《试验结构动力学》读书笔记解读

《试验结构动力学》读书笔记

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目录

目录 ................................................................................................................................................... I 第1章 模态分析理论基础 ............................................................................................................. 2

1.1、模态分析定义 .................................................................................................................. 2 1.2、试验模态分析的典型应用 .............................................................................................. 2 1.3、粘性阻尼系统 .................................................................................................................. 2 1.4、结构阻尼（滞后阻尼）系统 .......................................................................................... 2 1.5、单自由度频响函数的特性曲线 ...................................................................................... 3 1.6、多自由度系统的频响函数分析 ...................................................................................... 3 第2章 时间历程的测量 ................................................................................................................. 3

2.1、试验结构的支撑方式 ...................................................................................................... 3 2.2、激励方式 .......................................................................................................................... 3 2.3、时间历程的测量 .............................................................................................................. 4 第3章 动态测试后处理 ................................................................................................................. 4

3.1、动态测试后处理 .............................................................................................................. 4 3.2、消除频率混叠 .................................................................................................................. 4 3.3、抗混滤波 .......................................................................................................................... 5 3.4、泄漏和窗函数 .................................................................................................................. 5 3.5、滤波器.............................................................................................................................. 5 3.6、平均技术 .......................................................................................................................... 5 第4章 模态参数辨识的频域方法 ................................................................................................. 6

4.1、单点输入单点输出(SISO) ................................................................................................ 6 4.2、频域多参考点模态参数辨识（MIMO） ....................................................................... 7 第5章 模态参数的时域辨识方法 ................................................................................................. 9

5.1系统的可辨识性问题 ......................................................................................................... 9 5.2最小二乘复指数法 ............................................................................................................. 9 5.3FDD，EFDD法 ................................................................................................................... 10 第6章 模态分析在工程中的应用 ............................................................................................... 10

6.1模态测试概述 ................................................................................................................... 10 6.2模态分析在结构动态设计中的应用 ............................................................................... 10

6.3模态分析在故障诊断和状态监测中的应用 ................................................................... 10 参考文献：..................................................................................................................................... 11

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第1章 模态分析理论基础

1.1、模态分析定义

将线性时不变系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的方程，坐标变换的变换矩阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。

1.2、试验模态分析的典型应用

a. 获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生。

b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度，和疲劳寿命。 c. 载荷(外激励)识别。 d. 振动与噪声控制。

e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件 f. 有限元模性修正与确认。

1.3、粘性阻尼系统

强迫振动方程及其解

mxcxkxf解的形式（s为复数）及拉氏变换

...

2xXest，(mscsk)x(s)f(s)

自由振动

mxcxkx0，ms2csk0，

s1,20j012...

实部：衰减因子，反映系统阻尼，虚部：有阻尼系统的固有频率。

1.4、结构阻尼（滞后阻尼）系统

研究表明，许多振动结构的阻尼并不适于用粘性阻尼描述，因为这类结构的阻尼主要来源于材料内阻和部件结合面之间的干摩擦。为此，引入结构阻尼模型。阻尼力：与位移成正比，相位比位移超前90度。

fdjx

结构阻尼系数

gk

运动方程及拉氏变换

mxkxjxf，[ms2(1jg)k]x(s)f(s)

传递函数和频率响应函数

H(s)1ms(1jg)k2..，

H()m21(1jg)k

位移、速度和加速度传递函数

Hd(s)x(s)a(s)v(s)Ha(s)Hv(s)f(s)，f(s) f(s)，

2

位移、速度和加速度频率响应函数

Hd()x()a()v()Ha()Hv()f()，f() f()，

1.5、单自由度频响函数的特性曲线

Bode图(幅频图和相频图)

幅频图:频响函数的幅值与频率的关系

H()HR()H2I()2k112222

相频图:相位与频率的关系

H1.6、多自由度系统的频响函数分析

两类系统：约束系统，自由系统。

HI()2arctanRarctanH()(12)

MxKxf(t)

m0kM1K10m2，k1傅氏变换

..x1f1XF(k1k2)f2 ，x2，k1(K2M)X()F()，Z()(K2M)

频响函数矩阵

H()Z1()(K2M)1

H()H()11H21()k1k22m2k1H12()k1k12m1222H22()(k1k2m2)(k1m1)k1

第2章 时间历程的测量

2.1、试验结构的支撑方式

实验结构分为原型和模型两种，对于一哟的不很特殊的结构，可采用试验原型。从力学

意义上考虑，边界条件可分为几何边界条件、力边界条件、运动边界条件等等。在模态试验中，对系统固有特性影响最大的是几何边界条件，也即实验结构的支撑条件。支撑条件一般有自由支撑、固定支撑、原装支撑。如果被测结构是完整的，则模态试验中边界条件也应是完整的，即应以模拟结构实际工作状态为原则。如果用模态综合法将被测结构分子结构来进行模态试验，则边界条件应以模态综合法的要求确定。

