2020年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（11）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各等式中，正确的是（ ） A．−√(−3)2=−3 2．（3分）分式A．x≠0
2𝑦𝑥−3
B．±√32=3
C．（√−3）2＝﹣3
D．√32=±3
有意义的条件是（ ）
B．y≠0
C．x≠3
D．x≠﹣3
3．（3分）下列计算中正确的是（ ） A．3a2+2a2＝5a4 C．（2a2）3＝2a6
B．（﹣2a）2÷a2＝4 D．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．三角形的外心到三边的距离相等 B．某射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
5．（3分）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A．（x+a）（x﹣a） C．（﹣x﹣b）（x﹣b）
B．（a+b）（﹣a﹣b） D．（b+m）（m﹣b）
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣2）、点B（3m，4m+1）（m≠﹣1），点C（6，2），则对角线BD的最小值是（ ） A．3√2 B．2√13 C．5
D．6
7．（3分）下列立体图形 ①长方体②圆锥③圆柱④球中，左视图可能是长方形的有（ ） A．①
B．①②
C．①③
D．①④
8．（3分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
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A．9.7m，9.8m
B．9.7m，9.7m
C．9.8m，9.9m
D．9.8m，9.8m
9．（3分）如图，过点A0（1，0）作x轴的垂线，交直线l：y＝2x于B1，在x轴上取点A1，使OA1＝OB1，过点A1作x轴的垂线，交直线l于B2，在x轴上取点A2，使OA2＝OB2，过点A2作x轴的垂线，交直线l于B3，…，这样依次作图，则点B8的纵坐标为（ ）
A．（√5）7
B．2（√5）7
C．2（√5）8
D．（√5）9
10．（3分）如图，弓形ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2√3．若点P在优弧BAC上由点B移动到点C，记△PBC的内心为I，点I随点P的移动所经过的路径长为（ ）
A．π
32
B．π
3
4
C．π
3
8
D．4π
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）﹣3﹣（﹣5）＝ ．
12．（3分）已知a+b+c＝0，abc≠0，那么a（+）+b（+）+c（+）的值为 ．
𝑏
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
𝑏
1
1
1
1
1
1
13．（3分）一个不透明盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 ． 14．（3分）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，
第2页（共27页）
若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”，如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ （用含α的式子表示）．
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
16．（3分）在直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2﹣2x先向下平移一个单位，再向右平移一个单位，所得新抛物线的解析式为 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解方程：
（1）3x﹣9＝6x﹣1； （2）x−4=1−2．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．
𝑥−1
3−𝑥
19．（8分）为了解某中学去年中招体育考试中女生“一分钟跳绳”项目的成绩情况，从中抽取部分女生的成绩，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据下列统计图中提供的信息解决下列问题：
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（1）本次抽取的女生总人数为 ，第六小组人数占总人数的百分比为 ，请补全频数分布直方图；
（2）题中样本数据的中位数落在第 组内；
（3）若“一分钟跳绳”不低于130次的成绩为优秀，这个学校九年级共有女生560人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数．
20．（8分）某公司准备用36万购进A、B两种货物，预计直接销售完后共可获利6万元，其进价和售价如下表：
A种货物 B种货物
进价（元/吨）
1200 1000
售价（元/吨）
1380 1200
（1）求购进的A、B两种货物各多少吨？
（2）若将该批货物运往某地销售可增加利润．现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将A、B货物全部运往该地．已知甲种货车可装A种货物40吨和B种货物10吨，乙种货车可装A种货物和B种货物各20吨．则该公司有哪几种租车方案？请你帮忙设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，将该批货物运往某地销售可增加20%的利润，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．该公司应选择哪种方案可使利润最大？最大利润是多少元？
21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC． （1）求证：OC⊥OB；
（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．
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22．（10分）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}＝﹣1，min{2，2}＝2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y＝min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．
