2020年安徽省合肥市中考数学二模试卷 (含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. √的平方根是( )

1681

A. 4

9

B. 2

3

C. ±4

9

D. ±2

3

2. 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

3. 下列各选项中因式分解正确的是( )

A. 𝑥2−1=(𝑥−1)2 C. −2𝑦2+4𝑦=−2𝑦(𝑦+2)

B. 𝑎3−2𝑎2+𝑎=𝑎2(𝑎−2) D. 𝑚2𝑛−2𝑚𝑛+𝑛=𝑛(𝑚−1)2

4. 某种病毒的直径约为0.000000029米，将0.000000029用科学记数法表示为( )

A. 2.9×10−8

5. 如果不等式组{

B. 29×10−8 C. 2.9×10−9 D. 29×10−9

𝑥>𝑎恰有3个整数解，则a的取值范围是 𝑥<2

A. 𝑎≤−1 B. 𝑎<−1 C. −2≤𝑎<−1 D. −2<𝑎<−1

6. 下面的几何体中，主视图为三角形的是( )

A.

B.

C.

D.

7. 某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率

为x，根据题意，可列出方程为( )

A. 50(1+𝑥)2=60 B. 50(1+𝑥)2=120

C. 50+50(1+𝑥)+50(1+𝑥)2=120 D. 50(1+𝑥)+50(1+𝑥)2=120

8. 函数𝑦=𝑎𝑥2−𝑎与𝑦=𝑎𝑥−𝑎(𝑎≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

9. 用一个圆心角为90°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，则圆锥的高为( )

A. √17 B. √15 C. 2√3 D. √7

E是BC上的一点，10. 如图，在矩形ABCD中(𝐴𝐷>𝐴𝐵)，且𝐷𝐸=𝐷𝐴，

𝐴𝐹⊥𝐷𝐸于点𝐹.下列结论不一定正确的是( )

A. △𝐴𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸 B. 𝐴𝐹=𝐴𝐷 C. 𝐴𝐵=𝐴𝐹 D. 𝐵𝐸=𝐴𝐷−𝐷𝐹

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 一组数据：2，5，3，1，6，则这组数据的中位数是 ． 12. 分解因式：4𝑥3−𝑥= ______ ．

13. 如图，点A，B分别在反比例函数𝑦=𝑥，𝑦=𝑥的图象上，𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，

若tan∠𝐴𝐵𝑂=2，则k的值为______．

14. 在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是𝑂(0,0)，𝐴(8,0)，𝐵(8,6)，𝐷(0,6)，已知矩

形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为2，则点𝐵1的坐标是____． 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

1

1

1

𝑘

15. √16+(2−√2)0−(−2)−2+|−1|

16. 先化简，再求值：

17. 如图，5×5的正方形网格中隐去了一些网格线，AB，CD间的距离是2个单位，CD，EF间的

距离是3个单位，格点O在CD上(网格线的交点叫格点).请分别在图①、②中作格点三角形OPQ，使得∠𝑃𝑂𝑄=90°，其中点P在AB上，点Q在EF上，且它们不全等．

𝑎2−4𝑎−3

1

÷(1+𝑎−3)，其中𝑎=3√5−2．

1

18. 如图，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图像为直线𝑙1，经过𝐴(0,4)和𝐷(4,0)两点；一次函数𝑦=2𝑥+1的

图像为直线𝑙2，与x轴交于点C；两直线𝑙1，𝑙2相交于点B．

1

(1)求k、b的值； (2)求点B的坐标；

(3)若直线𝑙2上有一点P，满足𝑆▵𝑃𝐴𝐶=3𝑆▵𝐴𝐵𝐶，求点P的坐标．

(4)如图2，点E为线段CD上一点，∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐵𝐶𝐷，点Q为射线CD上一点，且点Q到直线BC、BE的距离相等，求点Q的坐标．

1

19. 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A

站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离为多少千米？(参考数据：√3≈1.732，结果保留小数点后一位)

20. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC、AB相交

于点D、E，连接AD，已知∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵 (1)求证：AD是⊙𝑂的切线；

