Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 冗余机械臂优化控制新方法 廖柏林，杨喜，梁平元 ＬＩＡＯ Ｂｏｌｉｎ，ＹＡＮＧ Ｘｉ，ＬＩＡＮＧ Ｐｉｎｇｙｕａｎ 吉首大学信息科学与工程学院，湖南吉首４１６０００ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｓｈｏｕ，Ｈｕｎａｎ ４ １ ６０００，Ｃｈｉｎａ ＬＩＡＯ Ｂｏｌｉｎ，ＹＡＮＧ Ｘｉ，ＬＩＡＮＧ Ｐｉｎｇｙｕａｎ．Ｎｅｗ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｒｏｂｏｔ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１３，４９（１４）：２３６－２４０． Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｅｗ ｐｓｅｕｄｏｉｎｖｅｒｓｅ—ｂａｓｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｆｉｖｅ—ｄｅｇｒｅｅ—ｏｆ－ｆｒｅｅｄｏｍ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｕｓｉｎｇ ａｎ ａｄｊｕｓｔａｂｌｅ ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ，ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｔｈｅ Ｍｉｎｉｍｕｍ Ｖｅｌｏｃｉｔｙ Ｎｏｒｍ（ＭＶＮ）ｓｃｈｅｍｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｍｉｎｉｍｕｍ Ａｃｃｅｌｅｒａ— ｔｉｏｎ Ｎｏｒｉｎ（ＭＡＮ）ｓｃｈｅｍｅ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｒｏｂｏｔ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ．Ｓｕｃｈ ａｎ ｏｐｔｉｍａｌ ｓｃｈｅｍｅ ｃａｎ ａｃｈｉｅｖｅ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｊｏｉｎｔ－ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｎｏｒｍ ａｎｄ ｊｏｉｎｔ—ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｎｏｒｍ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｉｏｉｎｔ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｂｏｔ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ｔｏ ｂｅ ｎｅａｒ ｚｅｒｏ ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｏｐｔｉｍａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｃｈｅｍｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｒｏｂｏｔ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ；ｐｓｅｕｄｏｉｎｖｅｒｓｅ；ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ；ｏｐｔｉｍａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ 摘 要：针对五自由度冗余机械臂，提出了一种新的基于伪逆的优化控制方法：利用一个可调权值因子，将最小速度范数 方法（加速度层）和最小加速度范数方法进行加权组合，来实现对冗余机械臂的运动控制。该优化方法可以实现关节速度 范数和关节加速度范数的同时最小化，而且使得机械臂的关节速度在运动末态时接近零 计算机仿真结果进一步验证了 所给出的优化控制方法的可行性和优越性。 关键词：冗余机械臂；伪逆；加权组合；优化控制 文献标志码：Ａ 中图分类号：ＴＰ２７１ ｄｏｉ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２．８３３１．１３０３ ０１２０ １ 引言 随着科技的发展，冗佘机械臂已受到人们的广泛关注 ， 其应用也已扩展到许多工程场合（如焊接组装、宇宙探索 和医疗手术等多种行业）。许多研究者都致力于冗余机械 臂的研究 一 度解析方法是最小化速度范数（Ｍｉｎｉｍｕｍ Ｖｅｌｏｃｉｔｙ Ｎｏｒｍ， ＭｖＮ）方法 ’ 。这种方法通过对关节速度的平方和作最 小化来控制冗余机械臂，具有简单、易处理以及末态速度 为零等优点。但是，要特别指出的是，ＭＶＮ方法（因其属于 速度控制的方法）只适用于由速度控制的机械臂，难以直 接应用于由加速度控制的机械臂（也即，控制对象的属性 为加速度控制），这也就限制了此方法的适用范围。因而 。其中，逆运动学求解是研究的核心内容之 。ｕ：给定机械臂末端的位置、速度或加速度变量，求解相 应的机械臂关节角度、关节速度或关节加速度。逆运动学 求解问题又称冗余度解析问题 ， 。通过合适地求解冗佘 许多研究者探讨加速度层上的冗余度解析方法来实现对 机械臂的运动控制 ， ＇１４＂１ ５］０在这些方法中，研究较为广泛 度解析问题，就能完成对冗余机械臂的运动控制。对于冗 余度解析问题的求解，通常是采用基于伪逆的方法 ’ ” ，即 将问题的解写为一个最小范数解加上一个同类解。考虑 的方法就是最小化加速度范数（Ｍｉｎｉｍｕｍ Ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ Ｎｏｒｍ，ＭＡＮ）方法 ， ， ：对关节加速度的平方和作最小 到伪逆方法具有结构简单和易于实现等特点，许多工程应 化。ＭＡＮ方法不仅适用于由加速度控制的机械臂，也可应 用于由速度控制的机械臂（利用其解析得到的速度）。但 用者和研究者开发和探讨了多种不同的基于伪逆的优化 方法来控制冗余机械臂的运动 ’” 。 是ＭＡＮ方法容易引入关节末态速度不为零的问题。显 然，这在实际工程应用中是不可接受的。 基于以上分析，本文提出了一种新的基于伪逆的加速 通常，冗余度解析问题可在速度层上 ・“ 和加速度 层 ，“ 分别进行求解。在速度层上使用较为广泛的冗余 基金项目：国家自然科学基金（Ｎｏ．６１１０２０８９）；湖南省教育厅科研资助项目（Ｎｏ．１０Ｃ１０８７）。 