高三数学第二轮专题复习系列(7)-- 直线与圆的方程

一、重点知识结构

本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；

两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；

用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意； 曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据； 圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求

1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；

3、会用二元一次不等式表示平面区域；

4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用； 5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；

6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。 三、热点分析

在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议

本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

直线

【例题】

【例1】 已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x－3y＋3 = 0上，并且使ABC的面积等于21，求点A的坐标。 解：直线BC方程为2x＋5y－22 = 0,|BC| = BC的距离为

|11y28|2929，设点A坐标(3y－3,y)，则可求A到

，∵ABC面积为21，∴

1|11y28|2921， 229∴y7014177707514）或（,）. 或，故点A坐标为（,111111111111【例2】 已知直线l的方程为3x+4y－12=0, 求直线l的方程, 使得：

(1) l与l平行, 且过点(－1,3) ;

(2) l与l垂直, 且l与两轴围成的三角形面积为4.

解： (1) 由条件, 可设l的方程为 3x+4y+m=0, 以x=－1, y=3代入, 得 －3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l的方程为 3x+4y－9=0; (2) 由条件, 可设l的方程为4x－3y+n=0, 令y=0, 得x角形面积S′

′

′

′

′

′

′

′

nn, 令x=0, 得y, 于是由三431nn2

4, 得n=96, ∴n46 243∴直线l的方程是4x3y460 或4x3y460

【例3】 过原点的两条直线把直线2x＋3y－12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角。

解：设直线2x＋3y－12 = 0与两坐标轴交于A，B两点， 则A（0，4），B（6，0），设分点C，D，设COD为所求角。 6xc122BC8∵，∴C（2，）. 2，∴0428CA3yc123026x404AD4112又，∴D(4,)，∴kOC,kOD. 2，∴44DB333y0123kOCkOD1kOCkOD41339，∴arctg9. |411313133∴tg|【例4】 圆x2＋y2＋x－6y＋c = 0与直线x＋2y－3 = 0相交于P,Q两点,求c为何值时,OPOQ(O为原点).

解：解方程组消x得5y2－20y＋12＋c = 0,y1y2(12c), 消y得5x2＋10x＋4c－27 = 0,x1x2(4c27), ∵OPOQ,∴

y1y212c4c271,∴，解得c = 3. x1x2551515【例5】 已知直线y =－2x＋b与圆x2＋y2－4x＋2y－15 = 0相切,求b的值和切点

的坐标.

解：把y =－2x＋b代入x2＋y2－4x＋2y－15 = 0,

整理得5x2－4(b＋2)x＋b2＋2b－15 = 0,令= 0得b =－7或b =13,] ∵方程有等根，x2(b2)，得x =－2或x = 6， 5代入y = －2x－7与y = －2x＋13得y =－3或y = 1，

∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.

【例6】 已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c.

证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc－1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b＜1. ∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0 f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0

∴线段y=(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)在x轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.

【例7】 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？ 解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值.

由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、 (bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为： kAC=tanxCA=

asinα,

acosαxkBCtanxCBbsinα.

bcosαx于是tanACB=

kBCkAC(ab)xsinα(ab)sinα

1kBCkACab(ab)xcosαx2abx(ab)cosαx由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤

(ab)sinα2ab(ab)cosα,当且仅当

ab=x，即xx=ab时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(ab,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm处时，视角最大，即看画效果最佳.

【例8】 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？

解：设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件 50x20y2000200xyx50x20y20007 为由,解得yxy1.5xy2007x0,y0∴A点的坐标为(

200200，) 77x2550x20y2000由,解得75

y1.5xy2∴B点的坐标为(25，

75) 275200200，)，B(25，)，

277所以满足约束条件的可行域是以A(O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图)

由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，

75)，但注意到x∈N,y∈N*,故取y=37. 2故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.

【例9】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

维生素A（单位/千克） 维生素B（单位/千克） 成本（元/千克） （Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元； （Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．

解：（Ⅰ）由题，c11x9y4z，又xyz100，所以，c4007x5y．

甲 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4 （Ⅱ）由600x700y400z560004x6y320 , 及z100xy得， ，

800x400y500z630003xy130所以，7x5y450.