(2)若∠𝐵=30°，𝐴𝐶=√3，求劣弧BD与弦BD所围图形的面积． (3)若𝐴𝐶=4，𝐵𝐷=6，求AE的长．

21. 为培养学生良好的学习习惯，某校九年级年级组举行“整理错题集“的征集展示活动，并随机

对部分学生三年“整理题集”中收集的错题数x进行了抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表． 分组 第一组(0≤𝑥<120) 频数 3 a 0.35 0.1 频率 0.15 第二组(120≤𝑥<160) 8 第三组(160≤𝑥<200) 7 第四组(200≤𝑥<240) b

请你根据图表中的信息完成下列问题：

(1)频数分布表中𝑎=______，𝑏=______，并将统计图补充完整；

(2)如果该校九年级共有学生360人，估计整理的错题数在160或160题以上的学生有多少人？ (3)已知第一组中有两个是甲班学生，第四组中有一个是甲班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈整理错题的体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

22. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出

600个；面销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元． (1)写出销售量𝑦(件)和获得利润𝑤(元)与销售单价𝑥(元)之间的函数关系；

(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于0件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

23. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐴=30°，𝐴𝐵=8，动点P从

点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作𝑃𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐷(点P不与点A、B重合)，作∠𝐷𝑃𝑄=60°，边PQ交射线DC于点𝑄.设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段DC的长； (2)当点Q与点C重合时，求t的值；

(3)设△𝑃𝐷𝑄与△𝐴𝐵𝐶重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (4)当线段PQ的垂直平分线经过△𝐴𝐵𝐶一边中点时，直接写出t的值．

【答案与解析】

1.答案：D

解析：

此题主要考查了平方根以及算术平方根，正确把握相关定义是解题关键． 首先化简算术平方根，进而利用平方根的定义得出答案． 解：√

8116

9

=，它的平方根是：±2． 4

3

故选：D．

2.答案：A

解析：

本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

解：𝐴.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 故选A.

3.答案：D

解析：

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断即可． 解：𝐴.𝑥2−1=(𝑥+1)(𝑥−1)，故此选项错误；

B.𝑎3−2𝑎2+𝑎=𝑎(𝑎2−2𝑎+1)=𝑎(𝑎−1)2，故此选项错误；

C.−2𝑦2+4𝑦=−2𝑦(𝑦−2)，故此选项错误；

D.𝑚2𝑛−2𝑚𝑛+𝑛=𝑛(𝑚2−2𝑚+1)=𝑛(𝑚−1)2，故此选项正确． 故选D．

4.答案：A

解析：解：0.000000029=2.9×10−8． 故选：A．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5.答案：C

解析：

此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．首先根据不等式恰好有3个整数解求出不等式组的解集为−1≤𝑥<2，继而可得a的取值范围．

解：∵不等式恰好有3个整数解， ∴−1≤𝑥<2， ∴−2≤𝑎<−1． 故选C．

6.答案：C

解析：解：A、主视图是长方形，故A选项错误； B、主视图是长方形，故B选项错误； C、主视图是三角形，故C选项正确；

D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；

故选：C．

主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．

此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．

7.答案：D

解析：

本题主要考查由实际问题抽象问题出一元二次方程，涉及增长率问题，可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为𝑎(1+𝑥)2=𝑏，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

根据相等关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)2，如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产120台”，即可列出方程． 解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：50(1+𝑥)， 三月份生产机器为：50(1+𝑥)2； 又知二、三月份共生产120台；

所以，可列方程：50(1+𝑥)+50(1+𝑥)2=120． 故选：D．

8.答案：D

解析：

本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．

分𝑎>0与𝑎<0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论． 解：①当𝑎>0时，二次函数𝑦=𝑎𝑥2−𝑎的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴， 一次函数𝑦=𝑎𝑥−𝑎(𝑎≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点； ②当𝑎<0时，二次函数𝑦=𝑎𝑥2−𝑎的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴， 一次函数𝑦=𝑎𝑥−𝑎(𝑎≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．