2.2、激励方式

1.脉冲激励。产生脉冲激励的方法：锤击法使用带有力传感器的敲击锤。敲击法全凭试验者熟练的手法，无须预先安装调整，对试件没有任何附加质量、附加刚度或附加阻尼。敲

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击法移动施力部位特别容易，可以在不允许安装激振器的部位实现激振。影响单个脉冲频谱特性的因素主要是脉冲宽度和脉冲形状。脉冲愈尖，持续时间愈短，频谱的平直性愈好，旁瓣泄漏愈小。

2. 激振器激励。激振器能使被激物件获得一定形式和大小的振动量，从而对物体进行振动和强度试验，或对振动测试仪器和传感器进行校准。激振器能产生正弦扫频信号.按激励型式的不同，激振器分为惯性式电动式、电磁式、电液式、气动式和液压式等型式。

3.白噪声激励。对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差均为常数，则称之为白噪声过程。白噪声过程的样本实称成为白噪声序列，简称白噪声。白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

2.3、时间历程的测量

1.光测方法。对于高速运动物体的测量，传统的光测方法是采用高速摄影技术记录物体在运动状态下的一系列瞬时图像，然后从中分析出物体的运动信息。高速摄影是一种能获取高速运动 物体的空间时间信息于一体的测试手段,而且具动态测量、非接触测量特色和测试范围大的优点,从而被广泛应用于多种学科的研究中。

2.振动传感器

a)机械式。将工程振动的参量转换成机械信号，再经机械系统放大后，进行测量、记录，常用的仪器有杠杆式测振仪和盖格尔测振仪，它能测量的频率较低，精度也较差。但在现场测试时较为简单方便。

B)光学式。将工程振动的参量转换为光学信号，经光学系统放大后显示和记录。如读数显微镜和激光测振仪等。

C)电测。工程振动的参量转换成电信号，经电子线路放大后显示和记录。电测法的要点在于先将机械振动量转换为电量（电动势、电荷、及其它电量），然后再对电量进行测量，从而得到所要测量的机械量。这是目前应用得最广泛的测量方法。

第3章 动态测试后处理

3.1、动态测试后处理

其目的是根据实测激励和响应的时间历程，通过一定的方法获得测试结构的非参数模型——频响函数或脉冲响应函数，叫做动态测试后处理。分为模拟式和数字式两种。

采样。实际测得的激励和响应的时域信号虽不是无限长信号，但也是足够长的连续信号。对这种信号进行处理的第一步是将其数字化。数字化的方法是等间隔采样和量化。等间隔采样简称采样，连续信号每经过一个时间间隔⊿t进行一次快速启闭，得到一组脉冲序列信号，fs=1/ ⊿t称为采样频率或采样速率。这一脉冲序列信号仍为模拟信号，必须经过量化，才能得到离散数字信号。

量化。量化就是将采样后的脉冲序列幅值与一组离散电平值比较，以最接近脉冲序列幅值的电平代替该幅值，从而转换成数字序列。这一过程是由A/D转换器完成的。

3.2、消除频率混叠

提高采样频率s，即缩小采样时间间隔⊿t，使s2m。然而实际的信号处理系统不可能达到很大的采样频率，处理不了很多的数据。另外，许多信号本身可能包含0～∞的频率成分，不可能将采样频率提高到∞。所以，靠提高采样频率避免频率混叠是有的。事实上，每一种信号处理系统都有一个确定的采样频率上限。

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抗混滤波的实际意义不仅在于能有效避免频率混叠，还在于大部分问题所关心的频率成分是有限的，高频成分对实际问题并无意义。因此，滤掉信号中的高频成分对后续信号处理提供方便。当然，信号分析系统的最高采样频率决定了信号处理的最高频率分量。

3.3、抗混滤波

抗混滤波有两种形式。一种是模拟滤波，用于信号采样之前，一般由的多通道低通滤波器完成；另一种是数字滤波，用于信号采样之后，由信号分析系统中的数字滤波部分完成，该数字滤波还用于信号的选带分析。

3.4、泄漏和窗函数

泄漏。数字信号处理中有实际意义的是对无限长连续信号截断后所得有限长信号进行处理。截断信号，即截取测量信号中的一段信号，一般会带来截断误差，截取的有限长信号不能完全反映原信号的频率特性。具体地说，会增加新的频率成分，并且使谱值大小发生变化，这种现象成为频率泄漏。从能量角度来讲，这种现象相当于原信号各种频率成分处的能量渗透到其他频率成分上，所以又称为功率泄漏。