作者简介：廖柏林（１９８１一），男，讲师，研究领域为机械臂控制、过程控制、神经网络；杨喜（１９７８一），男，副教授，研究方向为认知无线电技 术、机械臂控制；梁平元（１９７２一），男，教授，研究方向为无线传感器网络、机械臂控制。Ｅ‘ｍａｉｌ：ｍｕｌｉｎｌｉａｏ８１８４＠１６３・ｔｏｍ 收稿日期ｉ２０１３—０３ １１ 修回日期：２０１３—０４—２６ 文章编号：１００２—８３３１（２０１３）１４—０２３６—０５ 廖柏林，杨 喜，梁平元：冗余机械臂优化控制新方法 度层优化控制方法：通过一个可调权值因子将ＭＶＮ方法 和ＭＡＮ方法加权求和，实现对冗余机械臂的优化控制。 这样的优化方法不仅能实现关节速度范数和关节加速度 有ＣＣ～：Ｉ∈Ｒ ”，对其求导可得： ，ｃｃ一＋ＣＣ一：０ 将上式移项，有ｃ 一＝一ｃｃ一，然后对其左乘矩阵ｃ 便可 得到等式（６）。 范数的同时最小化，而且使得机械臂的关节速度在运动末 态时接近零。针对平面五连杆机械臂的计算机仿真结果 进一步验证了所给出的优化控制方法的可行性和有效 性。因此，所提出的优化控制方法更具实际应用价值。 ２冗余度解析理论 为方便后文讨论，本章先给出冗余机械臂冗余度解析 的相关理论。冗余机械臂末端的位置向量ｘ（ｔ）∈Ｒ 和关节 角度向量ｑ（ｔ）∈Ｒ 的关系可描述为 ， ： ｇ（ｑ１＝ （１） 其中ｇ（・）： 为非线性映射。由于ｇ是非线性的，对 于一个给定的ｘ，很难直接通过求解方程（１）来得到窖。 为此对方程（１）求导，机械臂的冗余度解析问题可以在如 下的速度层上进行求解： Ｊ（ｑ）ｑ＝ （２） 其中， 是机械臂末端的速度向量，圣是关节速度向量； Ｊ（ｑ）＝Ｏｇ（ｑ）／Ｏｑ∈Ｒ～ 是雅克比矩阵。进一步对方程（２）求 导，机械臂的冗余度解析问题则可以在如下的加速度层上 进行求解： ‘，（ ＝ 。＝ 一Ｊ（ ）口 （３） 其中， 是机械臂末端的加速度向量， 是关节加速度向 量。Ｊ（ｑ）是雅克比矩阵Ｊ（ｑ）的导数。对于冗佘机械臂而 言，由于ｍ＜ｎ，则方程（２）和（３）可能存在多个解或无穷多 个解 。 上述冗余度解析问题的求解，通常采用基于伪逆的优 化方法 ・１１－１４］０其做法是将问题的解写成一个最小范数解 加上一个同类解。具体而言，在速度层上求解方程（２），其 伪逆类型解可写为： 圣＝Ｊ ＋（Ｊ—Ｊ Ｊ）ｃ （４） 而在加速度层上求解方程（３），其伪逆类型解可写为： 牵＝Ｊ ＋（Ｉ－Ｊ Ｊ）ｃ （５） 其中Ｊ ∈Ｒ 是雅克比矩阵Ｉ，的伪逆，Ｊ∈Ｒ 是单位矩 阵，ｃ∈Ｒ 是一个用来优化的目标函数的梯度向量。另外， 矩阵（ —Ｉ， ｌ，）有如下性质： （ 一Ｊ ．，）（，一Ｊ Ｊ）＝，一Ｊ Ｊ （，一．， ．，）Ｔ＝Ｊ—ｔ， ｌ， ｔ，（Ｊ—Ｊ ＝０，（Ｉ－Ｊ Ｙ）Ｙ ＝０ 其中上标Ｔ表示矩阵或向量的转置。 此外，为方便后续讨论，首先给出如下引理。 引理１对于非奇异矩阵Ｃ∈Ｒ ，其逆矩阵Ｃ～∈Ｒ ” 的导数可表示为： ●● Ｃ一＝一Ｃ—ＣＣ一 （６） 证明考虑非奇异矩阵Ｃ∈Ｒ” 以及其逆矩阵Ｃ ∈ ３方法描述 本章将给出一种基于ＭＶＮ方法和ＭＡＮ方法加权求 和的优化控制方法来实现对冗余机械臂的运动控制。 根据上章给出的冗余度解析理论，令方程（４）中的 Ｃ＝０，便可得到如下的ＭＶＮ方法 ，” ： 圣＝ｔ， 戈 （７） 此外，对于ＭＶＮ方法（７），有如下的定理。 定理１ ＭＶＮ方法（７）等价于如下的加速度层冗余度 解析方法： ／ｊ＝Ｊ ２ ＋（ｊ—Ｊ Ｊ）Ｉｊ｝ （ｓｙ ） 童 （８） 证明因为ＭＶＮ方法（７）是一个速度层的冗余度解析 方法，为了将其扩展到加速度层上，可以对方程（７）进行求 导，进而得到： 掌＝‘， ＋Ｊ （９） 其中，广是雅克比矩阵伪逆．