对照四个选项可知D正确． 故选：D．

9.答案：B

解析：解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得2𝜋𝑟=

90⋅𝜋⋅4180

，解得𝑟=1，

所以圆锥的高=√42−12=√15． 故选B．

设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2𝜋𝑟=

90⋅𝜋⋅4180

，然后求出r后利用勾股定理计算圆锥的高．

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

10.答案：B

解析：

本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等.先根据已知条件判定△𝐴𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆)，再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可． 解：𝐴.∵四边形ABCD是矩形，𝐴𝐹⊥𝐷𝐸， ∴∠𝐶=∠𝐴𝐹𝐷=90°，𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐷𝐸𝐶， 又∵𝐷𝐸=𝐴𝐷，

∴△𝐴𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆)，故A正确； B.∵𝐴𝐹⊥𝐷𝐸， ∴∠𝐴𝐹𝐷=90°，

∴直角三角形ADF中，直角边AF一定不等于斜边AD，故B错误； C.∵△𝐴𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸， ∴𝐴𝐹=𝐶𝐷，

∵四边形ABCD是矩形，

∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，

∴𝐴𝐵=𝐴𝐹，故C正确； D.∵△𝐴𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸， ∴𝐶𝐸=𝐷𝐹，

∵四边形ABCD是矩形， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐷， 又∵𝐵𝐸=𝐵𝐶−𝐸𝐶，

∴𝐵𝐸=𝐴𝐷−𝐷𝐹，故D正确； 故选B．

11.答案：3

解析：

本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解可得． 解：将这5个数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6， 故这组数据的中位数是3．

12.答案：𝑥(2𝑥+1)(2𝑥−1)

解析：

此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 首先直接提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 解：4𝑥3−𝑥=𝑥(4𝑥2−1)=𝑥(2𝑥+1)(2𝑥−1)． 故答案为：𝑥(2𝑥+1)(2𝑥−1)．

13.答案：−4

解析：

本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据反比例函数系数k的几何意义结合相似三角形的性质找出关于k的分式方程是解题的关键．

过点A作𝐴𝐶⊥𝑦轴于点C，过点B作𝐵𝐷⊥𝑦轴于点D，根据角与角之间的关系即可得出△𝐴𝑂𝐶∽△𝑂𝐵𝐷，由此即可得出

，再根据反比例函数系数k的几何意义以及tan∠𝐴𝐵𝑂=2，即可得出

1

关于k的分式方程，解之即可得出结论．

解：过点A作𝐴𝐶⊥𝑦轴于点C，过点B作𝐵𝐷⊥𝑦轴于点D，如图所示．

∵𝐴𝐶⊥𝑦轴，𝐵𝐷⊥𝑦轴，𝑂𝐴⊥𝑂𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝑂𝐷𝐵=90°，∠𝐴𝑂𝐵=90°．

∵∠𝑂𝐴𝐶+∠𝐴𝑂𝐶=90°，∠𝐵𝑂𝐷+∠𝑂𝐵𝐷=90°，∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐵𝑂𝐷=180°−90°=90°， ∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝑂𝐵𝐷， ∴△𝐴𝑂𝐶∽△𝑂𝐵𝐷， ∴𝑆△𝐴𝑂𝐶=(𝐵𝑂)2，

△𝑂𝐵𝐷

𝑆𝐴𝑂

∵反比例函数𝑦=𝑥在第四象限有图象， ∴𝑘<0．

∵tan∠𝐴𝐵𝑂=，𝑆△𝐴𝑂𝐶=×1=，𝑆△𝑂𝐵𝐷=|𝑘|=−𝑘，

22222∴

1

21−𝑘2𝑘

11111

=4，

1

解得：𝑘=−4，

经检验：𝑘=−4是该方程的解． 故答案为：−4．

14.答案：(4,3)或(−4,−3)

解析：解：∵矩形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为2， ∴点𝐵1的坐标是：(4,3)或(−4,−3)． 故答案为：(4,3)或(−4,−3)．

由矩形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为2，又由点B的坐标为(8,6)，

1

1

即可求得答案．

此题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用．

15.答案：解：√16+(2−√2)0−(−2)−2+|−1|=4+1−4+1=2．

解析：本题考查了绝对值以及算术平方根、负整数指数幂的运算，属于基础题． 根据绝对值、算术平方根和负整数指数幂计算即可．

1

16.答案：解：原式=

=𝑎+2，

当𝑎=3√5−2时，

(𝑎+2)(𝑎−2)𝑎−3

𝑎−3

⋅

𝑎−2

原式=3√5−2+2=3√5．

解析：把分式化简后，再把分式中a的值代入求出分式的值． 本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．

