2021年四川省内江市高考数学一模试卷(文科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=（ ） A．（0，+∞） B．（﹣1，+∞）

C．（0，1） D．（﹣1，1）

2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若（1+i）（1+ai）是纯虚数，则a=（ ） A．2

B．﹣2 C．1

D．﹣1

3．（5分）sin20°cos40°+cos20°sin140°=（ ） A．

B．

C．

D．

4．（5分）下列说法中正确的是（ ）

A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，如此的抽样方法是分层抽样法 B．线性回来直线

不一定过样本中心（，）

C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D．若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是

5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（ ） A．2

B．1

C． D．﹣1

6．（5分）已知数列{an}满足an+1=2an（n∈N*），a1+a3=2，则a5+a7=（ ） A．8

B．16 C．32 D．

，则z=y﹣2x的最小值是（ ）

7．（5分）已知实数x，y满足

A．5 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣5

的概率是

8．（5分）从集合{2，3，4}中随机抽取两数x，y，则满足（ ）

A． B． C． D．

1 / 17

9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+A．f（x）的最小正周期为2π C．f（x）在（

，

sinxcosx，则（ ）

B．f（x）的最大值为2

对称 恒成立，

）上单调递减 D．f（x）的图象关于直线

11．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式则a的取值范畴是（ ）

A．（0，1）∪（1，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（0，1） 12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，则（ ） A．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为等腰三角形 B．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为锐角三角形 C．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为直角三角形 D．对任意n∈N*，△PnPn+1Pn+2为钝角三角形

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，则

= ．

14．（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．假如这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 ． 15．（5分）设函数f（x）=

，则满足f（x）＞2的x的取值范畴

2 / 17

是 ．

16．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=1，a8=3a3，则

+

+

+…+

= ．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和．已知a1=1，Sn=2﹣2an+1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和．

18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若

，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．

19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情形，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．

表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 频数

1

[95，100） [100，

105） 5

[105，110） 18

[110，115） 19

[115，120） 6

[120，125] 1

图1：乙套设备的样本的频率分布直方图

（Ⅰ）将频率视为概率．若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；

（Ⅱ）填写下面列联表，并依照列联表判定是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

甲套设备

合格品 不合格品

乙套设备

合计

3 / 17

合计

（Ⅲ）依照表1和图1，对两套设备的优劣进行比较． 附： P（K2≥k0）

k0

0.15 2.072

0.10 2.706 ．

20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（ f（

））处的切线方程为：y=x﹣

．

，

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

（Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求函数g（x）=

在

上的最小值．

21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R）． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设a＞1，是否存在正实数x，使得f（x）＞0？若存在，要求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由． [选修4-4：极坐标与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参

数），曲线C的参数方程为

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；

（α为参数）．以坐标原点O为极点，

（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值． [选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m． （Ⅰ）求m的值；

．射线OM

4 / 17

（Ⅱ）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b≤．

2020年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=（ ） A．（0，+∞） B．（﹣1，+∞）

C．（0，1） D．（﹣1，1）

【解答】解：集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x＜1}， 则A∪B={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞）， 故选B．

2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若（1+i）（1+ai）是纯虚数，则a=（ ） A．2

B．﹣2 C．1

D．﹣1

【解答】解：∵（1+i）（1+ai）=（1﹣a）+（1+a）是纯虚数， ∴故选：C．

3．（5分）sin20°cos40°+cos20°sin140°=（ ） A．

B．

C．

D．

，解得：a=1．

【解答】解：sin20°cos40°+cos20°sin140° =sin20°cos40°+cos20°sin40° =sin（20°+40°） =sin60° =

．

故选：B．

4．（5分）下列说法中正确的是（ ）

A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，如此的抽样方法是分层抽样法 B．线性回来直线

不一定过样本中心（，）

5 / 17

C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D．若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是

【解答】解：关于A，依照抽样方法特点是数据多，抽样间隔相等，是系统抽样，A错误；

关于B，线性回来直线

一定过样本中心点（，），B错误；

关于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1，B错误；

关于D，一组数据1、a、3的平均数是2，∴a=2；

∴该组数据的方差是s2=×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]=，D正确． 故选：D．

5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（ ） A．2

B．1

C． D．﹣1

【解答】解：当a=2，k=0时，执行循环a=﹣1，满足连续循环的条件，k=1； 执行循环a=，满足连续循环的条件，k=2； 执行循环a=2，满足连续循环的条件，k=3； 执行循环a=﹣1，满足连续循环的条件，k=4； 执行循环a=，满足连续循环的条件，k=5； 执行循环a=2，不满足连续循环的条件， 故输出的结果为2， 故选：A

