九上数学 第29讲 第六章 反比例函数 经典题型

第29讲《反比例函数》培优训练反比例函数经典题型

一、基础知识1.定义：一般地，形如y

kk

（k为常数，ko）的函数称为反比例函数。y还可以写成ykx

xx12.反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.⑵比例系数k0

⑶自变量x的取值为一切非零实数。⑷函数y的取值是一切非零实数。3.反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法123列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，y

k

（k为常数，k0）中自变量x0，函数值y0，所以双曲x

线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是yx或yx）。⑷反比例函数y

kk

（k0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y（k0）上任意引x轴yxx

轴的垂线，所得矩形面积为k。4．反比例函数性质如下表：k的取值koko

图像所在象限一、三象限二、四象限函数的增减性在每个象限内，y值随x的增大而减小在每个象限内，y值随x的增大而增大5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数y

第1页共12页k

中的x

两个变量必成反比例关系。二、例题【例1】如果函数ykx

2k2k2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y

四象限内，则k0可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：k，（k0）即ykxx1（k0）又在第二，12k2k21k1或k

解得2k0k0k1

k1时函数ykx2k【例2】在反比例函数y下列各式正确的是（A．y3y1y2）B．y3y2y1C．y1y2y3D．y1y3y22k2为y

1

的图像上有三点x1，y1，x2，y2，x3，y3。若x1x20x3则x1x【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：由题意得y1

111，y2，y3x1x2x3x1x20x3，y3y1y2所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y

1

的图像x描出三个点，满足x1x20x3观察图像直接得到y3y1y2选A解法三：用特殊值法1

x1x20x3,令x12,x21,x31y1,y21,y31,y3y1y223nm1

的图像相交于点（，2）【例3】如果一次函数ymxnm0与反比例函数y，那么该直线x2与双曲线的另一个交点为（【解析】）1m23nm1mn2

直线ymxn与双曲线yx相交于，2，2解得

x23nm1n1

第2页共12页y2x11

1直线为y2x1,双曲线为y解方程组yxx

x1另一个点为1，1得1

y11

1x22y22

【例4】如图，在RtAOB中，点A是直线yxm与双曲线y则m的值是_____.解:因为直线yxm与双曲线y则有yAxAm,yA

m

在第一象限的交点，且SAOB2，x

m

过点A,设A点的坐标为xA,yAx

m

.所以mxAyA.xA又点A在第一象限,所以OBxAxA,AByAyA.所以SAOB三、练习题1.反比例函数yA．第一、二象限111

OBABxAyAm.而已知SAOB2.2222

的图像位于（x

B．第一、三象限所以m4.）C．第二、三象限）D、不能确定）D．第二、四象限2.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（A、正比例函数B、反比例函数2

C、一次函数3.如果矩形的面积为6cm，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（yoAxByoxyoCxyoDx4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120kPa）D、小于时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（A、不小于53

m4

B、小于53

m4

C、不小于43

m543

m5

第3页共12页5．如图，A、C是函数y

1

的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，x

）B．S1D．S1与S2的大小关系不能确定 yA过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则（A.S1＞S2C．S1=S2

OCDBx6．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=n1

的图象都经过点A（-2，1）.x

求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；（3）△AOB的面积．k7.如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知x1点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，m）．2（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．AOCB8.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？10．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数第4页共12页y

积。m

的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB的面x四、课后作业1．对与反比例函数y

2

，下列说法不正确的是（x）A．点（2,1）在它的图像上C．当x0时，y随x的增大而增大2.已知反比例函数yA、（2，1）B．它的图像在第一、三象限D．当x0时，y随x的增大而减小

）k

，则这个函数的图象一定经过（k0的图象经过点（1，-2）x

C、（2，4）D、（-1，-2）B、（2，-1）3．在同一直角坐标平面内，如果直线yk1x与双曲线yA.k1+k2=0B.k1·k2<0C.k1·k2>0k2没有交点，那么k1和k2的关系一定是（x

）D.k1=k2k4.反比例函数y＝的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．x15.点P（2m－3，1）在反比例函数y＝的图象上，则m＝__________．x6.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．7.已知反比例函数y取值范围是？12m

的图象上两点Ax1,y1,Bx2,y2，当x10x2时，有y1y2，则m的x第5页共12页8.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：(1)求y和x之间的函数关系式；(2)当x=8时，求y的值；(3)y＝-2时，x的值。9.已知b3,且反比例函数y上y

1b

，求a是多少？x1b

的图象在每个象限内，y随x的增大而增大,如果点a,3在双曲线x

第6页共12页北师大九年级数学上册第六章反比例函数

一、选择题（共10小题，每小题

3分，共30分）

1.下列函数中，是反比例函数的是（）

A.

B.

C.

，若圆柱底面半径为

D.，高线长为

，则关于的函

2.已知圆柱的侧面积是数的图象大致是（）

A.

B.

C.D.

3.如图，，是函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为，

的面积为，

的面积为，则

过点作轴的垂线，垂足为，记和的大小关系是（）A.C.

4.已知反比例函数的大小关系是（）A.5.函数

B.

C.

B.

D.由，两点的位置确定的图象上有两点

、

，且

，则与

D.不能确定

的图象大致是下图中的（）

A.B.C.D.

6.若反比例函数的图象过点A.7.如图

，

B.

，则的值是（）C.

D.

的图象

均是等腰直角三角形，点，在函数

上，直角顶点，均在轴上，则点的坐标为（）

A.B.C.D.

