第1讲 菱形的性质与判定(原卷版)

目标导航 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理

2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积

知识精讲 知识点01 菱形的性质

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

1ab．（a、b是两条对角线的长度） 22【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是，面积是12cm，则它的对角线的长分别是 cm，

3②菱形面积

cm． (★)

【即学即练】两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是 _________ cm2，周长是 _________ cm． (★) 【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（ ）(★★) 60° A．

B．4 5°

30° C．

D．1 5°

【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（ ）(★★) 60° A．

B．1 5°

30° C．

D．9 0°

【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于 度．(★★)

【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)

【知识拓展4】如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F． 求证：AB与EF互相平分．（★★）

【即学即练】已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．（★★）

知识点02 菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形．

几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

【知识拓展1】已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．（★★）

【即学即练1】已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．（★★）

【知识拓展2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．（★★）

【即学即练2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．（★★）

【知识拓展3】如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．（★★）

【即学即练3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．（★★）

【知识拓展4】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．（★★）

知识点03 菱形的判定与性质

（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．

（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．

【知识拓展1】（2019·全国九年级课时练习）补全下列解题过程．

如图，在ABC中，ABBC，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．

（1）求证：四边形BDEF是菱形；

（2）若AB10cm，求菱形BDEF的周长． 解：（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点， ∴____________________．

又∵D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE1AB，DE//AB． 2∵四边形BDEF是__________． 又∵ABBC，∴_________________． ∴四边形BDEF是菱形．

（2）∵F是AB的中点，AB10cm， ∴BF11AB105(cm)． 22又∵四边形BDEF是菱形． ∴BDDEEFBF．

∴四边形BDEF的周长为4520(cm)．

【知识拓展2】（2021·浙江八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，ABDC，ABAD，对角线AC，

BD交于点O，AC平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB5，BD2，求OE的长．

【知识拓展3】（2019·全国九年级课时练习）如图，在ABCD中，ABBC，点E是AB的中点，且

DEAB，ABa，AC，BD相交于点O．

（1）求ABC的度数； （2）已知AO3a，求对角线AC的长； 2（3）求菱形ABCD的面积．

【知识拓展4】（2019·金昌市第五中学九年级一模）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．

【知识拓展5】（2020·扬州市江都区国际学校八年级期中）如图，在等边ABC中，BC6cm，射线

AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：ADE≌CDF； （2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．

能力拓展

1.如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°， 则∠CEF= _________ ．（★★★）

2.如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为_________．（★★★）

3.如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形． （1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；

（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．（★★★）

分层提分

题组A 基础过关练

1．（2021·湖南娄底市·九年级二模）下列各命题是真命题的是（ ）

A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线 B．平行四边形一定是中心对称图形 C．有一个内角为60的平行四边形是菱形

D．三角形的外角等于它的两个内角之和

2．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）如图，菱形ABCD中，A50，则ADB的度数为（ ）

A．65 B．55 C．45 D．25

3．（2020·河北省保定市第二中学分校九年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（ ）

A．20 B．24 C．40 D．48

4．（2020·辽宁锦州市·九年级期中）菱形的边长是5cm，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线的长为（ ） A．6cm

B．83cm

C．8cm

D．10cm

5． （2020·渠县第四中学九年级月考）若菱形的较长对角线为24cm，面积为120cm2，则它的周长为（ ）A．50cm

6．（2020·福建宁德市·九年级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列

B．51cm

C．52cm

D．56cm

条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）

A．AB＝CD C．AC=BD

B．OA＝OC，OB＝OD D．AB//CD，AD＝BC

7．（2020·广东茂名市·九年级期中）在菱形ABCD中，若AB＝2，则菱形的周长为( ) A．4

B．6

C．8

D．10

8．（2020·河北）如图，在菱形ABCD中，过顶点C作CEBC交对角线BD于点E，已知A130，则BEC的大小为（ ）．

A．20° B．25° C．65° D．75°

题组B 能力提升练

一、单选题

1．（2021·全国九年级专题练习）如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（ ）

A．AD＝AB

B．四边形ABCD是平行四边形 C．AD＝2AC

D．四边形ABCD是菱形

2．（2021·天津九年级一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF4，则菱形ABCD的周长为（ ）

A．8 二、填空题

B．16 C．24 D．32

3． （2021·云南曲靖市·九年级其他模拟）若菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线长为_______．4． （2021·福建漳州市·九年级一模）在菱形ABCD中，若对角线AC=8，BD=5， 则菱形ABCD的面积为_____．5．（2021·福建漳州市·九年级一模）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB2，BAD60．如图，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB在x轴正半轴上，则点D的坐标是_______．

三、解答题

6．（2021·山东聊城市·九年级二模）已知，如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．求证：四边形DBFC是菱形．

题组C 培优拔尖练

一、单选题

1．（2021·河南南阳市·九年级一模）如图，在矩形片ABCD中，边AB4，AD2，将矩形片ABCD沿

EF折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF是菱

形；②BE的长是1.5；③EF的长为5；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2021·浙江绍兴市·九年级一模）如图，ABCD中，AB5a，BC4a，A60，平行四边形内放着两个菱形，菱形DEFG和菱形BHIL，它们的重叠部分是平行四边形IJFK．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形IJFK的面积为（ ）

A．a2 二、填空题

B．2a2 C．32a 2D．3a2

3．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·九年级一模）如图，菱形ABCD的周长为8厘米，D120，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当

AN_________厘米时，BCE是直角三角形．

4．（2021·北京九年级二模）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形ABCD中，BAD72，在对角线AC上截取AEAB，连按BE，DE，可将菱形分割为“风筝”（凸四边ABED）和“飞镖”（凹四边形

BCDE）两部分，则图2中的____°．

三、解答题

5．（2021·浙江杭州市·九年级二模）如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）若AD＝3，CD＝2，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．

6．（2021·江苏南京市·九年级专题练习）已知ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B，C重合）．ABC是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点FG，连接BE．

（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC．

（2）如图②，当点D在BC旳延长线时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形并说明理由．

（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．