6．（5分）已知数列{an}满足an+1=2an（n∈N*），a1+a3=2，则a5+a7=（ ） A．8

B．16 C．32 D．

【解答】解：∵数列{an}满足an+1=2an（n∈N*），∴此数列是等比数列，公比为2． 则a5+a7=24（a1+a3）=24×2=32． 故选：C．

7．（5分）已知实数x，y满足，则z=y﹣2x的最小值是（ ）

6 / 17

A．5 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣5

【解答】解：由z=y﹣2x，则y=2x+z

作出实数x，y满足对应的平面区域如图：

平移直线y=2x+z，由图象知当直线y=2x+z，通过点A时，直线y=2x+z的截距最小，现在z最小， 由

，得A（3，1），

现在z=1﹣2×3=﹣5， 即z=y﹣2x的最小值﹣5， 故选：D．

8．（5分）从集合{2，3，4}中随机抽取两数x，y，则满足（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：集合{2，3，4}中随机抽取两数x，y， 则有log23，log24，log32，log34，log42，log43＞共6个， 满足

的只有1个，是log42=；

的概率是

∴所求的概率是P=． 故选：D．

9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

7 / 17

【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2|x|， ∴f（3）=9﹣8=1＞0，故排除C，D， ∵f（0）=﹣1，f（）=﹣2故选：B

当x＞0时，f（x）=x2﹣2x， ∴f′（x）=2x﹣2xln2， 故选：B

10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+A．f（x）的最小正周期为2π C．f（x）在（

，

sinxcosx，则（ ） =0.25﹣

＜﹣1，故排除A，

B．f（x）的最大值为2

对称 ）+，

）上单调递减 D．f（x）的图象关于直线

sinxcosx=

+

sin2x=sin（2x﹣

【解答】解：f（x）=sin2x+由T=

=π，故A错误，

f（x）的最大值为1+=，故B错误； 令2kπ+

＜2x﹣

＜2kπ+

，

+

，解得：kπ+

＜x＜kπ+

，k∈Z，

当k=0时，则f（x）在（令2x﹣故选C．

=kπ+

）上单调递减，故C正确， ，故D错误，

，解得：x=

11．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式则a的取值范畴是（ ）

恒成立，

A．（0，1）∪（1，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（0，1） 【解答】解：由题意，令f（x）=则f′（x）=

，

，

令f′（x）=0，可得（x﹣a）（x+1）=0，

当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，a）上单调递减， 当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，a）上单调递增，

8 / 17

∴f（x）min=f（a）=∴

，

令g（a）=a2﹣a﹣alna＞0，（a＞0） ∴g（a）=a﹣lna﹣1＞0． 则g′（a）=1﹣， 令g′（a）=0 可得：a=1．

当a∈（0，1）时，g（a）递减，（1，+∞）时，g（a）递增， ∴当a=1时，g（a）min=0．

由函数y=a﹣1和函数y=lna可得，y=a﹣1的图象在y=lna的上方． ∴a＞0且a≠1． 故选：A

12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，则（ ） A．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为等腰三角形 B．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为锐角三角形 C．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为直角三角形 D．对任意n∈N*，△PnPn+1Pn+2为钝角三角形 【解答】解：依照题意，函数f1（x）=xex， 其导数f1′（x）=（x）′ex+x（ex）′=（x+1）ex，

分析可得在（﹣∞，﹣1）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数， 在（﹣1，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数， 曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣1，﹣）， 关于函数f2（x）=f1′（x）=（x+1）ex，

其导数f2′（x）=（x+1）′ex+（x+1）（ex）′=（x+2）ex，

分析可得在（﹣∞，﹣2）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数， 在（﹣2，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数， 曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣2，﹣

），

9 / 17

…

分析可得曲线y=fn（x）的最低点Pn，其坐标为（﹣n，﹣则Pn+1（﹣n﹣1，﹣

），Pn+2（﹣n﹣2，﹣

）；

）；

有同理

=

=

， ＞

=，

分析可得：，

即△PnPn+1Pn+2为钝角三角形；

则对任意n∈N*，△PnPn+1Pn+2为钝角三角形； 故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，则【解答】解：正方形ABCD的边长为2，

=

故答案为：4．

14．（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．假如这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 ．

【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲， 则甲和丙说的差不多上假话，乙说的是真话，不满足题意； 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙， 则甲和丙说的差不多上真话，乙说的是假话，满足题意； 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙， 则甲、乙、丙说的差不多上假话，不满足题意． 故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙． 故答案为：乙．

10 / 17

= 4 ．

•=+2•=4．

15．（5分）设函数f（x）=是 （﹣1，0）∪（2，+∞） ． 【解答】解：函数f（x）=

当x≥0时，f（x）＞2即为x2﹣x﹣2＞0， 解得x＞2；

，则满足f（x）＞2的x的取值范畴

，

当x＜0时，f（x）＞2即为2﹣x2﹣x﹣2＞0， 解得﹣1＜x＜0．

则满足f（x）＞2的x的取值范畴为（﹣1，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣1，0）∪（2，+∞）．

16．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=1，a8=3a3，则

+

+

+…+

=

．

【解答】解：由a1=1，a8=3a3，得a1+7d=3（a1+2d）， 即1+7d=3+6d，得d=2，

=

=

﹣

，

则+=1﹣

++…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣

=，

故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和．已知a1=1，Sn=2﹣2an+1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和．

