中学生数理亿．掌研版 浅谈数列与其他知识的综合应用 一杨丽霞 纵观历年各地高考试题，我们可以把数列的综合问题与 数列的热点应用问题集中反映为以下三类题型． 题型一：等差、等比数列的综合问题 满足： 一专～ 一 ． （１）求ｆ（０）的值，并证明ｌ，（ ）在（一１，１）上为奇函数； （２）探索ｌ，、（ ．）与ｆ（ｚ ）的关系式，并求 （ ）的表 达式； 例１设等比数列｛ｎ ）的公比为ｑ，前ｎ项和为Ｓ ，若 Ｓ ，ｓ ，ｓ ＋ 成等差数列，求ｑ的值． 分析：由条件可建立Ｓ…、Ｓ 、Ｓ ＋ 的等式，分ｑ—ｌ与ｑ≠ （３）是否存在自然数ＩＴＩ，使得对于任意的 ∈Ｎ ，都有： １两种情况，用ｎ 与ｑ表示，然后解方程求之．应特别注意等 比数列｛‰｝中，ｎ ≠０，ｑ≠０． 解：当ｑ一１时，－．－２ｓ 一ｓ ＋ｌ＋Ｓ ＋２，．‘．２ｈａｌ一（ ＋１）以ｌ＋ （ ＋２）ｎｌ得ｎ１＝０（舍）． 丽１ ＋ 出ｍ的最大值． ＋…＋ ＞ 恒成立？若存在，求 分析：（１）因为对任意 ， ∈（ １，１）时都有：ｌ／（ｊ’）一 当ｑ≠１时，。．‘２Ｓ 一Ｓ ｌ＋Ｓ 十２， 。 ２ａｌ（１一ｑ ）一一 （１一—１ ｑ ） １一口 ＋ ．一厂（ ）一＿厂（ ｆ（．２２）的关系． ），故可用赋值法求／（ｏ）及研究＿厂（ｚ）与 可导出ｆ（Ｌ －）与ｌ，（“）的 即ｑ ＋ｑ一２—０，．‘．ｑ一一２． （２）由条件式及 ＋ 一 关系，进而求出ｆ（ ）． （３）要使 要 ＋ 解题指导：证明三个数成等差数列时，最恰当的方法就是 证明这三个数满足等差中项公式．另外，同学们在解答这类问 题时，最容易犯的错误是忘记对ｑ一１与ｑ≠１分类讨论，如果 不分类讨论，尽管结果不受影响，但是解答过程是错误的． 题型二：数列与解析几何知识的综合应用 ＋…＋ ＞ 恒成立，只 小于左边和式的最小值．利用数列求和及单调性可得 例２在圆 ＋ 一５ｘ内，过点（号，号）有ｎ（ｎＥＮ ） 条弦，它们的长构成等差数列．若ｎ 为过该点最短的弦的长， 左边和式的最小值． 解析：（１）令 — ＿厂（０）：０，令ｚ—Ｏ －，（０）一／（ｙ）一 为过该点最长的弦的长，公差ｄＥ（ １， １），求 的值． 分析：首先搞清圆内过定点的动弦，当弦为直径时最大， 当弦与过该点的直径垂直时最短，再结合数列知识即可得解． 厂（ ． ） （一 （一ｙ）一一ｆ（ ），．‘．ｆ（ ）在（一１，１）上为奇函数． （２）因为厂（¨ 一 （ ） （ 厂（ ）一ｆ（ ・．． 一）一 解：圆（ 一号） ＋ 一（ ５） 的过点（ ５，＿耋Ｉ）最长弦 ）一２／（ ）， ２（常数），｛／（ ））为等比数列． 长就是该圆的直径５，最短的弦的长为√（＿量＿） 一（＿耋一） 一 ４，则“ 一４，‰一５，公差为ｄ，于是由等差数列的通项公式可 又ｆ（ｘ ）一／’（ ）一１，ｑ：２．．．√（‘）一２ １． （３）假设存在自然数ｍ满足题设条件，则： 得：５—４＋（”１）ｄ，．‘．”一÷＋１． ６／ ３／．ｄＥ（ １， １） ・２＜ ＜４．．．・３＜”＜５，ｎＥＮ ，”一４． 解题指导：从常规的解题思路来讲，求ｒ／的值就应当建立 关于”的方程，通过方程达到求值的目的．但是，在上面的解 志（ １） （＋志ｆ ２）’＋志 ｆ（ ３） 。志ｆ （ ） ＝１－Ｆ￣－－－（丢） ・＋（ １） ：２ （÷）”＞ 对于任意的 ∈Ｎ 成立． ・・答中我们看到：得到 一÷＋１实际上是构造了一个函数，而 ・ｍ＜１６一 对于任意的 ＥＮ 成立． （Ｔ１， １）就是自变量ｄ的定义域，然后通过求函数的值域而 获得了”的范围．要想在解题思路上考虑到这种解题方式，就 当 一１时，１６一 的最小值为１２－．．．ｍ＜１２，即ｍ的最 大值为１１． 应当熟悉构造函数的作用，了解构造函数常常能够解决哪些 问题．同时，这种构造函数求值以及求变量范围的数学思想是 解题指导：通过恒成立不等式求参数的取值范 （或 最值）都是先参变分离，例如该题整理的“ ＜１ ６ ’，就 我们要学会掌握的一种重要的数学思想． 题型三：数列与函数 是参变分离的不等式：参数ｍ在不等式的一边，而变量 在不等式的另一边，然后求出１ ６一 的最小值，从而得到 参数 的最大值． 作者单位：河南省郑州市ｌ０１中学 例３ 已知函数，（ｚ）在（一１，１）上有定义，Ｌ，＿【÷）一１， 且满足 ， ∈（ １，１）时有：ｆ（ｚ） 厂（ ）一厂（≠三 ）．数 ｊ