17.答案：解：△𝑃𝑂𝑄如图所示；

解析：利用数形结合的思想，构造直角三角形即可解决问题；

本题考查作图−应用与设计、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

18.答案：解：(1)(1)把𝐴(0,4)和𝐷(4,0)分别代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏得{

𝑘=−1解得{；

𝑏=4

𝑦=−𝑥+4

1(2)解方程组{ 𝑦=2𝑥+1𝑥=2

得{， 𝑦=2

𝑏=4

，

4𝑘+𝑏=0

所以点B的坐标为(2,2)；

(3)𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=×3×2+×3×2=6，

2

2

1

1

∴𝑆𝛥𝑃𝐴𝐶=3𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=2，

∴𝑆𝛥𝑃𝐴𝐸=3−2=1或𝑆△𝑃𝐴𝐸=3+2=5， ∴2|𝑥𝑃|=1或2|𝑥𝑃|=5， ∵𝑥𝑃<0，

∴𝑥𝑃=−或𝑥𝑃=−，

33∴𝑦𝑝=3或𝑦𝑝=−3， ∴𝑃(−,)或𝑃(−33(4)由题意得

𝑄(4−2√2,0)或𝑄(4+2√2,0)．

22

103

2

2

2

10

3

3

1

,−)； 3

2

解析：本题考查的是一次函数的图象，一次函数解析式的求法，三角形的面积，点的坐标的确定等有关知识．

(1)把点A和点D的坐标分别代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏得到关于k、b的方程组，然后解方程求出k、b的值； 𝑦=−𝑥+4

1(2)根据两直线相交的问题，通过解方程组{得到点B的坐标； 𝑦=𝑥+1

2

(3)直接用三角形的面积公式即可得出结论； (4)根据题意直接求解即可．

19.答案：解：过点C作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，

根据题意得：∠𝐶𝐴𝐷=90°−60°=30°， ∠𝐶𝐵𝐷=90°−30°=60°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐶𝐴𝐷=30°， ∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐴𝐶𝐵， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐵=2𝑘𝑚， 在𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐷中， 𝐶𝐷=𝐵𝐶⋅𝑠𝑖𝑛60°=2×

√32

=√3≈1.7(𝑘𝑚)，

答：船C到海岸线l的距离约为1.7𝑘𝑚．

解析：过点C作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．

20.答案：(1)证明：连接OD，如图1所示：

∵𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴∠3=∠𝐵， ∵∠𝐵=∠1， ∴∠1=∠3，

在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，∠1+∠2=90°， ∴∠4=180°−(∠2+∠3)=90°， ∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐷， 则AD为⊙𝑂的切线；

(2)解：连接OD，作𝑂𝐹⊥𝐵𝐷于F，如图2所示：

∵𝑂𝐵=𝑂𝐷，∠𝐵=30°，∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐵=30°， ∴∠𝐷𝑂𝐵=120°，

∵∠𝐶=90°，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵=30°， ∴𝐶𝐷=

√3𝐴𝐶3

=1，𝐵𝐶=√3𝐴𝐶=3，

∴𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐶𝐷=2， ∵𝑂𝐹⊥𝐵𝐷，

∴𝐷𝐹=𝐵𝐹=2𝐵𝐷=1，𝑂𝐹=√3𝐵𝐹=√3，

33∴𝑂𝐵=2𝑂𝐹=

2√3

， 3

120𝜋×(

2√32

)3

1

∴劣弧BD与弦BD所围图形的面积=扇形ODB的面积−△𝑂𝐷𝐵的面积=

4

360

−×2×

2

1

√33

=

𝜋−9

√3

； 3

(3)解：∵∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵，∠𝐶=∠𝐶， ∴△𝐴𝐶𝐷∽△𝐵𝐶𝐴， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝐴𝐵，

