第３１卷 哈尔滨师范大学自然科学学报 Ｖｏ１．３１．Ｎｏ．１ ２０１５ 第１期 ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥＳ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢＩＮ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ 弱Ｓ术一拟正规嵌入子群对有限群结构的影响木 李春浦，钱方生 （哈尔滨师范大学） 【摘要】称群Ｇ的子群日在Ｇ中弱ｓ 一拟正规嵌入，如果存在群Ｇ的正规 子群 和包含在Ｈ中的Ｇ的一个ｓ一拟正规嵌入子群日 使得日 Ｇ且日ｎ ≤ ．该文利用弱ｓ 一拟正规嵌入子群的概念，研究了有限群的构造，获得了有限群 为Ｐ一幂零群和Ｐ一超可解群的一些充分条件． 【关键词】弱ｓ 一拟正规嵌入；ｐ一幂零群；ｐ一超可解群 中图分类号：Ｏ１５２．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—５６１７（２０１５）０１—００３５—０３ 引理２ 设群Ｇ非ｐ一幂零但它的所有真 ０ 引言 子群均Ｐ一幂零，则群Ｇ本身非幂零但它的所有 利用弱化正规性条件来研究有限群，得到有 真子群均幂零． 限群的结论，一直是群论研究者感兴趣的课题之 引理３ 设群Ｇ本身非幂零但它的所有 一．该文在前人的基础上，利用弱Ｓ 一拟正规嵌 真子群均幂零，则： 入性，研究了有限群的构造，获得了有限群为Ｐ一 （１）对Ｉ Ｇ ｌ的某个素因子Ｐ，Ｇ有一个正规 幂零群和Ｐ一超可解群的一些充分条件．文中Ｇ 的Ｓｙｌｏｗ Ｐ一子群Ｐ，且Ｇ／Ｐ Ｑ，其中Ｑ为Ｇ的 总表示有限群，符号和术语都是规范的． 非正规循环Ｓｙｌｏｗ ｑ一子群，且ｐ≠ｑ； １ 预备知识 （２）Ｐ／Ｏ（Ｐ）是Ｃ／Ｏ（Ｐ）的极小正规子群； （３）如果Ｐ非交换且Ｐ≠２，则ｅｘｐＰ＝Ｐ； 定义１＿４ 称日在Ｇ中弱Ｓ 一拟正规嵌人， （４）如果Ｐ非交换且Ｐ＝２，则ｅｘｐＰ＝４； 如果存在群Ｇ的正规子群 ，使得ＨＴ－￣．．－Ｇ且日ｎ （５）’如果Ｐ交换，则ｅｘｐＰ＝Ｐ． ≤ ， 是包含在日中的Ｇ的一个ｓ一拟正规 引理４ 设Ｐ为整除Ｉ Ｇｌ的最小素因子， 嵌入子群． Ｐ为Ｇ的Ｓｙｌｏｗ Ｐ一子群且Ｐ循环，则Ｇ有正规 引理１ 设Ｇ是群，则下列结论成立： Ｐ一补． （１）设 ≤ ≤Ｇ，若日在Ｇ中弱ｓ 一拟正 引理５＿１ 设Ｇ是群，则有： 规嵌入，则日在 中弱Ｓ 一拟正规嵌入． （１）Ｓ一拟正规子群是次正规子群． （２）设Ⅳ Ｇ，且Ⅳ≤ ≤Ｇ，Ｈ在Ｇ中弱ｓ 一 （２）设Ｐ是Ｇ的ｐ一子群，且Ｐ∈１Ｔ（Ｇ），则 拟正规嵌入当且仅当Ｈ／Ｎ在ＧＩＮ中弱Ｓ 一拟正 Ｐ在Ｇ中ｓ一拟正规当且仅当Ⅳ。（Ｐ）≥０ （Ｇ）． 规嵌入； （３）设日在Ｇ中ｓ一拟正规，Ｐ∈Ｓｙｌｐ（日）， （３）设日为Ｇ的百一子群，Ⅳ为Ｇ的正规 Ｐ为素数．如果Ｐ≤０ （Ｇ）或Ｈ。＝１，则Ｐ在Ｇ中 １Ｔ 一子群，若Ｈ在Ｇ中弱Ｓ 一拟正规嵌入，则 ｓ一拟正规． ＨＮ／Ｎ在Ｇ／Ｎ中弱ｓ 一拟正规嵌入． （４）设 。是包含在日中的Ｇ的所有Ｓ一拟 收稿日期：２０１４—１０—２０ ￥黑龙江省自然科学基金面上项目（Ａ２０１４１２） ３６ 哈尔滨师范大学自然科学学报 ２０１５年第３１卷 正规子群生成的子群，则 是唯一包含在 中 事实上，Ｉ Ｐｌ≥Ｐ ．