11
（1）设y1＝x，y2=，则函数y＝min{x，}的图象应该是 中的实线部分．
𝑥𝑥
（2）请在图1中用粗实线描出函数y＝min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：
① ；② ；③ ；
（3）函数y＝min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于 对称．
23．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由； （3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请
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求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
24．（12分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
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2020年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（11）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各等式中，正确的是（ ） A．−√(−3)2=−3
B．±√32=3
C．（√−3）2＝﹣3
D．√32=±3
【解答】解：A、−√(−3)2=−3，故A正确； B、±√32=±3，故B错误； C、被开方数是非负数，故C错误； D、√32=3，故D错误； 故选：A． 2．（3分）分式A．x≠0
2𝑦𝑥−3
有意义的条件是（ ）
B．y≠0
C．x≠3
D．x≠﹣3
【解答】解：根据分式有意义的条件，得x﹣3≠0 解得x≠3． 故选：C．
3．（3分）下列计算中正确的是（ ） A．3a2+2a2＝5a4 C．（2a2）3＝2a6
【解答】解：A、原式＝5a2，不符合题意； B、原式＝4，符合题意； C、原式＝8a6，不符合题意； D、原式＝a2﹣ab+a，不符合题意， 故选：B．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．三角形的外心到三边的距离相等 B．某射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
【解答】解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的
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B．（﹣2a）2÷a2＝4 D．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab
距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意； B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意； D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C．
5．（3分）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A．（x+a）（x﹣a） C．（﹣x﹣b）（x﹣b）
B．（a+b）（﹣a﹣b） D．（b+m）（m﹣b）
【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣2）、点B（3m，4m+1）（m≠﹣1），点C（6，2），则对角线BD的最小值是（ ） A．3√2 B．2√13 C．5
D．6
【解答】解：方法1：如图，∵点B（3m，4m+1）， 3𝑚=𝑥∴令{，
4𝑚+1=𝑦∴y=3x+1，
∴B在直线y=3x+1上，
∴当BD⊥直线y=3x+1时，BD最小， 过B作BH⊥x轴于H，则BH＝4m+1， ∵BE在直线y=x+1上，且点E在x轴上， ∴E（−，0），G（0，1），
∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上， ∴F是AC的中点，
∵A（0，﹣2），点C（6，2）， ∴F（3，0）．
在Rt△BEF中，∵BH2＝EH•FH，
3
44344
4
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∴（4m+1）2＝（3m+）（3﹣3m）， 解得：m1=−（舍），m2=， ∴B（，），
5
53
9
1
41534∴BD＝2BF＝2×√(3−5)2+(5)2=6， 则对角线BD的最小值是6； 方法2：如图，∵点B（3m，4m+1）， 3𝑚=𝑥∴令{，
4𝑚+1=𝑦∴y=x+1，
∴B在直线y=x+1上，
∴当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，
∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上， ∴F是AC的中点，
∵A（0，﹣2），点C（6，2）， ∴F（3，0）．
设直线BF的解析式为y=−4x+b，则−4×3+b＝0，解得b=4， 则直线BF的解析式为y=−4x+4， ∴4m+1=−4×3m+4，解得m=5， ∴B（，），
5
53
93
9
13
93
3
9
4
3434339∴BF=√(3−5)2+(5)2=3， ∴BD＝2BF＝6，
则对角线BD的最小值是6． 故选：D．
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7．（3分）下列立体图形 ①长方体②圆锥③圆柱④球中，左视图可能是长方形的有（ ） A．①
B．①②
C．①③
D．①④
【解答】解：①长方体的左视图可能是长方形； ②圆锥的左视图不可能是长方形； ③圆柱的左视图可能是长方形； ④球的左视图不可能是长方形； 故选：C．
8．（3分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.7m，9.8m
B．9.7m，9.7m
C．9.8m，9.9m
D．9.8m，9.8m
【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m， 9.7m出现了2次，最多， 所以众数为9.7m， 故选：B．
9．（3分）如图，过点A0（1，0）作x轴的垂线，交直线l：y＝2x于B1，在x轴上取点A1，使OA1＝OB1，过点A1作x轴的垂线，交直线l于B2，在x轴上取点A2，使OA2＝OB2，过点A2作x轴的垂线，交直线l于B3，…，这样依次作图，则点B8的纵坐标为（ ）
