上海市浦东新区2021-2022学年高一上学期期末质量测试数学试题(Word版含答案)

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1．已知全集U1,2,3，4，5，集合A1，2，3，则A ． 2．函数ylnx1的定义域为 ． 2x3．已知幂函数yfx的图像过点2,2，则f3 ． 4．当a0时，求a6a623a3的值 ． 5．计算：2log22log224log23 ．

6．在用反证法证明“已知a3b32，求证：ab2”时应先假设 ． ．．．7．已知、是关于x的方程x22mxm240mR的两个根， 则 .

1的最小值为 ． x339．若函数fxxx1在区间1,1.5内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： ．．．

8．已知x3，则x

那么方程x3x10的一个近似解为x （精确到． ．．．0.1）

10．若yfx是奇函数，当x0时fxlog22x，则f2 第1页

f10 f1.250 f1.31250 f1.50 f1.3750 f1.343750 2 ．

11．已知问题： “x3xa5恒成立，求实数a的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题. 请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a的取值范围 ．

2x1, x0212．已知函数fx，若fa2afa1，则实数a的取值范围

2, x0是 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是

正确的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．“a1x”是“指数函数ya在R上是严格减函数”的 （ ） 2A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14．任意xR，下列式子中最小值为2的是（ ） A. x122xx B. 22 C. x2 D. xxx221x22

15．已知log1a，18b5，则log35（ ） A.

16．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的

2解析式来琢磨函数图像的特征，如函数f(x)xabababab B. C. D. 2aa22a2aa（aR）的图像不可能是（ ） ．．．xA. B. C. D.

三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

第2页

17．（本小题满分8分）

已知a，b都是正实数，求证：a3b3a2bab2，并指出等号成立的条件.

18．（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）

设不等式2x13的解集为P，不等式22x8的解集为Q （1）求集合 P、Q； （2）已知全集UR，求P

19．（本小题满分10分,第1小题满分4分，第2小题满分6分）

已知函数fxQ.

1 x21（1）求函数fx的值域；

（2）求证：函数yfx在R上是严格减函数.

第3页

20．（本小题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分6分）

浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数Px与第x天近似地满足函数

Px8k（万人），k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人. x（1）求k的值；

（2）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费Cx（元）与第x天近似地满足下表：

x(天) 10 131 14 135 18 139 22 143 26 139 30 135 Cx(元) 现给出以下三种函数模型：①Cxaxb，②Cxax22b，

③Cxab.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡

x市民（含观光）的人均消费Cx（元）与第x天的关系，并求出该函数的解析式； （3）请在问题（1）、（2）的基础上，求出该购物中心日营业收入fx（1x30，x为正

整数）的最小值（单位：万元）.

（注：日营业收入=日打卡人数Px人均消费Cx）.

第4页

21．（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分）

已知函数f(x)24. （1）求方程f(x)3的解；

xf(x)log1x在x2,4上有实数解，求实数的取值范围；

（2）若关于x的方程2（3）若xii0,1,2,,2021将区间1,3划分成2021个小区间，且满足

x20213，

使

得

和

式

1x0x1x2fx1fx0fx2fx1fx3fx2恒成立，试求出实数M的最小值并说明理由.

第5页

fx2021fx2020M

第6页

上海市浦东新区2021-2022学年高一上学期期末质量测试数学试题

答案

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1．已知全集U1,2,3，4，5，集合A1，2，3，则A A4,5 ． 2．函数ylnx1的定义域为 1,2 ． 2x3． 已知幂函数yfx的图像过点2,2，则f3 4．当a0时，求a6a623a3的值 0 ． 5．计算：2log223 ．

log224log23 5 ．

336．在用反证法证明“已知ab2，求证：ab2”时应先假设 ab2 ． ．．．

7．已知、是关于x的方程x22mxm240mR的两个根，则

 4 . 1的最小值为 1 ． x339．若函数fxxx1在区间1,1.5内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： ．．．

8．已知x3，则x

那么方程x3x10的一个近似解为x 1.3 （精确到． ．．．0.1）

第7页

f10 f1.250 f1.31250 f1.50 f1.3750 f1.343750 10．若yfx是奇函数，当x0时fxlog22x，则f2 2 ．

11．已知问题：“x3xa5恒成立，求实数a的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：

小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a的取值范围

,82, ．

2x1, x0212．已知函数fx，若fa2afa1，则实数a的取值范围是

2, x035, ． 2二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是

正确的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．“a1x”是“指数函数ya在R上是严格减函数”的 （ A ） 2A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14．任意xR，下列式子中最小值为2的是（ B ） A. x122xx B. 22 C. x2 D. xxx221x22

15．已知log1a，18b5，则log35（ D ） A.