，＿的导数。对于方程（９），可 以将其改写为： ＝Ｊ （ 一朋）＋ｔ， 。，尊＋Ｉ， （１０） 由于Ｊ ＝‘， （ ）－。，基于引理１，可以得到： Ｉ，ｔ＝ｆ 一Ｊ Ｊ）Ｊ （ＪＪ １－。一Ｊ 。 所以，方程（１０）可以描述为： 牵＝‘， ２ ＋（Ｊ—Ｊ Ｊ）Ｊ （ＪＪ ）一 Ｙｃ＋Ｊ ．ｊ｝（口一Ｊ ｓｏ） （１１） 其中，２ ＝童一勘。对于方程（１１），若雪一Ｊ Ｙｃ＝０，则式（１１） 退化为： ＝Ｊ ２ ＋（Ｊ—Ｊ Ｊ）Ｊ （ＪＪ ） 这恰好是定理１中的加速度层冗余度解析方法（８）。换言 之，方法（８）对应于方法（１１）在口＝ｔ， Ｙｃ的条件下的情况。 而圣＝Ｊ 也即是速度层的ＭＶＮ方法（７）。因此，加速度 层冗余度解析方法（８）也就与ＭＶＮ方法（７）等价。 此外，为便于理解，先给出ＭＡＮ方法 ， 的描述（对应 于方程（５）中Ｃ＝０的情况）： ＝Ｊ ２ （１２） 需要指出的是，ＭＡＮ方法可能会导致关节速度在运动末态 时不为零。 为了避免这种关节末态速度不为零的现象，利用定理１， 便可开发基于ＭＶＮ和ＭＡＮ方法加权求和的加速度层优 化控制方法来实现对冗余机械臂的运动控制。具体而言， 通过引入一个可调权值因子ａ∈［０，１】∈Ｒ，研究和探讨如下 的一种基于ＭＶＮ和ＭＡＮ方法加权求和的加速度层冗余 度解析方法： 牵。＝Ｊ ． ＋ａ（ｊ—Ｊ ．，） ＭｖＮ （１３） 其中， 代表该方法的最终优化解， 、， 可通过加速度层 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 冗余度解析方法（８）（其等价于ＭＶＮ方法（７））得到。值得 指出的是，方法（１３）正对应于式（５）中的Ｃ取Ｃ＝６ｃ牙ＭｖＮ的情 况。进一步地，用式（８）代替式（１３）中的 、， ，则方法（１３） 便可最终描述为： 奇 ＝（１一ｏ【） ＭＡＮ＋ 牵ＭｖＮ＝ （１一ａ）Ｊ 。＋ａ（Ｊ ＋（，一Ｊ Ｊ）Ｊ （Ｊａｒ ） ）： ４仿真验证 本章将通过一个平面五连杆机械臂进行计算机仿真 来验证所提出的优化方法（１４）的可行性和有效性。该平 面五连杆机械臂的几何学构型如图１所示。在仿真中，机 械臂的各个连杆的长度设定为ｆ１＝ｆ ＝ ＝ｆ ＝ｆ ＝１ ｍ；机 械臂的末端期望完成一个圆形轨迹运动和一个三角形轨 ．， ＋ａ（Ｊ—Ｊ Ｊ）Ｊ （ＪＪ ）一 （１４） 迹运动的任务。 其中， ＭＡＮ对应于ＭＡＮ方法（１２），ｑ“ＭｖＮ对应于加速度层 的ＭＶＮ方法（８）。从上述方法的描述可以发现，所提出的 方法（１４）正是通过可调权值因子ａ将ＭＡＮ方法（１２）和加 速度层的ＭＶＮ方法（８）加权组合得到。此外，对于所提出 的方法（１４），当６ｃ＝０，其退变为ＭＡＮ方法；当６ｃ＝１，其退 变为（加速度层的）ＭＶＮ方法。故通过选取不同的ａ值，便 可得到不同的加权效果。换言之，口值是用来调节ＭＡＮ 方法和ＭＶＮ方法的加权效果。这体现了所提出的优化控 制方法（１４）的灵活性。具体的ｎ值可根据实际要求来确 定／选取（其也可视为是一种权衡选择）。如当希望ＭＶＮ方 法在控制中所起的作用要大于ＭＡＮ方法，则相应的 取 值就适当大一点（如０．７或０．８）；反之则ａ取值就适当小一 图１ 平面五连杆机械臂的几何学构型 ４．１圆形轨迹仿真例子 在这个例子中，平面五连杆机械臂所期望的圆形轨迹 的半径设为０．６５ ｍ，运动周期设为１０ Ｓ，初始状态为窖（０）＝ ［ｎ／１２，ｒｔ／１２，ｎ／１２，ｎｉｌ２，ｎｉｌ２］ （单位：ｒａｄ）。 