一．选择题（共1小题）
1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 6
二．填空题（共12小题）
2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是 _________ ． 3．抛物线
关于原点对称的抛物线解析式为 _________ ．
4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 _________ ．
5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为 _________ ．
6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为 _________ ．
7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是 _________ ．
8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a= _________ ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 _________ ．
9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a= _________ ．
10．若抛物线y=x2﹣2
x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是 _________ ．
11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是 _________ ．
12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是 _________ ．
13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为 _________ ．
三．解答题（共17小题）
14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．
15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．
16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题： （1）抛物线y2的顶点坐标 _________ ； （2）阴影部分的面积S= _________ ；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．
17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是
，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴
且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．
（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式： 伴随抛物线的解析式 _________ ，伴随直线的解析式 _________ ；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是 _________ ；
（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；
（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．
18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点
（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；
（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．
19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．
（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；
（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标．
20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．
21．已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标．
22．已知抛物线
的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2
与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．
23．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．
24．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）． （Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？
（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上，请说明理由．
25．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1； （1）求a的值；
（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．
26．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．
27．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．
28．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状．
29．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．
（1）已知抛物线a：y=x2﹣2x+1．判断下列抛物线b：y=x2﹣2x+2，c：y=﹣x2+4x﹣3与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；
（2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：y=x2﹣2x+1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；
（3）M为抛物线a；y=x2﹣2x+1的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使其直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．
30．如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标； （3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
．
②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）
（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=