窗函数。常用窗函数 ：

对稳态信号，常用窗函数有汉宁窗（Hanning Window）、凯塞-贝塞尔窗（Kaiser-Bessel Window）以及平顶窗（Flat Top Window）；

瞬态响应信号有指数窗；对瞬态激励信号有力窗。下面介绍这儿常用所谓窗函数。

3.5、滤波器

滤波器是一种选频装置，它只允许一定频带范围的信号通过，同时极大地衰减其它频率成分，滤波器的这种筛选功能在测试技术中可以起到消除噪声、干扰信号等作用，在自动检测、信号处理等领域得到广泛应用。根据滤波器的选频作用，滤波器可以分成四类：低通、高通、带通和带阻滤波器。

3.6、平均技术

在模态实验中，噪声是指非正常激励及响应。无论是激励信号还是响应信号，都有不同程度的噪声污染问题。噪声可能来自试验结构本身、测试仪器及导线、电源或环境影响等。

时域平均。对确定性信号，可采用时域平均技术。取多个等长度时域信号样本，采样后对应数据进行平均，可得到噪声较小的有效信号。时域平均必须满足两个条件之一：1）样本长度为信号的整数倍；2）样本初始相位相同。否则，时域平均的结果可能为零。时域平均不仅可消除噪声的偏差，也能消除噪声信号的均值，即在足够多次平均后可完全消除噪声的影响，提高信噪比。

频域平均。即对某些频谱做的平均，是普遍采用的一种平均方式。由于傅立叶谱中包含有幅值和相位两种特性，而相位在各次测量中具有随机性，故一般不对傅立叶谱进行平均，而是对进一步得到的功率谱进行平均，再进一步估算频响函数、相干函数或其它谱。频域平均只能降低噪声的偏差，而不能减少噪声的均值，即不能提高信噪比。

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第4章 模态参数辨识的频域方法

4.1、单点输入单点输出(SISO)

图解法

1) 峰值检测 半功率点

H(j1)H(j2)1H(jr) 2

r2) 模态检测

21 2r

Hij(jr)Qrirjrjr(rjr)QrirjrrAijrrQrjrrir

式中，Qr是模态比例换算因子。 在上式中，Aij是模态质量m和模态刚度k的函数，又由下面的关系

rrrkrr2 mr联立即可求得模态质量和模态刚度。 3) 圆拟合法 固有频率

rr振型

IHij dsmaxd

1 kergr

kerkrirjr

ker是等效模态刚度，grrkr是等效结构阻尼。

jrkrgr模态阻尼

Ir2(Rij)r irHij

(112) tan2gr1

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(221) tan2gr2

gr21r2tan12tan22

模态刚度 由

IHij(r1)1 kergr

可得

ker模态质量

1 IHij(r1)gr

mrkrr2

其他方法，如正交多项式曲线拟合法，非线性优化辨识方法。

4.2、频域多参考点模态参数辨识（MIMO）

一个N自由度粘性阻尼线性系统，对它施加P个激励力，在N个点上进行响应测量，则系统的运动方程为，

MXCXKXF

系统在单位脉冲力作用下的响应矩阵为

...

H(t)ψeΛtL , (NP)

ψ为复模态矩阵 (N2N)，Λ为特征值矩阵 (2N2N)，L为模态参与因子矩阵

(2NP)，N为模态数。

对（15）进行拉氏变换可得

H(s)ψT(s)

T(s)(sIΛ)1L

速度响应函数

(s)sH(s)H(t)sH(s)ψLsψT(s)ψ(sIΛ)T(s)ψΛT(s) Ht0

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由此可得，

H(s)0ψsH(s)ψLψΛT(s) 即

H(s)ψ H(s)ψΛT(s)设特征值问题形式如下

AψψΛ0

即

ψAI0

ψΛ

A令BψL，可得

ψH(s)IT(s)AI0 ψΛsH(s)ψL

AH(s)sH(s)B

令sj，则

AH(j)jH(j)B

采用m个采样频率

AH(ji)jiH(ji)B , (i1,2,...,m)

令

DH(j1)H(j2)H(jm) Ωdiagj1I则

j2IjmI

A则

DBDΩ Ι1Ι2Ιm

DABDΩΙΙΙ

m12

对实测得到的频响函数矩阵H(j)在求特征值问题求响应时会出现病态矩阵。为了解决此问题采用主分量缩减方法，将实测得到的频响函数矩阵H(j)缩减为由其主分量构成的

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H/(j)，两者的关系

H/(j)QH(j)

