均值不等式在实际生活中的应用

均值不等式在实际生活中的应用

在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决．这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用．

例1 利用已有足够长的一面围墙和100米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？

解 设围墙的邻边长为x米，则围墙对边长为(1002x)米，那么所围场地面积为

12x(1002x)Sx(1002x)2

12x1002x2()125022，

当且仅当2x1002x，即x25米时，围成的面积最大，最大值为1250平方米．

机械制造业是各行业技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式．

例2 用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为2的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h米，盖子的边长为a米，容器的容积为V，问当a为何值时，V最大，并求最大值．

1a22a()h22a解 因为底面积为，四个侧面积均为2，所以全面积为

Sa24aa2()h2222，

整理得

a1h21 (0h)，而容积

111113h1Vha2h2h， 33h1由均值不等式，得

113(h)h132h1h16V，

当且仅当米．

h211a2时，容器的容积最大，其最大值为6立方h时，取等号，即h1，

近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理．

例3 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系式为

Q3x1x1 (x0)，已知生产此产品的年固定

投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润

最大？

解 设企业年利润为W万元，由已知条件，知年成本为(32Q3)万元，年收入为

(32Q3)150%x50%万元，则年利润

W(32Q3)150%x50%(32Q3)，

整理得

x298x35W2(x1) (x0)．

由于

(x1)2100(x1)64x132W50()2(x1)2x15021642，

x1322x1，即x7时，W有最大值，最大值为42万元． 因此当且仅当