否则，则有ｌ Ｐｌ＝Ｐ，则由 最大的Ｇ的ｓ一拟正规子群，特别地， （ ）≤ 引理４，Ｇ为Ｐ一幂零，矛盾．从而，ｌ Ｐ ｌ≥Ｐ ，因Ｐ ⅣＧ（ Ｇ）． 为内幂零群Ｇ的ＳｙｌｏｗＰ一子群且交换，由引理 引理６ ７ Ｊ 设Ｇ是群，则： ３（４）知ｅｘｐＰ＝Ｐ，可得Ｐ为初等交换Ｐ一群． （１）设Ｐ是Ｇ的Ｐ一子群，Ｐ∈１Ｔ（Ｇ）．则Ｐ （３）导出矛盾． 在Ｇ中ｓ一拟正规当且仅当Ｎ （Ｐ）≥０ （Ｇ）． 设 为尸的任意一个极小子群，由假设知 （２）设 在Ｇ中ｓ一拟正规，且Ｐ为日的 在Ｇ中弱ｓ 一拟正规嵌入，即存在群Ｇ的正规子 ＳｙｌｏｗＰ一子群，Ｐ为素数．如果Ｐ≤０ （Ｇ）或 群 使得ＡＴ＜］Ｇ，且Ａ ｎ ≤４ Ａ 。是包含在Ａ Ｈ ＝１，则Ｐ在Ｇ中ｓ一拟正规． 中的Ｇ的一个Ｓ一拟正规嵌入子群．分两种情况 引理７ 设Ｐ是群Ｇ的一个初等交换Ｐ一 进行讨论： 子群且Ｉ Ｐ ｌ＝Ｐ ，ｎ≥２．则下列论述等价： Ｉ．若 ｎ Ｔ：１，则Ｔ＜Ｇ，由（１）知 为 （１）Ｐ中的Ｐ阶极小子群在Ｇ中正规． Ｐ一幂零，即Ｔ＝ × ，，其中 ∈Ｓｙｌ （Ｔ）， ， （２）Ｐ中的极大子群在Ｇ中正规． 为 的Ｐ 一Ｈａｌｌ子群．由 ，ｃｈａｒ Ｔ－－＜［Ｇ，得 引理８ 设Ｇ是一个群，Ｐ为Ｇ的ＳｙｌｏｗＰ一 ， 子群且（１ Ｇ Ｉ，Ｐ一１）＝１，则Ｇ为Ｐ一幂零当且仅 Ｇ，即 ，为Ｇ的正规Ｐ 一补，从而得Ｇ为 当Ｐ的任一极大子群在Ｇ中ｃ 一正规． Ｐ一幂零，矛盾． 引理９ ｌＯｊ 设Ⅳ（Ｎ≠１）是Ｇ的可解正规子 Ⅱ．若４ ｎ ≠１，Ａ ｎ Ｔ＝Ａ，Ａ为Ｇ的ｓ一拟 群，如果Ⅳｎ （Ｇ）＝１，，则Ⅳ的Ｆｉｔｔｉｎｇ子群 正规嵌入子群，且由（１）知Ｐ Ｇ，故Ａ≤Ｐ＝ Ｆ（Ⅳ）是包含在Ⅳ中的Ｇ的极小正规子群的直 ０ （Ｇ），由引理６，知Ａ为Ｇ的Ｓ一拟正规子群．再 积． 由引理６知０ （Ｇ）≤Ⅳ （Ａ），又因Ｐ是交换的， 引理１０ 设Ｇ是Ｐ一可解群，Ｐ是整除 则Ａ＜１Ｐ，从而４ （Ｇ）Ｐ＝Ｇ，于是Ｇ的Ｓｙ］ｏｗＰ一 ｌ Ｇ ｌ的素因子，则Ｃ （Ｆ。（Ｇ））≤Ｆ。（Ｇ）． 子群Ｐ的任意一个极小子群 Ｇ，由（２）以及引 引理１１ １３１ 设Ｇ＝ＡＢ． 和 都是Ｇ的子 理７知Ｐ的任意一个极大子群Ｐ．在Ｇ中正规，当 群，令Ａ 和曰 分别是Ａ和 的Ｓｙｌｏｗ Ｐ一子群， 然Ｐ 在Ｇ中弱ｓ 一拟正规嵌入，由引理８，可得 则Ａ Ｂ 是Ｇ的ＳｙｌｏｗＰ一子群当且仅当Ａ Ｂ ＝ Ｇ为Ｐ一幂零，矛盾．所以，极小阶反例不存在，Ｇ Ｂ。４。． 为Ｐ一幂零． 定理２ 设Ｇ是Ｐ一可解群，Ｐ是整除Ｉ Ｇ ｌ ２ 主要结论 的素因子，如果Ｆ。（Ｇ）的每一个包含０。，（Ｇ）的 定理１ 设Ｇ是群，Ｐ为Ｇ的Ｓｙｌｏｗ Ｐ一子群 极大子群在Ｇ中弱Ｓ 一拟正规嵌入，则Ｇ为Ｐ一 且Ｐ交换并满足（Ｉ Ｇ ｌ，Ｐ一１）＝１．若Ｐ的任意 超可解群． 极小子群在Ｇ中弱ｓ 一拟正规嵌入，则Ｇ为Ｐ一 证明 假设结论不真．设Ｇ为极小阶反例． 幂零群． （１）０。，（Ｇ）＝１． 证明 假设结论不真．设Ｇ为极小阶反例． 若Ｎ＝０ ，（Ｇ）≠１．先考虑商群Ｇ／Ｎ，明显 （１）Ｇ为内Ｐ一幂零群． Ｆｐ（Ｇ／Ｎ）＝Ｆ （Ｇ）／Ｎ，设Ｍ／Ｎ是Ｆｐ（Ｇ／Ｎ）的极 设Ｋ为Ｇ的任一真子群，易得到Ｐ ｎ Ｋ∈ 大子群，则 是Ｆ （Ｇ）中包含Ⅳ的极大子群．