11 / 17

【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=2﹣2an+1，a1=1 ∴当n=1时，S1=2﹣2a2，得当n≥2时，Sn﹣1=2﹣2an ∴当n≥2时，an=2an﹣2an+1，即又

…（2分）

…（5分）

∴{an}是以a1=1为首项，为公比的等比数列…（6分） ∴数列{an}的通项公式（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

…（7分）

∴当n≥2时，

∴{bn}是以b1=﹣1为首项，为公比的等比数列…（10分）

∴数列{bn}的前n项和为…（12分）

18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若

，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．

【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB=0， ∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0…（2分） ∵0＜B＜π，

∴sinB＞0，因此cosC+sinC=0，即tanC=﹣1…（4分） ∵0＜C＜π ∴（

Ⅱ

．…（6分） ）

由

（

Ⅰ

）

和

余

弦

定

理，

12 / 17

知，

∴c=5，…（8分） ∴

设BC的中垂线交BC于点E， ∵在Rt△BCD中，

，

，…（10分）

∴==．…（12分）

19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情形，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．

表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 频数

1

[95，100） [100，

105） 5

[105，110） 18

[110，115） 19

[115，120） 6

[120，125] 1

图1：乙套设备的样本的频率分布直方图

（Ⅰ）将频率视为概率．若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；

（Ⅱ）填写下面列联表，并依照列联表判定是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

甲套设备

合格品 不合格品 合计

乙套设备

合计

（Ⅲ）依照表1和图1，对两套设备的优劣进行比较． 附： P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

13 / 17

k0 2.072 2.706 ．

3.841 5.024 6.635

【解答】解：（Ⅰ）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为（Ⅱ）由表1和图1得到列联表：

…（2分）

（件）…（3分）

甲套设备

合格品 不合格品 合计

48 2 50

乙套设备

43 7 50

合计 91 9 100

…（5分） 将

列

联

表

中

的

数

据

代

入

公

式

运

算

得

…（8分）

∵3.05＞2.706

∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关…（9分） （Ⅲ）由表1和图1知，甲套设备生产的合格品的概率约为的合格品的概率约为

，

，乙套设备生产

甲套设备生产的产品的质量指标值要紧集中在[105，115）之间， 乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散．

因此，能够认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳固，从而甲套设备优于乙套设备…（12分）

20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（ f（

））处的切线方程为：y=x﹣

．

，

（Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求函数g（x）=

在

上的最小值． 时，y=0

【解答】解：（Ⅰ）由切线方程知，当

14 / 17

∴…（1分）

∵f'（x）=acosx﹣bsinx…（3分） ∴由切线方程知，∴

…（5分）

cosx=sin（x﹣

）…（6分） …（8分）

…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sinx∴函数设

，

则u'（x）=﹣xsinx＜0，故u（x）在∴u（x）＜u（0）=0， ∴g（x）在∴函数g（x）在

上单调递减…（11分）

上的最小值为g（

上单调递减

）=…（12分）

21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R）． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设a＞1，是否存在正实数x，使得f（x）＞0？若存在，要求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f'（x）=ex﹣a…（1分） 当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）在R上单调递增…（2分） 当a＞0时，令f'（x）=0，得x=lna

当x＜lna时，f'（x）＜0，故f（x）单调递减

当x＞lna时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增…（5分） 综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增…（6分）

（Ⅱ）存在正数x=2lna，使得f（x）＞0…（8分） 即f（2lna）=a2﹣2alna﹣1＞0，其中a＞1．证明如下： 设g（x）=x2﹣2xlnx﹣1（x＞1），则g'（x）=2x﹣2lnx﹣2

15 / 17

设u（x）=x﹣lnx﹣1（x＞1），则调递增

，故u（x）在（1，+∞）上单

∴u（x）＞u（1）=0，故g'（x）=2x﹣2lnx﹣2=2u（x）＞0 ∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（1）=0 ∴当a＞1时，a2﹣2alna﹣1＞0

∴f（2lna）=a2﹣2alna﹣1＞0…（12分） [选修4-4：极坐标与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参

数），曲线C的参数方程为

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；

（α为参数）．以坐标原点O为极点，

（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．

．射线OM

【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），

直线的一般方程为极坐标方程为曲线C的一般方程为

，

．

，极坐标方程为

…（5分）

（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ） ∴∵∴

，

．

，

∴射线OM的极坐标方程为

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联立，

解得ρ=3．

∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1． [选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m． （Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b≤

．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|=，

∴f（x）在[）上单调递增，在（）上单调递减

∴f（x）的最小值为f（）=…（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2a2+b2=， ∵2ab≤a2+b2，

∴（2a+b）2=4a2+b2+4ab≤4（a2+b2）+2（a2+b2）=3（2a2+b2）=5，当a=b时取等 ∴2a+b≤

…（10分）

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