解题方法ｓ技巧 ＺＨＯＮＧＸＵＥ ＪＩＡＯＸＵＥ ＣＡＮＫＡＯ 例谈应用均值不等式求最值的解法 广西天等县高级中学（５３２８００）黄玉凤 最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各 三、给条件的最值问题的解法 上面的方法针对的是给式子直接求取最值的题型， 个知识板块．学生在学到“均值不等式的应用”时，常感 觉到“均值不等式 ≥￣／ （ｎ＞ｏ，ｂ＞Ｏ，当且仅当ａ— 还有一类题型是给条件的最值问题，此类题型的解法颇 多，在此我们主要运用均值不等式法，归纳为以下几类． １．条件式子与所求式子相乘 ｂ时等号成立）”这一知识极易理解，但在解题过程中却 往往不知道如何运用．在教学中，我整理了均值不等式 求最值的解法，以解除学生的学习困惑． 【例５】 已知正数ｚ、 满足导＋专一１，求ｚ＋２ 一、负化正 在运用均值不等式的时候首先要注意ｎ＞０，ｂ＞Ｏ 的条件（即一正）．如下题型，当正数条件不满足时，可以 将负数化为正数，产生满足要求的条件． 【例１】求，（ｚ）一４ｚ＋ （ｚ＜ｏ）的最大值． 解：‘．。ｚ＜０，．‘．一ｚ＞０ ．‘．厂（ ）＝一４（一ｚ）＋（一 Ｉｌ）一一［（－－４ｘ）＋（一旦）Ｔ ］‘．‘（－－４ｘ）＋（一 ）≥１２，．’．厂（ ）≤一１２ 当且仅当４（－－ｘ）一一 ，即 一一号时，厂（ｚ）等号 成立，取最大值为一１２． 二、构造法 １．配系数 【例２】当０＜ｘ＜４时，求 一ｚ（８—２ｚ）的最大值． 解：．ｙ—ｚ（８—２ｘ）一寺×２ｘ（８—２ｘ）≤寺× ［ 兰 ］ｚ一８．当且仅当２ｘ＝８—２ 且０＜ ＜４， 即ｚ一２时，等号成立，所以Ｙ的最大值为８． ２．添加项 【例３】 求厂（口）一 ＋ｎ（ｎ＞３）的最小值． 解：。・‘口＞３，・‘・ａ－－３＞０，・ ・厂（口）一 ＋（ｎ一３）＋３ ≥２√ ×（ｎ一３）十３—７．当且仅当 一ｎ一３且 ａ＞３，即口一５时，等号成立．，（ａ）有最小值为７． ３．拆分项 【例４】 求ｆ（ｘ）一 的最小值・ 解：厂（ｚ）一 ｘ２＋ ２一 一 可＋ ； ≥２－当且仅当 而一 １ ，即 —ｏ时， 等号成立．厂（ｚ）取最小值为２． 的最小值． 解：ｚＨ－２ｙ一（鲁＋专）（ ＋２ ）一ｌ０＋詈＋１．６ｚ２≥１ｏ ＋２＾ ． ：１８， Ｖ Ｙ ｆ旦＋ 一１ 当且仅当ｊｌ 三ｚ Ｙ。 ，即 一１２， 一３时等号成立， 一 【 ｚ 故此函数最小值是１８． ２．条件式子直接生成所求式子 【例６】若ｚ＞０， ＞ｏ，且导＋导一１，则 有最一 值为 ． 解析： 一导＋号≥２√ ≤专 ≥ ４， 当且仅当 一号且昙＋号一１，即 一４， 一１６时， 等号成立．所以ｘｙ有最小值为６４． ３．重新构造条件式子 【例７】 如ｘ＞Ｏ，ｙ＞Ｏ，且２ ＋８ —ｚ 一０，贝０ ＋ 的最小值为 ． 分析：２ｘ＋８ｙ—ｘｙ一０ １６一（ｚ一８）（ｙ一２）≤ ７（ｘ－－８）＋（ｙ－－２）］２ ２ １６≤（ ）。 ６ ＋ｙ－－１０）。 ＋ １８ ｒｚ一８一Ｙ一２， 当且仅当 ２ ＋８ 一 一０，即－ｚ一１２，Ｙ一６时，等 ｌｘ＞Ｏ，ｙ＞Ｏ 号成立． 所以ｚ＋ 有最小值为１８． 总之，用均值不等式求最值的方法是可以掌握的， 但是应用时要牢记：“一正”：各项或各因式必须为正数； “二定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”；“三等”：要 保证在所给条件下等号能成立，若等号不成立，求出的 也不是最值． （责任编辑黄春香） ３７ ｌ ｍａｉｌ：ｚ ｘｃｋＩｋ＠１６３・ｃ帅