所以，c4007x5y400450850,

当且仅当4x6y320x50时等号成立． , 即3xy130y20所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．

点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的

y3x-y=130x0y0区域上使得c4007x5y4x6y3203xy130最大的点．不难发现，应在点M（50，20）处取得．

【直线练习1】

一、选择题

M4x+6y=320x10200011020011,N20021．设M=2001，则M与N的大小关系为( )

101201A.M＞N

B.M=N

C.M＜N D.无法判断

2．三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( ) A.15

B.30

C.36

D.以上都不对

二、填空题

3．直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_________.

4．自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_________.

5．函数f(θ)=

sin1的最大值为_________，最小值为_________.

cos26．设不等式2x－1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x的范围为_________. 三、解答题

7．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.

(1)证明：点C、D和原点O在同一直线上. (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

8．设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0. (1)证明：{an}是等差数列. (2)证明：以(an,程.

(3)设a=1,b=

Sn－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方n1,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在2圆C外时，r的取值范围.

参

一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=即M＞N.

答案：A

2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则

1x，点A在直线的下方，∴kAB＞kAC,100x110y11 xy11点(x,y）应在如右图所示区域内 当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11； 当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11; 当x=5时，y=7,8,9,10,11.

以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.

答案：C

二、3.解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点.

答案：P(5，6）

4.解析：光线l所在的直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0关于x轴对称的圆相切. 答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0 5.解析：f(θ)=答案：

sin1表示两点(cosθ,sinθ)与(2,1)连线的斜率.

cos24 0 36.解析：原不等式变为(x2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0.

答案：

7131x 22三、7.(1)证明：设A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1＞1,x2＞1, 点A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).

因为A、B在过点O的直线上，所以(x1,log2x1）、(x2,log2x2).

由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则

log8x1log8x2,又点C、D的坐标分别为x1x2kOClog2x13log8x1log2x23log8x2,kOD x1x1x2x2由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直线上.

(2)解：由BC平行于x轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1 ∴x2=x13 将其代入

log8x1log8x2,得x13log8x1=3x1log8x1, x1x2由于x1＞1知log8x1≠0,故x13=3x1x2=3,于是A(3，log83). 9.(1)证明：由条件，得a1=S1=a,当n≥2时，

有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b. 因此，当n≥2时，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b. 所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列.

SnSnan(n1)b1)(11)a(n1)b1n1a(2)证明：∵b≠0,对于n≥2,有

ana1a2(n1)ba2(n1)b2(Sn1－1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a－1)且以为斜率的直线上.此

2n1直线方程为y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0.

211n2(3)解：当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆

222∴所有的点Pn(an,C外的条件是

(r1)2r2r2(r1)201217222 (r1)(r)r即r5r0 242222(r3)(r1)rr8r100由不等式①,得r≠1 由不等式②，得r＜

①

② ③

55－2或r＞+2 22由不等式③，得r＜4－6或r＞4+6 再注意到r＞0,1＜

55－2＜4－6=+2＜4+6 225－2)∪(4+6,+∞). 2故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1,

【直线练习2】

1．l1的方程为2xy30，l1关于x轴对称的直线为l2，l2关于y轴对称的直线为

l3，那么直线l3的方程为( B )

A．x2y30 B．2xy30 C．2xy30 D．2xy60

222．与圆xy4x30相外切，且与y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是 1。y26x

23．已知定点A(1,1)，B(3,3)，点P在x轴上，且APB取得最大值，则P点坐标为（ B ）

0 A．2，B．

6，0

0 C．，73

0 D．4，解：P点即为过A、B两点且与x轴相切的圆的切点，设圆方程为 (xa)2(yb)2b2 (a0,b0)

222(1a)(1b)ba6所以有 222b0(3a)(3b)b4．圆x2y2x0上的点到直线x3y30的最知距离为（ A ）

A．

3 2 B．

5 4 C．

3 4 D．

9 4x2y25．条件甲：方程条件乙：（ A ） m0且n0则乙是甲的1表示一双条双曲线，

mn

A．充分非必要条件 C．充要条件

B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 所成的比为, 则( A )

6．设点P在有向线段

A．1

的延长线上,点P分

B．10

C．01 D．1

7．如果AC<0且BC<0, 那么直线Ax + By +C = 0, 不通过( C )

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

8．若点(4, m)到直线4x3y1的距离不大于3, 则m的取值范围是( B )

A．(0, 10)

B．0,10

131C．,

33D．,010,

9．原点关于直线8x6y25的对称点坐标为( D )

3A．2,

2

2525B．,

86C．(3, 4) D．(4, 3)