∴𝐴𝐶2=𝐶𝐷×𝐵𝐶=𝐶𝐷(𝐶𝐷+𝐵𝐷)， 即42=𝐶𝐷(𝐶𝐷+6)，

解得：𝐶𝐷=2，或𝐶𝐷=−8(舍去)， ∴𝐶𝐷=2，

∴𝐴𝐷=√𝐴𝐶2+𝐶𝐷2=2√5， ∵𝐴𝐶=𝐴𝐵， ∴=

42

2√5

， 𝐴𝐵𝐶𝐷

𝐴𝐷

𝐴𝐶

𝐶𝐷

𝐴𝐷

∴𝐴𝐵=4√5，

∵𝐴𝐷是⊙𝑂的切线，连接DE，OD，

∵∠𝐴𝐷𝐸+∠𝑂𝐷𝐸=∠𝐵+∠𝑂𝐷𝐸=90°， ∴∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐸,∠𝐴=∠𝐴， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐷， ∴𝐴𝐷2=𝐴𝐸×𝐴𝐵，

∴𝐴𝐸=

𝐴𝐷2𝐴𝐵

=

(2√5)24√5=√5．

解析：本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、切割线定理、三角形面积公式等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题(3)的关键．

(1)连接OD，由𝑂𝐷=𝑂𝐵，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可证AD是⊙𝑂的切线；

(2)连接OD，作𝑂𝐹⊥𝐵𝐷于F，由直角三角形的性质得出CD，BC，得出BD，由直角三角形的性质得出DF，OF，OB，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果；

(3)证明△𝐴𝐶𝐷∽△𝐵𝐶𝐴，得出𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝐴𝐵，求出CD，由勾股定理得出AD，求出AB，再由切割线定理即可得出AE的长．

𝐴𝐶

𝐶𝐷

𝐴𝐷

21.答案：(1)0.4，2，统计图补充为：

(2)360×(0.35+0.1)=162，

所以估计整理的错题数在160或160题以上的学生有162人； (3)画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中所选两人正好都是甲班学生的结果数为2， 所以所选两人正好都是甲班学生的概率=6=3．

2

1

解析：

解：(1)3÷0.15=20， 𝑎=

820

=0.4；

𝑏=20×0.1=2； 故答案为0.4，2； 统计图见答案； (2)见答案； (3)见答案．

(1)先利用第一组的频数和频率计算出调查的总人数，然后计算a、b的值，最后补全统计图； (2)用360乘以样本中第三、四的频率和，则可估计出整理的错题数在160或160题以上的学生数； (3)画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出所选两人正好都是甲班学生的结果数，然后根据概率公式求解．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． (1)依题意，𝑦=600−10(𝑥−40)=解：易得销售量𝑦(件)与销售单价𝑥(元)之间的函数关系：22.答案：−10𝑥+1000，

获得利润𝑤(元)与销售单价𝑥(元)之间的函数关系为：

𝑤=𝑦⋅(𝑥−30)=(1000−10𝑥)(𝑥−30)=−10𝑥2+1300𝑥−30000； (2)根据题意得，𝑥≥44时且1000−10𝑥≥0， 解得：44≤𝑥≤46，

𝑤=−10𝑥2+1300𝑥−30000=−10(𝑥−65)2+12250， ∵𝑎=−10<0，对称轴𝑥=65，

∴当44≤𝑥≤46时，y随x的增大而增大， ∴当𝑥=46时，𝑤最大值=80元，

即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是80元．

解析：此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在𝑥=−2𝑎时取得． (1)根据销售利润=销售量×(售价−进价)，建立函数关系式即可；

𝑏

(2)根据题意得，𝑥≥14时且1000−10𝑥≥0，解得：44≤𝑥≤46，则此时𝑤=−10(𝑥−65)2+12250，而𝑎<0，则得当44≤𝑥≤46时，y随x的增大而增大，即在𝑥=46𝑗时，可取得最大值．