）
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 6
考点：二 次函数图象与几何变换． 分析：根 据题目意思，求出A和B的坐标，再求三角形的面积则可． 解答： ：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3）解，y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，
y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积=×2×（3﹣2）=1． 故选A． 点评：本 题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和考查抛物线将一般式转化顶点式的能力，
难度较大．
二．填空题（共12小题）
2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是 y=﹣2（x﹣1）2+2 ．
考点：二 次函数图象与几何变换． 专题：应 用题． 分析：根 据题意易得抛物线C的顶点，进而可得到抛物线B的坐标，根据顶点式及平移前
后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶
点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式． 解答：解 ：根据题意易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），
∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的， ∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），
可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2， 易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2）， ∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2， 故答案为y=﹣2（x﹣1）2+2． 点评：本 题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得
到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中． 3．抛物线
关于原点对称的抛物线解析式为
．
考点：二 次函数图象与几何变换． 分析：根 据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可． 解答：解 ：∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，
∴抛物线y=﹣x2+x+2关于原点对称的抛物线的解析式为：﹣y=﹣（﹣x）2+（﹣x）+2，即y=x2+x﹣2． 故答案为：y=x2+x﹣2．
点评：本 题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答
此题的关键． 4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 y=﹣x2﹣1 ．
考点：二 次函数图象与几何变换． 分析：根 据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可． 解答： ：根据题意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y=﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y=﹣解
x2﹣1． 点评：考 查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．
5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且
抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为 5﹣5 ．
考点：二 次函数综合题． 分析：首 先建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M，进而得出抛物线解析式，进而表
示出G点坐标，再利用FG+MG=10，进而求出即可． 解答：解 ：如图建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M，
设抛物线解析式为：y=ax2， ∵正方形ABCD边长为10， ∴B点坐标为：（5，﹣10）， 将B点代入y=ax2， 则﹣10=25a，
解得：a=﹣，
设G点坐标为：（a，﹣a2）， 则GF=2a，
∴MG=10﹣GF，即a2=10﹣2a， 整理的：a2+5a﹣25=0， 解得：a1=
，a2=
（不合题意舍去）， ﹣5．
∴正方形EFGH的边长FG=2a=5故答案为：5﹣5．
点评：此 题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以
及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键．
6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为 ．
考点：列 表法与树状图法；抛物线与x轴的交点． 分析：由 系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，可得系数a、b、c为：0，1，﹣1；然后根
据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与该抛物线的“抛物线三角形”是等
腰直角三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解答：解 ：∵系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，
∴系数a、b、c为：0，1，﹣1； 画树状图得：
∵共有18种等可能的结果，该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的有：（1，0，﹣1），（﹣1，0，1）， ∴该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为：故答案为：．
点评：本 题考查的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是 ﹣＜a＜0或0＜a＜ ．
考点：二 次函数的性质． 专题：压 轴题． 分析：根 据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再求出△ACO和△CBO相似，根据相似三
角形对应边成比例列式求出OC的长，再根据二次函数的对称性求出对称轴，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，利用∠ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ，设抛物线的交点式解析式y=a（x+1）（x﹣4），整理求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点在△ABC的内部分两种情况列式求出a的取值范围即可． 解答：解 ：∵点A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