10．如果直线yax2与直线y3xb关于直线y = x对称, 那么( A )

A．a1,b6 3

1B．a,b6

3C．a = 3, b = －2 D．a = 3, b = 6

11．已知直线l1和l2的夹角的平分线为yx, 如果l1的方程是axbyc0(ab0),那么l2

的方程是( A )

A．bxayc0 C．bxayc0

B．axbyc0 D．bxayc0

12．如果直线ax2y20 与直线3xy20平行, 那么系数a = ( B )

A．－3

B．－6

C．3 2 D．

2 313．两条直线A1xB1yC10, A2xB2yC20垂直的充要条件是( A )

A．A1A2B1B20

B．A1A2B1B20

C．

A1A21 B1B2 D．

B1B21 A1A214．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位, 再沿y轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l的斜率是( A )

1A．

3 B．－3

1C．

3 D．3

15．设a、b、c分别是△ABC中,  A、B、C所对边的边长, 则直线sinA·xayc0

与bxsinB·ysinC0的位置关系是( C )

A．平行

B．重合

C．垂直

D．相交但不垂直

。（3,

16．求与点A(1, 2)的距离等于4, 且到x轴的距离等于2的点的坐标: 2）

y21不相交，则k的取值范围是( A ) x12111 A．或3 B． C．3 D．[，3]

22217．直线L：y=kx-1与曲线

18． 2．如果a·c<0，b·c<0，那么直线ax+by+c=0不通过（ C ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．直线y=－x－1被圆(x3)2(y1)225，所截的弦长为（ C ） A．98 B．40

1 C．82 D．9843 420．斜率为1的直线与两直线2x+y－1=0，x2y20分别相交于A，B两点，线段AB的

中点的轨迹方程为（ B ）

A、xy10

B、xy10

C、x2y30 D、x2y30

(x2)2(y1)21有公共的焦点，21．已知双曲线C1和椭圆C2：它们的离心率分别是e14924

和e2，且

112。（1）求双曲线C1的方程；（2）圆D经过双曲线C1的两焦点，e1e1且 与x轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆D的方程。

解：（1）椭圆C2的两个焦点坐标是F1(7,1),F2(3,1)离心率e2由

5 75112可知双曲线C1的离心率e1 e1e23∴c225,a29,b2c2a216 (x2)2(y1)2故双曲线C1的方程为1

916（2）∵圆D经过双曲线的两个焦点，∴圆心D在直线x= –2上 设圆D的方程为(x2)2(yb)252(b1)2 整理得：x2y24x2by2b220 令y=0，得x24x2b220

设圆D与x轴的两个交点为（x1,0），（x2,0），则

x1x24,x1x22b22

依题意|x1x2|=(x1x2)24x1x28 即16–4（2b–22）=，解得b=5 所以圆的方程为(x2)2(y5)241

高三数学专题复习

圆

【例题】

【例1】 设正方形ABCD的外接圆方程为x2+y2–6x+a=0(a<9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l的斜率为 ,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率。

解：由(x–3)2+y2=9－a(a<9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0）

13依题意：ABMBAM1,kAB. 43k13MA,MB的斜率k满足:1

11k3解得:kAC=,kBD2

【例2】 设圆C1的方程为(x2)2(y3m2)24m2，直线l的方程为

yxm2．

12（1）求C1关于l对称的圆C2的方程；

（2）当m变化且m0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．

解：（1）圆C1的圆心为C1（－2，3m+2），设C1关于直线l对称点为C2（a，b） b3m2a21　　　　　a2m1则 解得：

3m2ba2bm1m222∴圆C2的方程为(x2m1)2(ym1)24m2

（2）由a2m1消去m得a－2b+1=0

bm1即圆C2的圆心在定直线x－2y+1=0上。 设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则 k(2m1)(m1)b1k22m

即(4k3)m22(2k1)(kb1)m(kb1)20

∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有：

34k30　　　　　k4 2(2k1)(kb1)0 解之得：7(kb1)20　　　　b4所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为：yx347 4【例3】 已知圆C：x2y22x4y40，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。

解：圆C化成标准方程为(x1)2(y2)232 假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b） 由于CM⊥l，∴kCMkl= －1 ∴kCM=

b21， a1OBCMy即a+b+1=0，得b= －a－1 ① 直线l的方程为y－b=x－a， 即x－y+b－a=0

AxCM=

ba32

∵以AB为直径的圆M过原点，∴MAMBOM MBCBCM222(ba3)22，OMa2b2 92(ba3)2∴9a2b2 ②

2把①代入②得 2a2a30，∴a或a1 当a35,时b此时直线l的方程为x－y－4=0； 2232当a1,时b0此时直线l的方程为x－y+1=0

故这样的直线l是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0

【例4】 已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x2＋y2 = m2，当圆C与线段．．AB没有公共

点时，求m的取值范围.