16．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好 ，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函

2数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数f(x)xabababab B. C. D. 2aa22a2aa （aR）的图像不可能是（ A ）．．．x 第8页

A. B. C. D.

三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分8分）

已知a，b都是正实数，求证：a3b3a2bab2，并指出等号成立的条件. 17．证明：a3b3(a2bab2) ………………...2分

(ab)2(ab) ………………...2分

所以a3b3ab2a2b ， ………………...2分 且等号当且仅当ab时成立． ………………...2分

18．（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）

设不等式2x13的解集为P，不等式22x8的解集为Q （1）求集合 P、Q； （2）已知全集UR，求PQ.

，18. 解：（1）P1,2,Q13. ………………….4分

（2）PQ1，2 ………………...2分

PQ,12, ………………...2分

19．（本小题满分10分,第1小题满分4分，第2小题满分6分）

已知函数fx1 2x1（1）求函数fx的值域；

（2）求证：函数yfx在R上是严格减函数.

第9页

19.（1）由题 2x0, …………………2分

2x11, …………………1分

所以函数fx的值域为0,1 …………………1分 （2） 设x1,x2是R上任意给定的两个实数，且x1x2， ………………1分

则fx1fx211 …………………2分 2x112x212x22x1x …………………1分 2112x21x1x2 2x22x1 fx1fx2 …………………1分 函数yfx在R上是严格减函数 …………………1分

20．（本小题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分6分）

浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数Px与第x天近似地满足函数

Px8k（万人），k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人. x（1）求k的值；

（2）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费Cx（元）与第x天近似地满足下表：

x(天) 10 131 14 135 18 139 22 143 26 139 30 135 Cx(元) 现给出以下三种函数模型：①Cxaxb，②Cxax22b，

③Cxab.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡

x市民（含观光）的人均消费Cx（元）与第x天的关系，并求出该函数的解析式； （3）请在问题（1）、（2）的基础上，求出该购物中心日营业收入fx（1x30，x为正

第10页

整数）的最小值（单位：万元）.

（注：日营业收入=日打卡人数Px人均消费Cx）. 20．解：（1）

第8天的打卡人数为9万人，P88k9 …………………2分 8k8 …………………1分

（2） 显然，函数模型②满足要求 …………………1分

代入点，得a1,b143 …………………1分

Cxx22143 …………………1分

（3） fxPxCx88143x22 …………………1分 x1165165x81x xx当x22且x为正整数时，fx81fx在x22且x为正整数时为严格减函数 fxf301116 ……………2分

当1x21且x为正整数时，fx811121121x8122x xx121121fx8122x81222x1152 xx且等号当且仅当x11时成立 ……………2分 综上，该商场在第30天时日营业收入最小，为1116万元 ……2分

21．（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分）

已知函数f(x)24. （1）求方程f(x)3的解；

xf(x)log1x在x2,4上有实数解，求实数的取值范围；

（2）若关于x的方程2 第11页

（3）若xii0,1,2,,2021将区间1,3划分成2021个小区间，且满足

x20213，

使

得

和

式

1x0x1x2fx1fx0fx2fx1fx3fx2恒成立，试求出实数M的最小值并说明理由.

fx2021fx2020M21．解：（1）由2x43得2x7 ……………2分

得xlog27 ……………2分 （2）

2xlog14在x2,4上是严格增函数 ……………2分

22x2 又log141,14 ……………1分

1,14 ……………1分

（3）由题，fx在区间1,3上是严格增函数， …………… 2分

对任意划分1x0x1x2x20213k为正整数

fx2021fx2020

fx1fx0fx2fx1fx2fx1fx1fx0fx2fx1fx3fx2fx2021fx2020fx2021fx0 …………… 2分 f3f16

M6 …………… 1分

实数M的最小值为6 ……………1分

第12页