易得△ACO∽△CBO，
=．
∴即
==
， ，
解得OC=2，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x==，
设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q， 则BQ=4﹣=2.5， tan∠ABC=即=
，
=
，
解得PQ=，
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）， 则y=a（x2﹣3x﹣4）=a（x﹣）2﹣当点C在y轴正半轴时，0＜﹣解得﹣＜a＜0，
当点C在y轴负半轴时，﹣＜﹣解得0＜a＜，
所以，a的取值范围是﹣＜a＜0或0＜a＜． 故答案为：﹣＜a＜0或0＜a＜．
a＜0， a，
a＜，
点评：本 题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，注意要分点C在y正半轴和负半轴两种情况讨论．
8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a= 9 ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 a＜9 ．
考点：抛 物线与x轴的交点． 分析：顶 点在x轴上即抛物线与x轴只有一个交点，则判别式等于0，若抛物线与x轴有两
个交点，则△＞0，据此即可求解．
解答：解 ：△=36﹣4a，
则定点在x轴上，则36﹣4a=0， 解得：a=9；
抛物线与x轴有两个交点，则36﹣4a＞0， 解得：a＜9．
故答案是：9；a＜9． 点评：本 题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果△＞0，则抛物线
与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点．
9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a= 2 ．
考点：待 定系数法求二次函数解析式． 专题：压 轴题． 分析： 据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义． 根解答：
解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，）
所以=2
解得：a1=2，a2=﹣1
又因为要有意义 则a≥0
所以a=2． 点评：此 题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比
如：中a≥0．
10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是 4 ．
考点：二 次函数的性质． 分析： 据抛物线顶点的横坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义． 根解答：
解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣所以﹣
=2，
，），
解得：a1=4，a2=﹣4，
又因为要有意义， 则a≥0， 所以a=4． 故答案为4． 点评：此 题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比
如：中a≥0．
11．若抛物线
的顶点在x轴上方，则m的值是 2 ．
考点：二 次函数的性质；二次函数的定义． 专题：计 算题． 分析：
先列出关于m的等式，再根据抛物线
的顶点在x轴上方，求得m，
所以只需令顶点纵坐标大于0即可． 解答：
解：∵是抛物线，
∴m2﹣2=2， 解得m=±2，
∵抛物线的顶点在x轴上方． ∴0﹣8（m+2）＜0， ∴m＞﹣2， ∴m=2．
故答案为：2． 点评：本 题考查了二次函数的定义和性质，将函数与一元二次方程结合起来，有一定的综合
性．
12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是 ﹣2 ．
考点：二 次函数的性质；正方形的性质． 分析： 物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c）抛，由四边形ABCO是正方形，则C点坐标
为标为（﹣，），代入抛物线即可解答．
解答： ：∵抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c）解，四边形ABCO是正方形，
∴∠COB=90°，CO=BC，
∴△COB是等腰直角三角形，
∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，
∴C点坐标为（﹣，），
将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2． 故答案为：﹣2 点评：本 题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题
的答案．
13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为 10 ．
考点：二 次函数图象上点的坐标特征． 专题：整 体思想． 分析：把 点（2，5）代入抛物线求出2a+b的值，然后整体代入进行计算即可得解． 解答： ：∵抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5）解，
∴4a+2b﹣1=5， ∴2a+b=3，
∴6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10． 故答案为：10． 点评：本 题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式求出a、b的
关系式是解题的关键，主要利用了整体思想．
三．解答题（共17小题）
14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．
考点：二 次函数图象与几何变换． 分析：利 用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 解答： ：解抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即﹣y=2x2
﹣4x+5，
因此所求抛物线C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5． 点评：利 用轴对称变换的特点可以解答．
15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．
考点：二 次函数图象与几何变换． 分析： 求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋先
转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解． 解答：
解：∵y=（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2的顶点坐标为（2t+1，6）， ∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣2t﹣1）2+6， ∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上， ∴﹣（﹣1﹣2t﹣1）2+6=﹣2， 解得t1=3，t2=﹣5，
∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣7）2+6或y=﹣（x+9）2+6．
点评： 题考查了二次函数图象与几何变换，难度较大，求出旋转后的抛物线C2的顶点坐本