解：∵过点A、B的直线方程为在l：x－y＋1 = 0, 作OP垂直AB于点P，连结OB.

由图象得：|m|＜OP或|m|＞OB时，线段AB与圆x2＋y2 = m2无交点.

（I）当|m|＜OP时，由点到直线的距离公式得：

|m|22. |1|2，即

m|m|2222BPAO（II）当m＞OB时,

|m|3222|m|13, 即 m13或m13. ∴当22m22和m13与m13且m0时，

圆x2＋y2 = m2与线段AB无交点.

【例5】 已知⊙M：x2(y2)21,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

（1）如果|AB|42，求直线MQ的方程； 3（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程. 解：（1）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),

由|AB|42，

3可得|MP||MA|2(|AB|)212(22)21,

233由射影定理，得 |MB|2|MP||MQ|,得|MQ|3, 在Rt△MOQ中，

|OQ||MQ|2|MO|232225，

故a5或a5，所以直线AB方程是

2x5y250或2x5y250;

（2）由点M，P，Q在一直线上， 得2y2,(*)ax

由射影定理得|MB|2|MP||MQ|, 即x2(y2)2a241,(**) 把（*）代入（**）消去a， 并注意到y2，可得x2(y)2

【例6】 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得

商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地相距10km，居民选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系， 则A（－5，0），B（5，0）.

设某地P的坐标为（x，y），且P地居民选择A地购买商品的费用较低，并设A地的运费为3a元/km，则B地运费为a元/km.

由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A地运费≤价格+B地运费 ，

即3a(x5)2y2a(x5)2y2，整理得(x25)2y2(15)2.

44741(y2). 16所以，以点C(25,0)为圆心，15为半径的圆就是两地居民购货的分界线.

44圆内的居民从A地购货费用较低； 圆外的居民从B地购货费用较低；

圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此可以随意从A、B两地之一购货.

【例7】 例8、在xoy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),,Pn(xn,yn),对每个自然数n,点Pn位于函数以点Pn为yx(x0)的图象上．圆心的⊙Pn与x轴都相切，且⊙

Pn与⊙Pn1又彼此外切．若x11,

2

y Pn

Pn+1

且xn1xn (nN)． 1（1）求证：数列{}是等差数列；

xn

o3 2

x

（2）设⊙Pn的面积为Sn，TnS1S2Sn,求证：Tn2解：（1）依题意，⊙Pn的半径rnynxn，⊙Pn与⊙Pn1彼此外切，

PnPn1rnrn1, (xnxn1)2(ynyn1)2ynyn1,

两边平方，化简得(xnxn1)24ynyn1, 即(xnxn1)4xnxn1.

222xnxn10， xnxn12xnxn1, 1是等差数列． xn112(nN)． xn1xn∴ 数列(2) 由题设，x11，∴

111, (n1)2xnxnx12n1Snrn2yn2xn4(2n1)4,

TnS1S2Sn

 1111111221(2n3)(2n1)5(2n1)213353111111 ＝1(1)()()3352n32n123． ＝11(11) 322n122(2n1)2【例8】 已知圆C：x2(y1)21和圆C1：(x2)2(y1)21,现在构造一系列的圆C1,C2,C3,切.回答：

(1)求圆Cn的半径rn;

(2)证明：两个相邻圆Cn1和Cn在切点间的公切线长为(3)求和lim(n,Cn,,使圆Cn1同时与Cn和圆C都相切,并都与OX轴相

12Cn;

12C212C312Cn).

解：(1)在直角梯形ODCn1C中,

AC=1－rn,CCn=1＋rn,CCn1=1＋rn1,CnCn1=rn＋rn1.Cn1B=rn1－rn. ∴有ACn1rn1rn222 ，BCn2rn1rnrn1rn22 ECn11rn11rn1，ECn1AB=ACnBCn

∴1rn21rn21rn1rn1rn1rn2rn1rn21rn121rn12

∴4rn4rnrn14rn1.即rn1rnrnrn1. 由此可得∴{∴

1rn1rn1.