点。通过取不同的ａ值并做相应的仿真，结果如表１所 示。可以总结得到：ａ值的选取由一个可接受的末端执行 器位置误差（如小于５×１０ ｍ）以及一个稳定的伪逆解 （至少，末态速度近Ｏ）来确定。 表１ 不同的口取值下由方法（１４）解析的最大 首先，对ＭＡＮ方法（１２）（也为所提出的方法（１４）中 ａ＝０的情况）进行计算机仿真，相应的仿真结果如图２所 示。从图２（ａ）可以看到，机械臂的末端很好地完成了圆形 轨迹运动任务，其最大位置误差不大于１．２１６ ０×１０～ｍ。 位置误差和关节末态速度 然而，如图２（ｂ）所示，在实现最小化关节加速度范数的同 时，ＭＡＮ方法引入了末态速度不为零的现象。具体而言， 平面五连杆机械臂的关节速度在运动末态时（ｔ－＝ｌＯ ｓ）为 口（１Ｏ）＝［Ｏ．００８ ６，Ｏ．１２７４，一０．０３６４，一０．１６２ ９，一０．１１２ １］ （单位： ｒａｄ／ｓ）。这在工程实际中往往是不可接受的。 采用所提出的方法（１４），并设定ａ＝０．５来进行仿真， 相应的仿真结果如图３所示。图中的“ｄｑ”和“ｄｄｑ”分别代 表关节速度亩和关节加速度雪，而数字则对应于某个关节 Ｘ／ｍ 时间／ｓ （ａ）机械臂的运动轨迹 （ｂ）速度和加速度二范数曲线 图２ ＭＡＮ方法（１２）解析的平面五连杆机械臂末端画圆形的仿真结果 廖柏林，杨 喜，梁平元：冗余机械臂优化控制新方法 Ｘ／ｍ 时间／ｓ （ａ）机械臂的运动轨迹 （ｂ）关节速度化曲线 时间／ｓ 时间／ｓ （ｃ）关节加速度曲线 （ｄ）速度和加速度二范数曲线 图３ 优化方法（１４）解析的平面五连杆机械臂末端画圆形的仿真结果 速度或加速度。由图３（ａ）可以看到，机械臂的末端也能很好 ４．２三角形轨迹仿真例子 完成圆形轨迹运动任务，其最大位置误差为１．０３４ ３×１０～ｍ； 为了更进一步地验证所提出的优化控制方法（１４）的 这说明了本方法的可行性和有效性。同时，从图３（ｂ） 有效性，让平面五连杆机械臂的末端作一个边长为０．７ １ＴＩ 和（ｃ）可以看到，方法（１４）解析出来的关节速度和关节加 的等边三角形的轨迹运动。机械臂的运动周期和初始状 速度均维持在较小的数值（这意味着机械臂的运动较为平 态设定与圆形轨迹运动仿真例子中的一致。选取。［＝０．５， 稳）。更重要的是，图３（ｂ）显示了机械臂的关节速度在运 对方法（１４）进行计算机仿真，相应的结果如图４所示。显 动末态时（ｔ－＝１０ Ｓ）接近为零值，具体为ｑ（１Ｏ）＝卜０．０２５ ０， 然图４给出的仿真结果再次表明了所提出的优化控制方法 ０．０５３ ４，Ｏ．００５ ２，一Ｏ．０４２ ６，一０．０２６ ６１ （单位：ｒａｄ／ｓ）。另外 （１４）是一个有效的冗余度解析方法。 图３（ｄ）表明，采用所提出的方法（１４），关节速度范数和关 从基于平面五连杆机械臂的计算机仿真结果可以看 节加速度范数的最小化是可以同时达到的。可见，所提出 出，所提出的优化方法（１４）可以较好地实现机械臂的运动 的优化方法可以有效地应用于冗余机械臂的运动控制。 控制，使得机械臂的关节末态速度接近为零，因而可有效 为了深入地探讨方法（１４）的有效性，选取不同的ａ值 地应用于实际工程当中。 来进行仿真。表１给出了不同的ａ值（即 ＝０．３～０．８）下机 械臂末端的最大位置误差以及相应的关节末态速度 ５结束语 ｑ（１０）。