由 Ｓｙｌ （Ｋ）且Ｐ Ｎ Ｋ交换，对于Ｐ ｎ Ｋ的任意极小 于 在Ｇ中弱Ｓ 一拟正规嵌入，所以利用引理 子群Ａ≤Ｐ，Ａ在Ｇ中弱 一拟正规嵌入，由引理 １，Ｍ／Ｎ在Ｇ／Ｎ中弱Ｓ 一拟正规嵌入，由此得 １（１）知Ａ在 中弱Ｓ 一拟正规嵌入，所以，Ｋ满 Ｍ／Ｎ满足定理条件，由Ｇ的极小性可知Ｇ／Ｎ是 足定理假设，由Ｇ的极小性选择知Ｋ为Ｐ一幂零， Ｐ一超可解的，从而Ｇ也是Ｐ一超可解的，由Ｇ的 于是，非Ｐ一幂零群Ｇ的任意一个真子群Ｐ一幂 选择，矛盾． 零，即Ｇ为内Ｐ一幂零群，由引理２知Ｇ为内幂零 （２） （Ｇ）＝１，且Ｆ。（Ｇ）＝Ｆ（Ｇ）：０ （Ｇ） 群，由引理３知Ｇ＝ＰＱ，其中Ｐ为Ｇ的正规Ｓｙｌｏｗ 若Ｔ＝ｃＩ）（Ｇ）≠１，因为０。，（Ｇ）＝１，可知 Ｐ一子群，Ｑ为Ｇ的非正规循环Ｓｙ］ｏｗ ｑ一子群，且 Ｆ （Ｇ）＝Ｆ（Ｇ）＝０ （Ｇ），即得Ｆ （Ｇ／Ｔ）＝ Ｐ≠ｑ，Ｐ／Ｏ￣（Ｐ）是Ｇ／ｃＩ）（Ｐ）的极小正规子群． ０ （Ｇ／Ｔ）＝０ （Ｇ）／Ｔ＝Ｆ （Ｇ）／Ｔ，若Ｐ ／Ｔ是 （２）Ｐ为初等交换Ｐ一群． Ｆ （Ｇ／Ｔ）的极大子群，则Ｐ 是Ｆ（Ｇ）的极大子 第１期 弱ｓ 一拟正规嵌入子群对有限群结构的影响 ３７ 群．因Ｐ 在Ｇ中是弱ｓ 一拟正规嵌入的，由引理 ９可得Ｐ ／ 在Ｇ／Ｔ中是弱ｓ 一拟正规嵌入的，所 以Ｇ／Ｔ满足定理条件．由Ｇ的极小阶选择可得 Ｎ＝Ｎ ｆ３ Ｎ＝Ｎ ，则Ｎ ≤Ｋ ，矛盾．如果Ⅳｎ Ｋ ＝１，则ⅣｎⅣ Ｋ ＝Ｎ （Ｎ ｎ Ｋ ）＝Ｎ ，因 此，Ｎ ＝１，故ｌⅣＩ＝Ｐ．若Ⅳｎ Ｋ１＝Ｎ，则 Ⅳ ｎ Ｋ ＝Ｎ ，矛盾．综上可知ｌ Ｉ＝Ｐ， ＝１， ２，…，ｔ． Ｇ／Ｔ是Ｐ一超可解的，且因为所有Ｐ一超可解群构 成的群类是饱和群系，故Ｇ也是Ｐ一超可解的，由 极小阶反例，矛盾． （３）， （Ｇ）＝Ｆ（Ｇ）＝Ｎ。×Ｎ２×…ｘⅣｌ，其 中Ｎ （ｉ＝１，２，…， ）是群Ｇ的包含在Ｆ（Ｇ）中的 （４）最后的矛盾． 对于任意的ｉ，商群Ｇ／Ｃ （Ｎ ）同构于 Ａｕｔ（Ｎ ）的子群，其中Ａｕｔ（Ｎ ）是阶为Ｐ一１的循 极小正规子群，并且Ｉ Ｎｉ ｌ＝Ｐ． 环群，由于所有的Ｐ一超可解群构成的群类是饱 由引理ｌ０和（２）可得，Ｆ（Ｇ）是群Ｇ的包含 ｔ 在Ｆ（Ｇ）中的极小正规子群的直积，由于Ｇ是Ｐ一 和群系，故Ｇ／ｎ（Ｃ。（Ｎ ））是Ｐ一超可解的，再 ｔ 可解的且０ ，（Ｇ）＝１，可知Ｆ（Ｇ）是非平凡的初 由 ｎ （Ｃ。（Ｎ ）） ： Ｃ （Ｆ（Ｇ）） 可知 等交换Ｐ一群，所以由引理１１有Ｃ。（Ｆ（Ｇ））＝ Ｇ／Ｃ。（Ｆ（Ｇ））＝ Ｆ（Ｇ）是ｐ一超可解群，于是 Ｆ（Ｇ），现在令Ｆ（Ｇ）＝Ｐ＝Ｎ ×Ⅳ２×…×Ｎ ，其 Ｇ是Ｐ一超可解群，矛盾． 中Ｎ （ｉ＝１，２，…，￡）是群Ｇ的包含在Ｐ中的极小 参考文献 正规子群，由于 （Ｇ）＝１，对于群Ｇ的包含在Ｐ ［１］ Ｍｉａｏ Ｌ．Ｏｎ ｗｅａｋｌｙ ｓ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｉｆｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ 中的每一个极小正规子群Ⅳ，都存在Ｇ的一个极 ［Ｊ］．Ｂｕｌｌ Ｂｒａｚ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，２０１０，４１（２）：２２３—２３５． 大子群 ，使得Ｇ＝ＮＭ＝ ，且有Ⅳｎ Ｍ＝１． ［２］ 韦华全．子群的特性与有限群的结构［Ｄ］．广东中山：中山 令 为 的Ｓｙｌｏｗ Ｐ一子群，则Ｐ＝Ｐ ｎ ｃ＝Ｐ 大学，２００６． ［３］ Ｍｉａｏ Ｌ，Ｑｉａｎ Ｇ Ｈ．