切线方程与切点弦方程

一、圆的切线方程

一、圆的方程为:(x - a)² + (y - b)² = r²

1. 已知：圆的方程为:(x - a)² + (y - b)² = r², 圆上一点P(x0, y0)。 求过点P的切线方程

解： 圆心C(a, b)；直线CP的斜率：k1 = ( y0- b) / ( x0- a)

因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0)

y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0)

整理得：(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切线方程公式)

展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0² - y0² = 0 (1) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： (x0 - a)² + (y0 - b)² = r²

化简: x0² - 2ax0 + a² + y0² - 2by0 + b² = r²

移项: - x0² - y0² = -2ax0 - 2by0 + a² + b² - r² (2)

由(2)代入(1), 得：x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a² + b² - r²) = 0 化简：(x0x - ax - ax0 + a²) + (y0y - yb- by0 + b²) = r² 整理： (x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r²

变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)² + (y - b)² = r² , 圆外一点P(x0, y0)

二、对于圆的一般方程:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程.

2. 已知:圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0)

解： 圆心C( -D/2, -E/2 )

直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)

因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0)

y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0)

整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x0² - y0² = 0 (3)

因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F = 0

移项: - x0² - y0² = Dx0 + Ey0 + F (4)

由(4)代入(3), 得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0 整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 0

变式-2 已知:圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x0, y0)

二、圆的切点弦方程

三、圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

设P(x0, y0)是圆锥曲线上（外）一点，过点P引曲线的两条切线，切点为A , B两点，则A , B两点所在的直线方程为切点弦方程。 圆 标准方程 切点弦方程 椭圆 双曲线 抛物线