高中数学新课程创新教学设计案例50篇35向量的概1

36 向量的概念

教材分析

向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集

“大小 ”与“方向 ”于一身，融 “数 ”、 “形 ”于

一体， 具有几何形式与代数形式的 “双重身份 ”，是高中数学重要的知识网络的交汇点， 也是 数形结合思想的重要载体． 这节通过对物理中的位移和力的归纳，

抽象、概括出向量的概念、

有向线段、 向量的表示、 零向量、 单位向量、 平行向量、 相等向量、 共线向量的准确含

义． 与数学中的许多概念一样， 都可以追溯它的实际背景． 这节的重点是向量的概念、 相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．

教学目标

1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．

2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．

任务分析

在这之前， 学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量 的量 ——— 向量．刚一开始，学生很不习惯， 但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的 两个基本要素 ——— 大小和方向， 再让学生于实际问题中识别哪些是向量， 样由具体到抽象，再由抽象到具体；

由实践到理论，再由理论到实践，

哪些是数量． 这

可使学生比较容易地

理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．

教学设计

一、问题情景

数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：

1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．

2. 既有大小又有方向的量应如何表示？

二、建立模型

1. 学生分析讨论

学生回答：人的身高，年龄，体重； ⋯⋯ 图形的面积，体积；物体的密度，质量；

⋯⋯

⋯⋯

物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移

引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念．

2. 教师明晰

人们在长期生产生活实践中， 会遇到两种不同类型的量， 如身高、 体重、面积、 体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速 度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有 作用方向； 物体运动的速度既有快慢之分， 又有方向的区别． 这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．

在数学上， 往往用一条有方向的线段， 即有向线段来表示向量． 有向线段的长度表示向

a， b，

量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用

c，⋯ 表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如

，向量

0 或

的大小 .长度等于

就是向量

的长度（模），记作 .长度为零的向量叫零向量，记作

1 的向量叫作单位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作

a∥ b，规定 0∥ a（ a 为任一向量）

a＝b．任意两个相等的非零向量都

长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作

可用同一条有向线段来表示， 并且与有向线段的起点无关． 在同一平面上， 两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．

任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫

“共线向量 ”．

3. 提出问题，组织学生讨论

（ 1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？ （ 2）两个单位向量一定相等吗？ （ 3）相等向量是平行向量吗？

（ 4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？

（ 5）方向为南偏西 60°的向量与北偏东 60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是 向量的两个基本要素， 当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时， 两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．

三、解释应用

［例 题］

如图，边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的中心为 O，试分别写出与

相等、平行和共

线的向量，以及单位向量．

解：

都是单位向量．

［练 习］

1. 如图，D ，E，F 分别是△ ABC 各边的中点， 试写出图中与 相等的向量．

2. 如果四边形 ABCD 满足 ，那么四边形 ABCD 的形状如何？

3. 设 E， F， P， Q 分别是任意四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ，DA 的中点，对于，

哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4. 在平面上任意确定一点 O，点 P 在点 O“东偏北 60°， 3cm”处，点 Q 在点 O“南偏西 30°， 3cm”处，试画出点

P 和 Q 相对于点 O 的向量． 5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．

（ 1）在与水平成 120°角的方向上，一个大小为 50N 的拉力．

（ 2）方向东南， 8km ／ h 的风的速度． （ 3）向量 四、拓展延伸

1. 如图，在

ABCD 中， E， F 分别是 CD， AD 的中点，在向量 中相等

的向量是哪些？为什么？

2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？

案例点评

这篇案例设计完整， 思路清晰． 该案例首先通过实例阐述了向量产生的背景，

然后归纳、

抽象了向量、 平行向量、 相等向量等概念， 充分体现了数学教学的本质是教学思维过程的教 学，符合新课程标准的精神． 例题与练习由浅入深， 完整，全面． “拓展延伸 ”的设计有新意，有深度．为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．