Ａ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ １＂３ ＭＮ＝Ｎ（Ｐ １＂３ ）＝（Ｐ ｎ Ｍ）ｘ Ｎ，并且有引 ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｓｉｂｅｒｉａｎ Ｍａｔｈ Ｊ，２００９，５０（４）：６８７—６９１． 理１１可得，ＧＰ＝ Ｐ，令Ｐｌ是ＧＰ中包含 Ｐ的 ［４］周洋，杨立英，韦华全，等．弱ｓ 一拟正规嵌入子群对Ｐ一 极大子群，记为Ｐ ＝Ｐ ｎ Ｐ，显然，Ｐ。＝Ｐ Ｍ ， 幂零群的影响［Ｊ］．信阳师范学院学报：自然科学版， 且Ｐ２＝（Ｐ ｆ＇３ Ｍ）×（Ｐ１ ｎⅣ），因为Ｐ２ １３ ＭＰ＝ ２０１３，４（２６）：４６９—４７２． Ｐ ｆ３ ，有Ｐ＝ｌ Ｇ尸：Ｐ１ Ｉ＝Ｉ尸 １．Ｐ２ ｌ＝ｌ Ｐ：Ｐ２ ［５］Ｈｕｐｐｅ￣Ｂ．Ｅｎｄｌｉｃｈｅ ｇｒｕｐｐｅｎ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｈｅｉｄｅｌ—ｂｅｒｇ， Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９６７． ｌ，从而Ｐ＇是Ｐ的极大子群．类似的，可得Ｎ ＝ ［６］ 徐明曜．有限群导引：上册［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９９． Ｐ ｎⅣ是Ⅳ的极大子群，因为Ｐ２＝Ｐ１ ｎ Ｐ＜３ＧＰ， ［７］ 陈云坤．子群的指数集对有限群的影响［Ｊ］．贵州师范大 再由引理５可知，Ｇ ≤ＮＧ（Ｐ：）≤Ｎ。（（Ｐ：） 。）， 学学报：自然科学版，２０１１，２９（１）：４５—４７． 进一步有（Ｐ：） 被０ （Ｇ）Ｇ ＝Ｇ正规化，所以易 ［８］ Ａｓａａｄ Ｍ，Ｈｅｌｉｅｌ Ａ Ａ．Ｏｎ ｓ—ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｌｙ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｓｕｂ— 知（Ｐ２），Ｇ＝（Ｐ２）Ｇ＝Ｐ ３１ Ｍ，又因为Ｐ２在Ｇ中是 ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｉｆｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｊ Ｐｕｒｅ Ａｐｐｌ Ａｌｇｅｂｒａ，２００７，１６５： １２９—１３５． 弱ｓ 一拟正规嵌入的，所以存在群Ｇ的正规子群 ［９］Ｗｅｉ Ｈ，Ｗａｎｇ Ｙ．Ｏｎ ｃ 一ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ａｎｄ ｉｔｓ ｐｒｏｐｅ￣ｉｅｓ［Ｊ］．Ｊ ，使得Ｐ：Ｋ＜３Ｇ且Ｐ ｎ Ｋ≤（Ｐ ） 注意到Ｐ ｎ Ｇｒｏｕｐ Ｔｈｅｏｒｙ，２００７，１０（２）：２１１－２２３． Ｋ≤Ｏｐ（Ｇ），令（Ｐ２）ＧＫ＝Ｋ１，则Ｋ１ Ｇ且Ｐ２Ｋ＝ ［１０］Ｇｕｏ Ｗ．Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｃｉ－ Ⅳ Ｋ。，由Ｐ２Ｋ＜３Ｇ，得Ⅳ Ｋ Ｇ，进而Ⅳ ｎ Ｋ。