}成等差数列, r11.

1r1(n1)1n,∴rn2.42.21n2.

21.81.61.41.2C1C10.80.60.4-1-0.5EAO0.2-0.2-0.40.5Cn-1CnBD11.522.53(2)公切线长为lnrnrn1rn1rn222rn1rn212.

(n1)nCn 1111112(1)2()222223C2C3Cn111∴lim(222)=2. nCC3Cn2(3)

2(111)＝2(1). n1nn【圆·练习】

一、选择题

1、直线x3y0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆(x2)2y23的位置关系是 （ ）. (A)直线与圆相切 (B) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心

2、点Mx0，y0是圆x2y2a2a0内不为圆心的一点，则直线x0xy0ya2与该圆的位置关系是 ( )

A．相切

B．相交

C．相离

D．相切或相交

3、直线axbyc0ab0截圆x2y25所得弦长等于4，则以|a|、|b|、|c|为边长的确良三角形一定是

（ ）

（A）直角三角形 （B）锐角三角形 （C）钝角三角形 （D）不存在

4、已知两点A(–2,0),B(0,2), 点C是圆x2+y2–2x=0上的任意一点,则△ABC面积的最小值是（ ）

(A)32 (B) 32 (C)

6232 (D) 2225、已知集合p(x,y)yxb,x、yR,若PQ，(x,y)y25x,x、yR及Q则实数b的取值范围是 （ ）

（Ａ）[–5,5] （Ｂ）(52,5) （Ｃ）[52,5] （Ｄ）[52,52] 6、若曲线x2+y2+a2x=(1–a2)y–4=0关于直线y–x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（ ）． （Ａ）121212 （Ｂ） （Ｃ）或 （Ｄ）或 2222227、若圆(x1)2(y1)2R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值范围是 （ ）． （A）R>1 （B）R<3 （C）1二、填空题

8、已知圆C1：(x2)2(y1)210与圆C2：(x6)2(y3)250交于A、B两点，则AB所在的直线方程是_______________________。

9、直线yx1上的点到圆x2y24x2y40的最近距离是 。 10、已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为 。 11、过P（－2，4）及Q（3，－1）两点，且在X轴上截得的弦长为6的圆方程是 三、解答题

12、半径为5的圆过点A(－2, 6)，且以M(5, 4)为中点的弦长为25，求此圆的方程。 13、已知圆x2y24x2ym0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若APB90。

求m的值。

14、已知定点A(2,0)，P点在圆x2y21上运动，AOP的平分线交PA于Q点，其中

O为坐标原点，求Q点的轨迹方程．

【圆参】

一、选择题

1、A 2、C 3、A 4、A 5、C 6、B 7、C 二、填空题

8、2x+y=0 9、221 10、yx2或yx2 11、(x－1)2＋(y－2)2=13或(x－3)2＋(y－4)2=25 三、解答题

12、解：设圆心坐标为P(a, b), 则圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2=25,

∵ (－2, 6)在圆上，∴ (a＋2)2＋(b－6)2=25, 又以M(5, 4)为中点的弦长为25， ∴ |PM|2=r2－52, 即(a－5)2＋(b－4)2=20,

7a3(a2)2(b6)225 联立方程组, 两式相减得7a－2b=3, 将b=代入 222(a5)(b4)20 得 53a2－194a＋141=0, 解得a=1或a=

141414, 相应的求得b1=2, b2=,

535314124142

)＋(y－)＝25

5353 ∴ 圆的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝25或(x－

13、解：由题设△APB是等腰直角三角形，∴圆心到y轴的距离是圆半径的 将圆方程x2y24x2ym0配方得：(x2)2(y1)25m 圆心是P(2,－1)，半径r=5m ∴5m22 解得m= －3

y2倍 2

14、解：在△AOP中，∵OQ是AOP的平分线 ∴

AQPQOAOP22 1PQOAx 设Q点坐标为（x，y）；P点坐标为（x0，y0） x ∴y22x03x2x012　　　即2 02y03y0y　　212 ∵ P（x0，y0）在圆x2+y2=1上运动，∴x02+y02=1

3x23 即y1 ∴x2222242y 392 此即Q点的轨迹方程。