标是解题的关键，也是本题的难点．
16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题： （1）抛物线y2的顶点坐标 （1，2） ； （2）阴影部分的面积S= 2 ；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．
考点：二 次函数图象与几何变换． 分析：直 接应用二次函数的知识解决问题． 解答： ：解（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）
（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；（6分）
（3）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称． 所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为： y=a（x+1）2﹣2．由对称性得a=1， 所以y3=（x+1）2﹣2．（10分） 点评：考 查二次函数的相关知识，考查学生基础知识的同时还考查了识图能力．
17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是
，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴
且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．
（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式： 伴随抛物线的解析式 y=﹣2x2+1 ，伴随直线的解析式 y=﹣2x+1 ；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是 y=x2﹣2x﹣3 ；
（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；
（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．
考二次函数综合题． 点：
专压轴题；新定义． 题：
分（1）先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标．然后根析： 据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物
线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．根据M，P两点的坐标即可求出直线PM的解析式；
（2）由题意可知：伴随抛物线的顶点坐标是抛物线与y轴交点坐标，伴随抛物线与伴随直线的交点（与y轴交点除外）是抛物线的顶点，据此可求出抛物线的解析式； （3）方法同（1）；
（4）本题要考虑的a、b、c满足的条件有：
抛物线和伴随抛物线都与x轴有两个交点，因此△＞0，①
由于抛物线L中，x2＞x1＞0，因此抛物线的对称轴x＞0，两根的积大于0．②
根据两抛物线的解析式分别求出AB、CD的长，根据AB=CD可得出另一个需满足的条件…③综合这三种情况即可得出所求的a、b、c需满足的条件． 解解：（1）y=﹣2x2+1，y=﹣2x+1；
答： （2）将y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3组成方程组得，
，
解得，或．
则原抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
设原函数解析式为y=n（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y=n（x﹣1）2﹣4得，﹣3=n（0﹣1）2﹣4， 解得，n=1，
则原函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4， 即y=x2﹣2x﹣3．
（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∵设它的解析式为y=m（x﹣0）2+c（m≠0）， ∵此抛物线过P（﹣
，
），
∴=m•（﹣）2+c，
解得m=﹣a，
∴伴随抛物线解析式为y=﹣ax2+c；
设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0）， P（﹣
，
）在此直线上，
∴∴k=，
，
∴伴随直线解析式为y=x+c； （4）∵抛物线L与x轴有两交点， ∴△1=b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac； ∵x2＞x1＞0，
∴x2+x1=﹣＞0，x1•x2=＞0， ∴ab＜0，ac＞0．
对于伴随抛物线有y=﹣ax2+c，有△2=0﹣（﹣4ac）=4ac＞0，由﹣ax2+c=0，得x=±∴C（﹣又AB=x2﹣x1=
=
=
=
，
，0），D（
，0），CD=2
，
．
∵AB=CD，则有：2=，即b2=8ac，
点
评：
综合b2=8ac，b2﹣4ac＞0，ab＜0，ac＞0 可得a、b、c需满足的条件为：
b2=8ac且ab＜0（或b2=8ac且bc＜0）．
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系．
18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点
（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；
（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．
考点：抛 物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换． 专题：计 算题． 分析： 1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，根据抛物线与x轴的交点的距离（
公式得到=2
，解得m=3b﹣3a2，则平移所得抛物线的
解析式为y=x2+2ax+4b﹣3a2；
（2）先确定y=x2+2ax+b的顶点坐标为（﹣a，b﹣a2），由于通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点，则可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2）， 然后把（﹣a，b﹣a2）代入可求出t=．
解答： ：解（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，
根据题意得
=2
，
解得m=3b﹣3a2，
所以平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+3b﹣3a2=x2+2ax+4b﹣3a2；
（2）y=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2，其顶点坐标为（﹣a，b﹣a2）， ∵新抛物线的表达式过抛物线y=x2+2ax+4b﹣3a2与x轴两交点， ∴可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2）， 把（﹣a，b﹣a2）代入得b﹣a2=t（a2﹣2a2+4b﹣3a2），解得t=， 所以新抛物线的表达式过抛物线y=x2+ax+b﹣a2．
点评： 题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与本
x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．
