOE和△CAF中，∴△AOE≌△CAF（AAS）， ∴OE＝AF，AE＝CF， ∴解得
， ，
，
∴A（3，2），
∵正方形AOBC与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）交于点A， ∴k＝3×2＝6， 故答案为：6．
第15页（共26页）
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共76分，请写出必要的计算过程或推演步骤） 19．（10分）计算： （1）（2）
；
．
【分析】（1）先进行同分母的减法运算，然后约分即可； （2）根据二次根式的乘法法则运算． 【解答】解：（1）原式＝＝＝a+1； （2）解：原式＝＝2＝
﹣．
﹣
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式的加减运算． 20．（6分）解分式方程：
．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣2），得 1﹣x+2（x﹣2）＝﹣1， 解得：x＝2．
检验：把x＝2代入（x﹣2）＝0，即x＝2不是原分式方程的解．
第16页（共26页）
故原方程无解．
【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 21．（6分）先化简，再求值：
÷（1﹣
），其中x＝
﹣2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：＝＝＝当x＝
，
﹣2时，原式＝
＝
﹣1．
÷（1﹣
）
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． （1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）若点B的坐标为（3，3）；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标 （﹣2，0） ．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1； （2）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2； （3）根据点B的坐标为（3，3），即可写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
第17页（共26页）
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）C1C2与x轴的交点即为△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心， 所以对称中心的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
23．（6分）小明用18元买软面笔记本，小丽用27元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
【分析】设软面笔记本每本x元，则硬面笔记本每本（x+1.2）元，根据题意由数量关系列出分式方程．解之并检验，发现不合题意．
【解答】解：设软面本每本x元，则硬面本（x+1.2）元， 根据题意可得方程：解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解， 18÷4＝4.5， ∵4.5不是整数．
∴不能买到相同数量的两种笔记本．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出分式方程． 24．（6分）已知，如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝DE． 求证：AE＝CF．
，
第18页（共26页）
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，推出OA＝OC，OE＝OF，四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE ∵▱ABCD
∴OA＝OC，OB＝OD
∵OF＝BF﹣OB，OE＝DE﹣OD BF＝DE ∴OE＝OF
∵OA＝OC，OE＝OF ∴四边形AECF是平行四边形 ∴AE＝CF
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
25．（7分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当气球内的体积为气体1.6m3时，求气体压强P的值；
（3）当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积不小于多少？
第19页（共26页）
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式； （2）把v＝1代入（1）得到的函数解析式，可得p； （3）把P＝200代入得到V即可． 【解答】解：（1）设p＝， 由题意知120＝所以k＝96， 故p＝
（2）当v＝1.6m3时，p＝
＝60，
；
，
∴气球内气体的气压是60kPa；
（3）当p＝150kPa时，v＝
＝0.64．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.64m3．
【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． 26．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝3．
（1）求证：四边形AECF是菱形； （2）求线段EF的长．
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【分析】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得CF＝AE＝5，根据勾股定理得到AF＝CE＝5，于是得到结论；
（2）过F作FH⊥AB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AH＝DF＝3，FH＝AD＝4，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4， ∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°， ∵BE＝DF＝3， ∴CF＝AE＝8﹣3＝5， ∴AF＝CE＝
＝5，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝5， ∴四边形AECF是菱形；
（2）解：过F作FH⊥AB于H，如图所示： 则四边形AHFD是矩形， ∴AH＝DF＝3，FH＝AD＝4， ∴EH＝5﹣3＝2， ∴EF＝
＝
＝
．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，7），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△OCD与△OCA的面积比为3：7． （1）k＝ ﹣7 ，b＝ 6 ； （2）求点D的坐标；
（3）若将△OAD绕点O逆时针旋转，得到△OA′D′，其中点A′落在x轴负半轴上，
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判断点D′是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数和反比例函数表达式即可求解； （2）由面积比得到
，即可求解；
，求出D′G＝
，进而求出D′的坐
（3）由S△OAD＝S△OA′D′得标，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：7＝1+b，解得：b＝6， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：7＝故答案为：k＝﹣7，b＝6；
（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴垂足为N．
，解得：k＝﹣7，
因为，
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所以．
又因为点A的坐标为（﹣1，7），所以AN＝7， 所以DN＝3，即点D的纵坐标为3， 把y＝3代入y＝﹣x+6中得x＝3． 所以点D的坐标为（3，3）；
（3）由题意可得，OA′＝OA＝
，
如图2，过点D′作D′G⊥x轴，垂足为G， 因为
，
又因为
，
所以S△OAD＝S△OA′D′＝12， 所以所以D′G＝
．
，
，
， 的图象上． ，
在Rt△OD′G，因为O′G＝所以点D′的坐标为∵
∴D′不在函数
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到三角形面积计算、勾
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股定理运用等，综合性强，难度适中． 28．（10分）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90o，若AC＝12，BC＝5，点M是斜边AB上一动点，求线段CM的最小值．
在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．请你根据小明的思路求出这个最小值． 【思维运用】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥BC于点E，求线段DE的最小值． 【问题拓展】
（3）如图3，AB＝6，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上．∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离的最小值为
．（直接写出结果，不需要写过程）
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据垂线段最短得到答案；
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（2）根据勾股定理求出AB，根据矩形的性质得到CM＝DE，仿照（1）的方法解答； （3）连接PM、PN，根据菱形的性质、等腰三角形的性质求出∠MPN＝90°，根据勾股定理列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB＝
＝13，
∵△ABC的面积＝BC×AC＝AB×CM， ∴CM＝
＝
， ；
∴CM的最小值为
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝
＝5，
∵MD⊥AC，ME⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMEC是矩形， ∴CM＝DE，
∴当CM⊥AB时，CM的值最小，
此时，△ABC的面积＝BC×AC＝CM×AB， ∴CM＝
＝
， ；
∴DE的最小值为
（3）如图3，连接PM、PN，
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°， ∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°， ∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°， ∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝6﹣2a，PM＝a，PN＝∴MN＝
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（3﹣a），
＝＝
，
∴当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离的最小值为故答案为：
．
，
【点评】本题考查的是菱形的性质、垂线段最短、二次函数的性质，掌握菱形的性质、三角形面积公式以及二次函数的性质是解题的关键．
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