第7页共12页8.若点在函数的图象上，且，则它的图象大致是（）

A.B.C.D.

9.对于反比例函数A.点

，下列说法正确的是（）

B.它的图象经过原点D.当

时随的增大而增大

轴，

轴，

在它的图象上

C.它的图象在第一、三象限10.如图，、是双曲线则四边形A.

B.

上关于原点对称的任意两点，

的面积满足（）

C.

D.

3分，共30分）和正方形

的顶点

都在函数

二、填空题（共10小题，每小题11.如图，若正方形

的顶点

的图象上，则点的坐标是________,________

12.如图，双曲线的

的直角边在轴上，斜边上的中线交轴于点，________．

图象经过点，若的面积为，则

13.如图，，是函数交轴于点，

的图象上关于原点对称的任意两点，平行于轴，

的面积为________．

平行于轴，交轴于点，则四边形

14.如果反比例函数的图象经过点，那么________．

第8页共12页15.如图，已知反比例函数

和点

________．

的图象与一次函数的图象交于点

的面积

，如果点与点关于轴对称，求

16.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流（安）与电阻（欧）成反比例关系，请观察图，写出电阻

欧时，电流的取值范围________（安）．

17.函数，的图象如图所示，则结论：；②当

时，

；

随着的

①两函数图象的交点的坐标为③当

时，

；④当逐渐增大时，随着的增大而增大，

增大而减小．其中正确结论的序号是________．

18.如图，为双曲线

，则

________．

上一点，直线平行于轴交直线于点，若

第9页共12页三、解答题（共8小题，共62分）1.(6分)如图，点的坐标为于点；作

交双曲线

，过点作轴的平行线交轴于点，交双曲线

于点，连接

．已知

．

求的值；求的面积；求当时函数的取值范围（直接写出答案）

2.（8分）如图，反比例函数和的值．

的图象过点，轴于点，且，求

3.(8分)如图，在平面直角坐标系中，形，、分别是、才边上的点，沿着上的点处，点落在点处．求、两点的坐标；点是矩形的

边上的点，且

、，四边形是矩折叠矩形，点恰好落在轴

，点在平面直角坐标系中，以

点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

第10页共12页4.(8分)已知反比例函数求这个反比例函数的解析式；若

，

的图象经过点．

是这个反比例函数图象上的两个点，请比较、的大小，并说明理由．

5.(8分)如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象．且点横坐标是点纵坐相交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，标的倍．求反比例函数的解析式；设点横坐标为，面积为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．6.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数轴于点，

，

，

的图象交于第二象限内的、两点，过点作

点的纵坐标为．

求反比例函数和一次函数的解析式；求的面积．

第11页共12页7.(8分)如图，直线与反比例函数的图象交于

点、，与轴、轴分别交于、，，．求反比例函数解析式；联结，求的正切值；点在直线上，点在反比例函数图象上，如果以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

第12页共12页答案

1.C16.21.解：∵2.B3.C4.A5.D6.B7.B18.8.B9.C10.C19.，且．11.20.，12.13.14.15.17.①③④轴，点的坐标为，点的坐标为中得：∴点的坐标为将点的坐标代入到双曲线，解得：令，则．．．，的面积由函数的单调性可知：当22.解：∵，∴∴，∵点双曲线的解析式为，∴点的坐标为∴，点，．，令，，时，，，．，∵函数图象在第二象限，∴反比例函数解析式为∵反比例函数的图象过点，∴，解得：．23.解：∵、∴，，设，则在中，∵，∴，解得，∴．∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，，．．第1页共16页∴∴，；设过点、的双曲线解析式为：如图，过∵∴，∵∵∴，，∴，．．故设作，于，．．解得，则，∴，有三种情况如图：①把线段先向右平移个单位长度，再向上平移个单位，端点落在处，；②把线段先向左平移个单位长度，再向下平移个单位，端点落在处，；③把线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位，端点落在处，．综上所述，在平面直角坐标系中存在、、使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．24.解：∴∵反比例函数，解得．；①当时，则；，的图象经过点，∴这个反比例函数的解析式是∵反比例函数②当由图象知当时，则∵反比例函数∴25.解：的图象在第一象限内是减函数，∴时，则；，的图象在第三象限内是减函数，，．∵反比例函数的一个分支位于第二象限，∴另一个分支应该位于第四象限，∴，解得：；∵在每一个象限内，随的增大而增大，26.解：设点的纵坐标为，则点的横坐标为．，∴．第2页共16页根据题意，得，∵，∴．∴点的坐标为．设反比例函数为，得，∴反比例函数解析式为．设点的坐标为．根据直线为，可以把点，的坐标代入，得，解得．∴直线为．当时，，∴，∴点坐标为．∵，∴，∵，，∴，∴．且自变量的取值范围是．27.解：∵在中，，，∴，∴，∵把的坐标代入得：，∴，∵令，解得：，∴，∵过、两点，∴，解得：，，∴；设直线交轴于，∵在中，令时，，∴，∴．28.解：∵直线与轴交与点，∴．∵，∴，即，第3页共16页∴∴直线设∵∴∴，，解得的解析式为，，，．，，解得，∴的图象上，∴；，．，于点，∵点在第一象限，∴∵点在反比例函数∴反比例函数的解析式为∵∴∵∴∴，即，，，，过点作，．，．∵∴∴∴∴∵∴当∴当∴当∴，，解得．或，，，．，，解得，设，，为平行四边形的对角线时，；为平行四边形的对角线时，；为平行四边形的对角线时，．或或，解得，，解得，综上所述，．第4页共16页