Q是变换矩阵。

用H/(j)替换推导（31）式时用到的H(j)，则由（31）可以求得A、B，进而由或式求特征值问题可得特征值Λ及特征向量ψ/ 由特征向量的变换关系为

/

ψ/Qψ

可以求得ψ如下

ψQTQQT

则系统的模态参数可以由下式求得 模态频率

1

rRe(r)2Im(r)2

模态阻尼

r模态参与因子

Re(r)r

LBψ1

第5章 模态参数的时域辨识方法

5.1系统的可辨识性问题

系统的可辨识性，从控制论的观点来讲，即系统的可观性与可控制性。系统的状态方程描述对一个N自由度的线性定性振动系统，在P个激励力作用下，其运动方程常用下列微分方程组来描述。

5.2最小二乘复指数法

从系统的脉冲响应出发（脉冲响应可由实测得频率函数逆变换求得），根据脉冲响应与极点和留数之间的关系，建立自回归模型（AR模型），使问题成为对AR模型的参数估计，求出自回归系数，再构造一个关于极点的Prony多项式，求出极点和留数，从而求得系统的模态参数。

模态频率与阻尼的辨识由复模态理论可得系统在第l个测点与第p个激励点之间的传递函数为

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单参考点最小二乘复指数法详细计算步骤（可编程）

根据实测所得的输入、输出信号f(t)，x(t)计算频响函数H，并对它进行逆变换，求得相应的脉冲响应函数h，进一步求得脉冲响应的自相关矩阵。

2N)。 求解得到自回归系数 a(K1,2,...,

lplpK5.3FDD，EFDD法

FDD（Frequency Domain Decomposition)和EFDD（Enhanced Frequency Domain Decomposition)识别方法的前提条件：假设结构的激励为白噪声激励（实际工程中可用关心频带内的宽频激励近似），并且属于小阻尼结构。

FDD技术思路直接对时域响应数据的功率谱曲线进行奇异值分解，在对应的奇异值曲线中，峰值为固有频率，固有频率点相应的奇异值分解得到的左奇异向量为改固有频率对应的振型。FDD将MDOF系统在频域近似分解成了SDOF。

EFDD是在FDD的基础上，对经过奇异值分解后的功率谱曲线中SDOF的部分进行逆傅里叶变换得到自相关曲线，从自相关曲线中按照时域对数衰减率的方法求得阻尼比的数值，然后用阻尼比可把有阻尼固有频率修正为无阻尼固有频率。

第6章 模态分析在工程中的应用

6.1模态测试概述

结构在动力载荷作用下，总要产生一定的振动响应。而结构的振动，常常是结构损坏、环境恶化，设备的精度或可靠性降低等工程事故的主要原因。因此，研究结构的动力特性和动力强度，已日益成为结构设计的重要课题。结构的动力特性主要取决于它的各阶固有频率、主振型和阻尼比等。这些参数也就是所谓的模态参数。

6.2模态分析在结构动态设计中的应用

以模态分析为基础的结构动态设计，是近年来振动工程界开展的最广泛的研究领域之一。 有限元法（FEM）和试验模态分析（EMA）为结构动态设计提供了两条最主要的途径。在围绕着两种基本方法所展开的结构动态设计研究工作中，人们提出了很多的方法。这些方法可归为以下六类：1）载荷识别；2）灵敏度分析；3）物理参数修改；4）物理参数识别；5）再分析；6）结构优化设计。他们分别从不同方面解决了结构动态设计中的部分问题，某几种方法的组合可做到结构的优化设计。围绕这两种基本方法所展开的研究工作内容十分丰富。应用这些成果，大大提高了产品设计性能，缩短了设计周期。

6.3模态分析在故障诊断和状态监测中的应用

利用模态分析得到的模态参数等结果进行故障判别日益成为一种有效而实用的故障诊断和安全检测方法。如根据模态频率的变化判断裂纹的出现，根据振型的分析判别裂纹的位

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置，根据转子支承系统阻尼的改变判断和预测转子的失稳，土木工程中依据模态频率的变化判断水泥柱中是否有裂纹和空隙等。

参考文献：

[1]曹树谦,张文德,萧龙翔.振动结构模态分析：理论、实验与应用[M].天津：天津大学出版社,2001.

[2]R.克拉夫，J.彭津. 结构动力学[M]. 北京：高等教育社, 2006. [3]科尔曼. 试验结构动力学[M]. 北京：清华大学出版社, 2012.

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