（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；
（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标．
考点：二 次函数综合题；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；相似三角
形的判定与性质． 专题：压 轴题． 分析：（ 1）先连接AB，根据A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，得出AO=AB，
再根据∠AOB=60°，得出△ABO是等边三角形，再过A作AE⊥x轴于E，在Rt△OAE中，求出OD、AE的值，即可求出顶点A的坐标，最后设抛物线C的解析式，求出a的值，从而得出抛物线C的解析式；
（2）先过A作AE⊥OB于E，根据题意得出OE=OB=2，再根据直线OA的解析式为y=x，得出AE=OE=2，求出点A的坐标，再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出抛物线C的解析式，再根据抛物线C、C′关于原点对称，从而得出抛物线C′的解析式；
（3）先作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由（2）知，抛物线C′的顶点为A′（﹣2，﹣2），得出A′B的中点M的坐标，再作MH⊥x轴于H，得出△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，求出N点的坐标，再根据直线l过点M（1，﹣1）、N（，0），得出直线l的解析式，求出x的值，再根据抛物线C上存在两点使得PB=PA'，从而得出P1，P2坐标，再根据抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，得出P3，P4的坐标，即可求出答案． 解答：解 ：（1）连接AB．
∵A点是抛物线C的顶点，且抛物线C交x轴于O、B， ∴AO=AB，
又∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
过A作AD⊥x轴于D，在Rt△OAD中，
∴OD=2，AD=， ∴顶点A的坐标为（2，设抛物线C的解析式为将O（0，0）的坐标代入， 求得：a=
，
．
）
（a≠0），
∴抛物线C的解析式为
（2）过A作AE⊥OB于E，
∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点和B（4，0），顶点为A， ∴OE=OB=2，
又∵直线OA的解析式为y=x， ∴AE=OE=2，
∴点A的坐标为（2，2），
将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中， ∴a=
，
∴抛物线C的解析式为
又∵抛物线C、C′关于原点对称， ∴抛物线C′的解析式为
，
；
（3）作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0）， 由前可知，抛物线C′的顶点为A′（﹣2，﹣2）， 故A′B的中点M的坐标为（1，﹣1）． 作MH⊥x轴于H，
∴△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，即12=（1﹣n）（4﹣1）， ∴
，即N点的坐标为（，0）．
∵直线l过点M（1，﹣1）、N（，0）， ∴直线l的解析式为y=﹣3x+2，
，解得
．
∴在抛物线C上存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为 P1（解
，
得，
），P2（
．
，
）；
∴在抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为 P3（﹣5+
，17﹣3
），P4（﹣5﹣
，17+3
）．
，
），P3
∴点P的坐标是：P1（，（﹣5+，17﹣3），P4（﹣5﹣
），P2（
，17+3）．
点评：本 题是二次函数的综合，其中涉及到的知识点有旋转的性质，点的坐标，待定系数法
求二次函数等知识点，难度较大，综合性较强． 20．（1999•烟台）如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．
考点：待 定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式． 分析：根 据抛物线的解析式，易求得C点的坐标，即可得到OC的长；可分别在Rt△OBC
和Rt△OAC中，通过解直角三角形求出OB、OA的长，即可得到A、B的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式． 解答： ：由题意得C（0，） 解
在Rt△COB中， ∵∠CBO=60°， ∴OB=OC•cot60°=1
∴B点的坐标是（1，0）；（1分） 在Rt△COA中，∵∠CAO=45°， ∴OA=OC=
∴A点坐标（，0） 由抛物线过A、B两点， 得
解得
（4分）
∴抛物线解析式为y=x2﹣（）x+设直线BC的解析式为y=mx+n，
得n=，m=﹣
∴直线BC解析式为y=﹣x+．（6分） 点评：此 题主要考查的是用待定系数法求一次函数及二次函数解析式的方法．
21．已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标．
考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）先根据直线y=﹣x+3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求
出待定系数的值．
（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于△ABM和△ABD同底，因此面积比等于高的比，即M点纵坐标的绝对值：D点纵坐标的绝对值=5：4．据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出M点的坐标． 解答：解 ：（1）直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点坐标分别是
A（3，0），B（0，3），
抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点， c=3
﹣9+3b+c=0， 得到b=2，c=3，
∴抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3．
（2）①作经过点D与直线y=﹣x+3平行的直线交抛物线于点M．
则S△ABM=S△ABD，
直线DM的解析式为y=﹣x+t．
由抛物线解析式y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， 得D（1，4）， ∴t=5．
设M（m，﹣m+5），
则有﹣m+5=﹣m2+2m+3， 解得m=1（舍去），m=2． ∴M（2，3）．
②易求直线DM关于直线y=﹣x+3对称的直线l的解析式为y=﹣x+1，l交抛物线于M．
设M（m，﹣m+1）． 由于点M在抛物线y=﹣x2+2x+3上， ∴﹣m+1=﹣m2+2m+3． 解得m=∴M（
，m=，﹣
）或M（
，
）
∴使△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标分别是 （2，3），（
，﹣
），（
，
）．
点评：本 题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、图形面积的求法等知识点．考查了学生数形结合的数学思想方法．
22．已知抛物线