＝ ｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ—Ｋｌｕｗｅｒ Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒ，２０００． １，否则，若Ⅳ ｎ Ｋ。≠１，Ｎ ｎ Ｋ ＝Ｎ ｎ Ｋ ｎ Ｔｈｅ Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ Ｗｅａｋｌｙ ｓ 一ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｌｙ Ｅｍｂｅｄｄｅｄ Ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｆｉｎｉｔｅ Ｇｒｏｕｐｓ Ｌｉ Ｃｈｕｎｐｕ，Ｑｉａｎ Ｆａｎｇｓｈｅｎｇ （Ｈａｒｂｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｓｕｂｇｒｏｕｐ Ｈ ｏｆ Ｇ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｗｅａｋｌｙ ｓ 一ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｌｙ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｉｎ Ｇ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｎｏｒｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐ Ｔ ｏｆ Ｇ ａｎｄ ａｎ ｓ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｙ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｓｕｂｇｒｏｕｐ日 。ｏｆ Ｇ ｉｓ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ日，ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ＨＴ＜３ Ｇａｎｄ Ｈ ｎ ≤日ｓｅ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｉｓ ｃｏｎｃｅｐｔ，ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ ｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｐ—ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ Ｐ—ｓｕｐｅｒｓｏｌｖａｂｌｅ ｇｒｏｕｐｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｗｅａｋｌｙ ｓ 一ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｌｙ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ；ｐ—ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｇｒｏｕｐｓ；ｐ—ｓｕｐｅｒｓｏｌｖａｂｌｅ ｇｒｏｕｐｓ （责任编辑：季春阳）