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A．（√5）7
B．2（√5）7
C．2（√5）8
D．（√5）9
【解答】解：∵A0（1，0）， ∴OA0＝1，
∴点B1的横坐标为1，
∵B1，B2、B3、…、B8在直线y＝2x的图象上， ∴B1纵坐标为2， ∴OA1＝OB1=√5， ∴A1（√5，0）， ∴B2点的纵坐标为2√5，
于是得到B3的纵坐标为2（√5）2… ∴B8的纵坐标为2（√5）7 故选：B．
10．（3分）如图，弓形ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2√3．若点P在优弧BAC上由点B移动到点C，记△PBC的内心为I，点I随点P的移动所经过的路径长为（ ）
A．π
32
B．π
3
4
C．π
3
8
D．4π
【解答】解：如图，将圆补全，过点O作OD⊥BC交⊙O于点D，设I为△PBC的内心连接BI、连接PD、连接BO、连接CO、连接BD、连接CD、连接PB、连接PC， ∵DO⊥BC，
∴BD＝CD，∠BPD＝∠CPD，
∵∠PBI+∠BPI＝∠BID，∠DBC+∠CBI＝∠IBD，∠BPD＝∠BCD，
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∴∠DBI＝∠BID， ∴ID＝BD，
∵∠BAC＝60°，BC＝2√3，
∴∠BOD＝60°，△BDO是等边三角形， ∴BO=𝑠𝑖𝑛60°=2，∠BDC＝120°， ∴BD＝BO＝ID＝2，
∴动点I到定点D的距离为2，即点I随点P的移动所经过的路径长是：以点D为圆心，2为半径的弧CIB， 弧CIB的长为：故选：B．
120𝜋×2180
√3=π，
3
4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）﹣3﹣（﹣5）＝ 2 ． 【解答】解：﹣3﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2．
12．（3分）已知a+b+c＝0，abc≠0，那么a（+）+b（+）+c（+）的值为 ﹣
𝑏
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
𝑏
1
1
1
1
1
1
3 ．
【解答】解：原式==
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐
+++++ 𝑏𝑐𝑎𝑐𝑎𝑏𝑎+𝑐𝑏+𝑐𝑎+𝑏
++， 𝑏𝑎𝑐∵a+b+c＝0，
∴a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，b+c＝﹣a， ∴原式=𝑏+𝑎+𝑐=−1﹣1﹣1＝﹣3， 故答案为：﹣3．
13．（3分）一个不透明盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、
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−𝑏−𝑎−𝑐
白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 【解答】解：画树状图得：
16 ．
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况， ∴两次都摸到白球的概率是：故答案为：．
61
212
= 6
1
14．（3分）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”，如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ 含α的式子表示）．
12α或α或α （用3312
【解答】解：如图2，PQ平分∠MPN， 即∠MPN＝2∠MPQ＝2∠NPQ， ∵∠MPN＝α， ∴∠MPQ=α；
如图3，PQ是∠MPN的3等分线， 即∠NPQ＝2∠MPQ， ∴∠MPQ=α；
如图4，PQ是∠MPN的3等分线， 即∠MPQ＝2∠NPQ， ∴∠MPQ=3α；
第13页（共27页）
1
2132
故答案为：α或α或α．
2
3
3
112
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为
52 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△DAF中， 𝐴𝐵=𝐴𝐷
∵{∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷， 𝐴𝐸=𝐷𝐹
∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝∠BGF＝90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH=1
2BF，
∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3， ∴BF=√𝐵𝐶2+𝐶𝐹2=5， ∴GH=1
2BF=52， 故答案为：52．
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16．（3分）在直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2﹣2x先向下平移一个单位，再向右平移一个单位，所得新抛物线的解析式为 y＝﹣x2 ．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，它的顶点坐标为（﹣1，1），把点（﹣1，1）先向下平移一个单位，再向右平移一个单位得到对应点的坐标为（0，0），所以新的抛物线解析式是y＝﹣x2． 故答案为y＝﹣x2．
三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解方程：
（1）3x﹣9＝6x﹣1； （2）x−
𝑥−13−𝑥
=1−． 42【解答】解：（1）移项合并得：3x＝﹣8， 解得：x=−；
（2）去分母得：4x﹣x+1＝4﹣6+2x， 移项合并得：x＝﹣3．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．
83
【解答】证明：在AC上取AF＝AE，连接OF， ∵AD平分∠BAC、 ∴∠EAO＝∠FAO， 在△AEO与△AFO中，
第15页（共27页）
𝐴𝐸=𝐴𝐹
{∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐹𝐴𝑂 𝐴𝑂=𝐴𝑂
∴△AEO≌△AFO（SAS）， ∴∠AOE＝∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°﹣∠B）＝60° 则∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；
∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°， 则∠COF＝60°， ∴∠COD＝∠COF，
1
2121212∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐹
∴在△FOC与△DOC中，{𝐶𝑂=𝐶𝑂，
∠𝐹𝐶𝑂=∠𝐷𝐶𝑂∴△FOC≌△DOC（ASA）， ∴DC＝FC， ∵AC＝AF+FC， ∴AC＝AE+CD．
19．（8分）为了解某中学去年中招体育考试中女生“一分钟跳绳”项目的成绩情况，从中抽取部分女生的成绩，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据下列统计图中提供的信息解决下列问题：
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（1）本次抽取的女生总人数为 50 ，第六小组人数占总人数的百分比为 8% ，请补全频数分布直方图；
（2）题中样本数据的中位数落在第 三 组内；
（3）若“一分钟跳绳”不低于130次的成绩为优秀，这个学校九年级共有女生560人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数．
【解答】解：（1）本次抽取的女生总人数是：10÷20%＝50（人）， 第四小组的人数为：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4＝10（人）， 第六小组人数占总人数的百分比是：补全图形如下：
450
×100%＝8%．
故答案是：50人、8%；
（2）因为总人数为50，
所以中位数是第25、26个数据的平均数， 而第25、26个数据都落在第三组， 所以中位数落在第三组， 故答案为：三；
第17页（共27页）
（3）随机抽取的样本中，不低于130次的有20人， 则总体560人中优秀的有560×50=224（人），
答：估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数为224人．
20．（8分）某公司准备用36万购进A、B两种货物，预计直接销售完后共可获利6万元，其进价和售价如下表：
A种货物 B种货物
进价（元/吨）
1200 1000
售价（元/吨）
1380 1200
20
（1）求购进的A、B两种货物各多少吨？
（2）若将该批货物运往某地销售可增加利润．现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将A、B货物全部运往该地．已知甲种货车可装A种货物40吨和B种货物10吨，乙种货车可装A种货物和B种货物各20吨．则该公司有哪几种租车方案？请你帮忙设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，将该批货物运往某地销售可增加20%的利润，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．该公司应选择哪种方案可使利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设商场购进A种商品x吨，B种商品y吨，根据题意得： 1200𝑥+1000𝑦=360000{， (1380−1200)𝑥+(1200−1000)𝑦=60000𝑥=200
解得：{．
𝑦=120
答：该商场购进A种商品200吨，B种商品120吨．
（2）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车（8﹣x）辆， 40𝑥+20(8−𝑥)≥200
由题意：{，
10𝑥+20(8−𝑥)≥120解得2≤x≤4，
∴有三种方案租用甲种货车2辆，方案一：租用乙种货车6辆， 方案二：租用甲种货车3辆，租用乙种货车5辆， 方案三：租用甲种货车4辆，租用乙种货车4辆；
第18页（共27页）
（3）∵甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元， 又360＜400，
∴方案一的运费最小，利润最大，最大利润＝360000×20%﹣2×400﹣6×360＝69040（元）．
21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC． （1）求证：OC⊥OB；
（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝BP， ∴∠BAP＝∠BPA， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥BA，
∴∠BAO＝90°，即∠BAP+∠PAO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠PAO＝∠C， ∵∠BPA＝∠CPO， ∴∠C+∠CPO＝90°， ∴∠COP＝90°， 即CO⊥BO；
（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，
在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，
第19页（共27页）
则BO＝5，OP＝2，
在Rt△CPO中，PO＝2，CO＝4， 则CP＝2√5， ∵BA＝BP， ∴AD＝PD，
由（1）知∠COP＝90°，
∵∠BDP＝90°，∠BPD＝∠CPO， ∴△BPD∽△CPO， ∴
𝐵𝑃𝐶𝑃
=
𝑃𝐷𝑃𝑂
，即32√5=
𝑃𝐷2
，
∴PD=
3√5， 56√5． 5∴AP＝2PD=
22．（10分）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}＝﹣1，min{2，2}＝2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y＝min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．
（1）设y1＝x，y2=，则函数y＝min{x，}的图象应该是 B 中的实线部分．
𝑥
1
𝑥1
（2）请在图1中用粗实线描出函数y＝min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：
① 对称轴为y轴 ；② x＜﹣2时y随x的增大而减小 ；③ 最小值为0 ； （3）函数y＝min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于 直线x＝1 对称．
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【解答】解：（1）当x≤﹣1时，x≤；当﹣1＜x＜0时，x＞；当0＜x＜1时，x≤；当x≥1时，x＞；
∴函数y＝min{x，}的图象应该是
𝑥11
𝑥1𝑥1𝑥1𝑥
故选：B；
（2）函数y＝min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：