的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2
与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．
考点：二 次函数图象与几何变换． 分析：先 求出点P的坐标，再令y=0，解方程求出点B的坐标，然后根据中心对称求出点M
的坐标，然后根据对称性利用顶点式形式写出C3的解析式即可． 解答：解 ：点P的坐标为（﹣2，﹣5），
令y=0，则（x+2）2﹣5=0，
解得x1=1，x2=﹣5，
所以，点B的坐标为（1，0）， ∵点P、M关于点B对称， ∴点M的坐标为（4，5），
∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，抛物线C2向右平移得到C3， ∴抛物线C3的解析式为y=﹣（x﹣4）2+5．
点评：本 题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用定点的变换确定解析式的变化更
简便，难点在于确定出平移后的抛物线的顶点坐标．
23．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．
考点：二 次函数综合题． 专题：压 轴题；动点型． 分析：（ 1）先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出
待定系数的值．
（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于△APC和△ACD同底，因此面积比等于高的比，即P点纵坐标的绝对值：D点纵坐标的绝对值=5：4．据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标． 解答：解 ：（1）直线y=x﹣3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，﹣3）．
则，
解得，
∴此抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3．
（2）抛物线的顶点D（1，﹣4），与x轴的另一个交点C（﹣1，0）． 设P（a，a2﹣2a﹣3），则（×4×|a2﹣2a﹣3|）：（×4×4）=5：4． 化简得|a2﹣2a﹣3|=5．
当a2﹣2a﹣3=5，得a=4或a=﹣2． ∴P（4，5）或P（﹣2，5），
当a2﹣2a﹣3＜0时，即a2﹣2a+2=0，此方程无解．
综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（﹣2，5）． 点评：本 题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、图形面积的求法等知
识点．考查了学生数形结合的数学思想方法．
24．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）． （Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？
（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上，请说明理由．
考点：二 次函数综合题． 专题：压 轴题． 分析：（ Ⅰ）首先利用抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣
求出抛物线解析式，再利用a=1求出抛物线的顶点坐标即可； （Ⅱ）利用当y=0时，有
，求出x的值，进而得出点N的坐
标，再利用若点M在点B右侧，此时a＞1，BM=a﹣1；若点M在点B左侧，此时0
＜a＜1，BM=1﹣a得出答案即可；
（Ⅲ）利用平移后的抛物线只有一个不动点，故此方程有两个相等的实数根，得出判别式△=（a﹣2h）2﹣4（h2﹣ak）=0，进而求出k与h，a的关系即可得出顶点（h，k）在直线
上．
，
解答：
解：设该抛物线的解析式为
∵抛物线经过（0，0）、（1，1）两点， ∴
，
解得．
∴该抛物线的解析式为
（Ⅰ）当a=1时，该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x， y=﹣x2+2x=﹣（x2﹣2x+1）+1=﹣（x﹣1）2+1． 该抛物线的顶点坐标为（1，1）；
（Ⅱ）∵点N在x轴上，∴点N的纵坐标为0． 当y=0时，有
，
解得x1=0，x2=a+1．
∵点N异于原点，∴点N的坐标为（a+1，0）． ∴ON=a+1，
∵点M在射线AB上，∴点M的纵坐标为1． 当y=1时，有
，
整理得出，
解得x1=1，x2=a．
点M的坐标为（1，1）或（a，1）．
当点M的坐标为（1，1）时，M与B重合，
此时a=1，BM=0，ON=2．ON+BM与ON﹣BM的值都是常数2． 当点M的坐标为（a，1）时，
若点M在点B右侧，此时a＞1，BM=a﹣1．
∴ON+BM=（a+1）+（a﹣1）=2a，ON﹣BM=（a+1）﹣（a﹣1）=2． 若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM=1﹣a．
∴ON+BM=（a+1）+（1﹣a）=2，ON﹣BM=（a+1）﹣（1﹣a）=2a． ∴当0＜a≤1时，ON+BM的值是常数2， 当a≥1时，ON﹣BM的值是常数2．
（Ⅲ）设平移后的抛物线的解析式为由不动点的定义，得方程：
，
，
即t2+（a﹣2h）t+h2﹣ak=0．
∵平移后的抛物线只有一个不动点，∴此方程有两个相等的实数根． ∴判别式△=（a﹣2h）2﹣4（h2﹣ak）=0， 有a﹣4h+4k=0，即∴顶点（h，k）在直线
．
上．
点评：此 题主要考查了二次函数的综合应用以及根的判别式的性质等知识，利用分类讨论的
思想得出M与B的不同位置关系得出答案是解题关键．
25．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1； （1）求a的值；
（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．
考点：二 次函数综合题．
专题：综 合题． 分析： 1）将B点坐标代入抛物线C1的解析式中，即可求得待定系数a的值． （
（2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C3的二次项系数与C1的互为相反数，而C3的顶点M与C1的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式． 解答：解 ：（1）∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，
∴点B的坐标为（1，0），
∴当x=1时，0=a（1+2）2﹣5，
∴
（2）设抛物线C3解析式为y=a′（x﹣h）2+k，
∵抛物线C2与C1关于x轴对称，且C3为C2向右平移得到， ∴
， ．
∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（﹣2，﹣5）， ∴点M的坐标为（2，5）， ∴抛物线C3的解析式为y=﹣（x﹣2）2+5=﹣x2+
x+
．
点评：此 题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数与函数图象的关系，需要熟练掌握．
26．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．
考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）直接用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）由（1）的解析式求出抛物线的顶点坐标，根据抛物线的顶点坐标求出直线OD