由表１可以看出，采用所提出的优化控制方法，通过 为了避免ＭＡＮ方法存在的关节末态速度不为零的现 合适地选取 值，就可以得到较小的位置误差（机械臂能 象，研究和探讨一种基于伪逆的优化控制方法（１４）来实现 够很好地完成末端圆形轨迹运动任务）；同时也使得机械 对冗余机械臂的运动控制。该优化方法是ＭＡＮ方法和 臂的关节末态速度接近为零，这更符合实际工程的应用要求。 ＭＶＮ方法的加权求和，从而可以实现关节速度范数和关节 总的来说，平面五连杆机械臂末端做圆形轨迹运动的 加速度范数的同时最小化。通过对平面五连杆机械臂进 计算机仿真结果验证了所提出的优化控制方法（１４）的有 行两个例子的仿真验证，仿真结果进一步表明了所提出的 效性、可行性以及灵活性。 优化控制方法（１４）的有效性和可行性。该方法可有效 ２４０ ２０１３，４９（１４） ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 田 毛 皇 ｘ／ＩＴＩ 时Ｉｈ］／ｓ （ａ）机械臂的运动轨迹 （ｂ）关节速度曲线 Ｉ∞ 毛 喜 １ １ （ｃ）关节加速度曲线 （ｄ）速度和加速度二范数曲线 图４优化方法（１４）解析的平面五连杆机械臂末端画三角形的仿真结果 地实现对冗余机械臂的运动控制，具有较大的工程应用 价值。 ｆ８阳方平，８］李洪谊，王越超，等．一种求解冗余机械臂逆运动学的 优化方法［Ｊ］．机器人，２０１２，３４（１）：１７—２１． ［９］任子武，王振华，李娟，等．基于混合类电磁机制算法的机械臂 参考文献： ［１］李艳，王勇，陈正洪．平面二自由度冗余驱动并联机器人控制 实验研究ｆＪ１．武汉理工大学学报：交通科学与工程版，２００９，３３ （４）：６２３—６２６． 逆运动学解『Ｊ］．机械工程学报，２０１２，４８（１７）：２１—２８． ［１Ｏ】廖锋．机械臂逆运动学模型控制新方法［ＪＪ．计算机工程与应 用，２０１２，４８（１２）：２４４．２４８． 【１１】Ｍａｒｃｏｓ Ｍ Ｇ，Ｍａｃｈａｄｏａ Ｊ Ａ Ｔ，Ａｚｅｖｅｄｏ—Ｐｅｒｄｉｃｏｕｌｉｓ Ｔ ＥＡ ｍｕｌｔｉ・ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｔｉｏｎ ｐｌａｎｎｉｎｇ ｏｆ ｒｅｄｕｎ－・ ｄａｎｔ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ［Ｊ［．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｓｏｆｔ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０１２，１２（２）： ５ ８９—５９９． ［２］Ｓｉｃｉｌｉａｎｏ Ｂ，Ｋｈａｔｉｂ Ｏ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ ｈａｎｄｂｏｏｋ ｏｆ ｒｏｂｏｔｉｃｓ［Ｍ［．Ｈｅｉ— ｄｅｌｂｅｒｇ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｆｌａｇ，２００８． 【３］刘玉斌，赵杰，杨永刚，等．一种新型６－ＰＲＲＳ并联机器人正解 研究Ⅲ．机械设汁与制造，２００７（６）：１４５—１４６． ［１２】吴广玉，姜复兴．机器人工程导论［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨工业大 学出版社，１９８８． 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