23.答案：解：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30°，𝐴𝐵=8，

∴𝐴𝐶=4√3， ∵𝑃𝐷⊥𝐴𝐶，

∴∠𝐴𝐷𝑃=∠𝐶𝐷𝑃=90°， 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝑃中，𝐴𝑃=2𝑡，

∴𝐷𝑃=𝑡，𝐴𝐷=𝐴𝑃𝑐𝑜𝑠𝐴=2𝑡×√=√3𝑡，

23

∴𝐶𝐷=𝐴𝐶−𝐴𝐷=4√3−√3𝑡(0<𝑡<2)； (2)在𝑅𝑡△𝑃𝐷𝑄中，∵∠𝐷𝑃𝐶=∠𝐷𝑃𝑄=60°， ∴∠𝑃𝑄𝐷=30°=∠𝐴， ∴𝑃𝐴=𝑃𝑄， ∵𝑃𝐷⊥𝐴𝐶， ∴𝐴𝐷=𝐷𝑄， ∵点Q和点C重合， ∴𝐴𝐷+𝐷𝑄=𝐴𝐶， ∴2×√3𝑡=4√3，

∴𝑡=2

(3)∵∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐷𝑃𝑄=60°，∠𝑃𝐷𝐴=∠𝑃𝐷𝑄，𝐷𝑃=𝐷𝑃 ∴△𝐴𝑃𝐷≌△𝑄𝑃𝐷(𝐴𝑆𝐴)

∴𝐷𝑄=𝐴𝐷=√3𝑡，∠𝐴=∠𝐷𝑄𝑃=30° 当点Q在线段AC上时，即0<𝑡≤2 𝑆=2×𝐷𝑄×𝐷𝑃=

1

√32

𝑡． 2

当点Q在线段AC延长线上，即2<𝑡<4

∵𝐶𝑄=𝐷𝑄−𝐷𝐶

∴𝐶𝑄=√3𝑡−(4√3−√3𝑡)=2√3𝑡−4√3 ∵∠𝐷𝑄𝑃=30° ∴𝐶𝐸=2𝑡−4

∵𝑆=𝑆△𝐷𝑃𝑄−𝑆△𝐶𝐸𝑄．

∴𝑆=

3√32√321

𝑡−𝐶𝐸×𝐶𝑄=−𝑡+8√3𝑡−8√3 222

(4)如图：当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，

∴∠𝑃𝐺𝐹=90°，𝑃𝐺=2𝑃𝑄=2𝐴𝑃=𝑡，𝐴𝐹=2𝐴𝐵=4， ∵∠𝐴=∠𝐴𝑄𝑃=30°， ∴∠𝐹𝑃𝐺=60°， ∴∠𝑃𝐹𝐺=30°， ∴𝑃𝐹=2𝑃𝐺=2𝑡， ∴𝐴𝑃+𝑃𝐹=2𝑡+2𝑡=4，

∴𝑡=1

如图：当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，

111

∴∠𝑄𝑀𝑁=90°，𝐴𝑁=2𝐴𝐶=2√3，𝑄𝑀=2𝑃𝑄=2𝐴𝑃=𝑡， 在𝑅𝑡△𝑁𝑀𝑄中，𝑁𝑄=∵𝐴𝑁+𝑁𝑄=𝐴𝑄，

∴2√3+3

∴𝑡= 22√3𝑡=2√3𝑡 3𝑀𝑄𝑐𝑜𝑠30∘111

=

2√3𝑡， 3

如图：当PQ的垂直平分线过BC的中点时，

∴𝐵𝐹=2𝐵𝐶=2，𝑃𝐸=2𝑃𝑄=𝑡，∠𝐻=30°， ∵∠𝐴𝐵𝐶=60°， ∴∠𝐵𝐹𝐻=30°=∠𝐻， ∴𝐵𝐻=𝐵𝐹=2，

在𝑅𝑡△𝑃𝐸𝐻中，𝑃𝐻=2𝑃𝐸=2𝑡， ∴𝐴𝐻=𝐴𝑃+𝑃𝐻=𝐴𝐵+𝐵𝐻， ∴2𝑡+2𝑡=10，

5∴𝑡=

2综上所述：𝑡=1,2,2．

35

11

解析：(1)先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论； (2)利用𝐴𝐷+𝐷𝑄=𝐴𝐶，即可得出结论；

(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论； (4)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．

此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．