的解析式，设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），就可以表示出平移后的解析式，当抛物线经过点C时就可以求出h值，抛物线与直线CD只有一个公共点时可以得出
，得x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9=0，从而得出△=（﹣2h+2）2
﹣4（h2+h﹣9）=0求出h=4，从而得出结论．
解答： ：解（1）抛物线解析式y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，
∴
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．
（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为M（﹣2，﹣1）， ∴直线OD的解析式为y=x，
于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h）， ∴平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+h， 当抛物线经过点C时，∵C（0，9）， ∴h2+h=9． 解得h=∴当
， ≤h＜
时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；
当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由方程组
，
得x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9=0， ∴△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）=0， 解得h=4，
此时抛物线y=（x﹣4）2+2与直线CD唯一的公共点为（3，3），点（3，3）在射线CD上，符合题意．
故平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是
≤h＜
或h=4．
点评：本 题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象与几何变换及方程组与交点
坐标的运用，利用根的判别式判断得出是解题关键．
27．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．
考点：待 定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征． 专题：计 算题． 分析：（ 1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代
入解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积=梯形OBCD面积﹣三角形ACD面积﹣三角形AOB面积，求出即可． 解答：解 ：（1）由投影仪得：A（﹣1，0），B（0，﹣1），
将x=0，y=﹣1代入抛物线解析式得：a=﹣1， 则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1； （2）过C作CD⊥x轴，
将C（﹣3，b）代入抛物线解析式得：b=﹣4，即C（﹣3，﹣4），
则S△ABC=S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△AOB=×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1=3．
点评：此 题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
28．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状．
考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直
线l的解析式中求出点A的坐标，再将点A的坐标代入抛物线的解析式y=x2﹣2x+c中，运用待定系数法即可求出c的值；
（2）先由抛物线的解析式得到点B的坐标，再求出AB、AD、BD三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD是直角三角形． 解答： ：解（1）∵y=x2﹣2x+c，
∴顶点A的横坐标为x=﹣=1，
又∵顶点A在直线y=x﹣5上，
∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4， ∴点A的坐标为（1，﹣4）．
将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c， 得﹣4=12﹣2×1+c，解得c=﹣3． 故抛物线顶点A的坐标为（1，﹣4），c的值为﹣3；
（2）△ABD是直角三角形．理由如下： ∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点B， ∴B（0，﹣3）．
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 解得x1=﹣1，x2=3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）．
∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20， ∴BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
点评：本 题考查了二次函数的性质，运用待定系数法确定其解析式，勾股定理及其逆定理等
知识，综合性较强，难度适中．
29．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．
（1）已知抛物线a：y=x2﹣2x+1．判断下列抛物线b：y=x2﹣2x+2，c：y=﹣x2+4x﹣3与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由； （2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：y=x2﹣2x+1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；
（3）M为抛物线a；y=x2﹣2x+1的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使其直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．
考点：二 次函数综合题． 专题：综 合题． 分析：（ 1）求出抛物线a的顶点坐标，分别代入抛物线b与抛物线c，判断即可．
（2）先确定点M的坐标，作点M关于点P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，可求出N的纵坐标，代入求出N的横坐标，分类讨论即可； （3）设点S（0，c），则点Q的坐标分两类：①M，Q，S逆时针分布时；②M，Q，S顺时针分布时；分别求解即可．
（4）本题答案不唯一，可以自由发挥． 解答： ：解（1）∵抛物线a：y=x2﹣2x+1=y=（x﹣1）2的顶点坐标为M（1，0），
当x=1时，y=x2﹣2x+2=1﹣2+2=1≠0， ∴点M不在抛物线b上
∴抛物线a与抛物线b不是交融抛物线；
∵当x=1时，y=﹣x2+4x﹣3=﹣1+4﹣3=0， ∴点M在抛物线c上，
∵抛物线c：y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1的顶点N（2，1）， 当x=2时，y=x2﹣2x+1=4﹣4+1=1， ∴点N在抛物线a上，