性质为：对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0．
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故答案为：对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0； （3）令（x﹣4）2＝（x+2）2，则x＝1，
故函数y＝min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x＝1． 故答案为：直线x＝1．
23．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ＝ ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由； （3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°， ∴AC=√42+42=4√2，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°， ∴∠AHC＝∠ACG． 故答案为＝．
（2）结论：AC2＝AG•AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
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∴△AHC∽△ACG，
𝐴𝐻𝐴𝐶
=
𝐴𝐶𝐴𝐺
，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①△AGH的面积不变．
理由：∵S△AGH=2•AH•AG=2AC2=2×（4√2）2＝16． ∴△AGH的面积为16．
②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，
1
1
1
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8， ∵BC∥AH， ∴
𝐵𝐶𝐴𝐻
=
2
𝐵𝐸𝐴𝐸
=，
28
1
∴AE=3AB=3．
如图2中，当CH＝HG时，
易证AH＝BC＝4（可以证明△GAH≌△HDC得到） ∵BC∥AH，
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∴
𝐵𝐸𝐴𝐸
=
𝐵𝐶𝐴𝐻
=1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．
在BC上取一点M，使得BM＝BE， ∴∠BME＝∠BEM＝45°， ∵∠BME＝∠MCE+∠MEC， ∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM=√2x， ∴x+√2x＝4， ∴m＝4（√2−1），
∴AE＝4﹣4（√2−1）＝8﹣4√2，
综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4√2．
38
24．（12分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
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【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣∴{1−𝑏+𝑐=0𝑐=−3， 解得{𝑏=−2𝑐=−3
，
故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 则点C的坐标为（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12， ∵DC＝DE，
∴m2+9＝m2+8m+16+1， 解得m＝﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；
（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4）， ∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1，
根据勾股定理，CD=√𝑂𝐶2+𝑂𝐷2=√32+12=√10， 在△COD和△DFE中，
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3），
𝐶𝑂=𝐷𝐹
∵{∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐷𝐹𝐸=90°， 𝐷𝑂=𝐸𝐹∴△COD≌△DFE（SAS）， ∴∠EDF＝∠DCO， 又∵∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠EDF+∠CDO＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°， ∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时， ∵△DOC∽△PDC， ∴即𝑂𝐶𝐷𝐶3√10=
𝑂𝐷𝐷𝑃1
， ，
=
𝐷𝑃
解得DP=3，
过点P作PG⊥y轴于点G， 则
𝐷𝐺𝐷𝐹𝐷𝐺3
√10=
𝑃𝐺𝐸𝐹𝑃𝐺1
=
𝐷𝑃𝐷𝐸
，
即==
√103√10，
1
解得DG＝1，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0， 所以点P（−3，0），
当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2， 所以，点P（，﹣2）；
311
②OC与DP是对应边时， ∵△DOC∽△CDP， ∴即
𝑂𝐶𝐷𝑃3𝐷𝑃
==
𝑂𝐷𝐷𝐶1， ，
√10解得DP＝3√10，
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过点P作PG⊥y轴于点G， 则𝐷𝐺𝐷𝐹=𝑃𝐺𝐷𝑃𝐸𝐹=𝐷𝐸
， 即
𝐷𝐺𝑃𝐺√103
=
1
=
3√10，
解得DG＝9，PG＝3，
当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8， 所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10， 所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（−1
，0）、（1
33
，﹣（3，﹣10）．
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2）、（﹣3，8）、
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