∴抛物线a与抛物线c是交融抛物线；
（2）抛物线a：y=x2﹣2x+1=（x+1）2的顶点坐标为M（1，0）， 作点M关于点P的对称点N，
分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，
则ME=NF=2，
∴点N的纵坐标为4，
当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得x1=﹣1，x2=3， ∴N（﹣1，4）或N（3，4），
当N（﹣1，4）时，设抛物线l的解析式为y=a（x+1）2+4， ∵点M（1，0）在抛物线l上，
∴0=a（1+1）2+4， ∴a=﹣1，
∴抛物线l的解析式为y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3，
当N（3，4）时，设抛物线l的解析式为y=a（x﹣3）2+4， ∵点M（1，0）在抛物线l上，
∴0=a（1﹣3）2+4， ∴a=﹣1，
∴抛物线l的解析式为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5； ∴所求抛物线为y=﹣x2﹣2x+3或y=﹣x2+6x﹣5．
（3）设点S（0，c），则点Q的坐标分两类： ①当M，Q，S逆时针分布时（如图中Q），
过点Q作QD⊥y轴于D，则△QDS≌△SOM， ∴QD=OS=c，OD=DS+OS=c+1， ∴点Q（c，c+1）， ∵点Q在抛物线y=x2﹣2x+1上， ∴c+1=c2﹣2c+1， 解得c=0或c=3，
∴S（0，0）或S（0，3），
②当M，Q，S顺时针分布时（如图中Q'），
同理可得Q'（﹣c，c﹣1），
∵点Q'在抛物线y=x2﹣2x+1上， ∴c﹣1=c2+2c+1， 即c2+c+2=0， ∵△＜0，
∴此方程无解，
综上所述，存在符合条件的等腰直角三角形，其中S（0，0）或S（0，3）；
（4）参考答案： 例如：（ⅰ）交融抛物线一定是中心对称图形吗？ （ⅱ）交融抛物线的开口方向一定相反吗？ （ⅲ）交融抛物线的开口大小一样吗？
（ⅳ）交融抛物线的开口大小一样时，需满足什么条件？ （ⅴ）交融抛物线是轴对称图形吗？
点评：本 题考查了二次函数的综合，涉及了全等三角形的判定，抛物线的顶点坐标及一元二
次方程的解，难度较大，关键是数形结合思想的运用．
30．如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标； （3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论） （参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=
）
．
考点：二 次函数综合题． 专题：压 轴题． 分析：
（1）先根据抛物线y=﹣x2+bx+c，当x=﹣时，y取最大值
，得到抛物线的顶点
坐标为（﹣，），可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出A、C的
坐标，然后将A、C的坐标代入
y=kx+m，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：
①当P在线段AC上时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．由PH∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PH的长，进而求出P点的坐标；
②当P在CA的延长线上时，由PG∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PG的长，进而求出P点的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设直线y=x+a与抛物线y=﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧），则xM、xN是方程x2+x+a﹣6=0的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，xM+xN=﹣，xM•xN=a﹣6，进而求出yM•yN=（a﹣6）﹣a+a2．
①由于∠MON=90°，根据勾股定理得出OM2+ON2=MN2，据此列出关于a的方程，解方程即可求出a的值；
②由于∠MON＞90°，根据勾股定理得出OM2+ON2＜MN2，据此列出关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围． 解答：
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，当x=﹣时，y取最大值，
∴抛物线的解析式是：y=﹣（x+）2+
，即y=﹣x2﹣x+6；
当x=0时，y=6，即C点坐标是（0，6）， 当y=0时，﹣x2﹣x+6=0，解得：x=2或﹣3， 即A点坐标是（﹣3，0），B点坐标是（2，0）． 将A（﹣3，0），C（0，6）代入直线AC的解析式y=kx+m， 得解得：
， ，
则直线的解析式是：y=2x+6；
（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵S△ABP：S△BPC=1：3， ∴
=，
∴AP：PC=1：3， 由勾股定理，得AC=
=3
．
①当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足． ∵PH∥OC， ∴
=
=，
∴PH=，
∴=2x+6，
∴x=﹣， ∴点P（﹣，）；
②当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足． ∵AP：PC=1：3， ∴AP：AC=1：2． ∵PG∥OC， ∴
=
=，
∴PG=3，
∴﹣3=2x+6，x=﹣， ∴点P（﹣，﹣3）．
综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣3）．
（3）设直线y=x+a与抛物线y=﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）．
则，为方程组的解，
由方程组消去y整理，得：x2+x+a﹣6=0， ∴xM、xN是方程x2+x+a﹣6=0的两个根， ∴xM+xN=﹣，xM•xN=a﹣6，
∴yM•yN=（xM+a）（xN+a）=xM•xN+（xM+xN）+a2=（a﹣6）﹣a+a2． ①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下： ∵∠MON=90°， ∴OM2+ON2=MN2，即
+
+
+
=（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2，
化简得xM•xN+yM•yN=0，
∴（a﹣6）+（a﹣6）﹣a+a2=0， 整理，得2a2+a﹣15=0，
解得a1=﹣3，a2=，
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=﹣3或a=； ②∵∠MON＞90°， ∴OM2+ON2＜MN2，即
+
+
+
＜（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2，
化简得xM•xN+yM•yN＜0，
∴（a﹣6）+（a﹣6）﹣a+a2＜0， 整理，得2a2+a﹣15＜0， 解得﹣3＜a＜，
∴当∠MON＞90°时，a的取值范围是﹣3＜a＜．
点评：本 题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次
函数的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容