难点剖析 Ｓ 圆锥曲线中的最值与范围问题的解决方法 ■李瑞芳 高考对圆锥曲线的考查，既有对圆锥曲线的性 质、曲线与方程关系的研究，又对最值范围问题有所 青睐，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识， 模型，再借助二次函数的性质求解。 （三）判别式法 例２ （２００５全国卷）设 （ ｌ，Ｙ１），Ｂ 紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化，充分展现数形 结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的 应用。下面就此类问题的解决方法从两大方面来加 以阐述，供参考。 一、几何方法 利用圆锥曲线定义将距离与距离和最值问题转 化为点与点、点与线间的距离是常用的方法。 例１点Ｍ和Ｆ分别是椭圆 墓＋菩＝１上的动点和右焦点，定 点Ｂ（２，２）。 （Ｉ）求Ｉ ＭＦ Ｉ＋ｌ ＭＢ Ｉ的最小 值： Ｃ （１Ｉ）求｝ＩＭＦＩ＋ｆ彻Ｉ的最小值。 【解析】由题易知，椭圆右焦点为Ｆ（４，０），左焦 点 （一４，０），离心率ｅ＝｛，准线方程 ＝± ４。 （Ｉ）ｆ ＭＦＩ＋ｆ 侣ｆ＝１０一Ｉ Ｍ Ｆ ｆ＋ｌ 侣Ｉ＝１０ 一（Ｉ ＭＦ Ｉ—Ｉ ＭＢ１）≥１０一Ｉ Ｆ 曰Ｉ。当肘、 、 三点 共线时，Ｉ ＭＦ＇Ｉ—ｌ ＭＢ ｌ取最大值Ｉ 曰ｌ。此时 ｌ＆ＩＦｌ＋ＩＭＢＩ≥１Ｏ—ＩＦ Ｉ：１０—２√１０。 （１／）过动点Ｍ作右准线 ＝ 的垂线，垂足为 …￣。．，Ｉ ＩＭＦＩＩ—ｅ ：了４ ｊ ｌ删Ｉ＝詈ｌ ｌ。于是 Ａ Ｉ ＭＦｌ＋Ｉ ＭＢｌ＝Ｉ ＭＨＩ＋Ｉ ＭＢＩ≥Ｉ船Ｉ＝ １１可见， 当且仅当点曰、 、Ⅳ共线时，号ｌＭＦＩ＋Ｉ舢Ｉ取最 小值 。 【评注】：从椭圆的两个定义出发，将问题转化为 平面几何中的问题：三角形两边之和大于第三边，两 边之差的绝对值小于第三边，将距离和与差转化为 共线问题或点线距离问题，这是解决此类问题的常 见思路。抛物线、双曲线中也有类似问题。 二、代数方法 （一）换元法三角换元是圆和椭圆中转化经常用 的形式，将二元问题转化为一元利用正、余弦有界性 求最值与范围。 （二）二次函数法主要利用数学建模思想构建 （ ２，ｙ２）两点在抛物线Ｙ＝２ｘ。上，ｌ是Ａ８的垂直平 分线。（Ｉ）略；（Ⅱ）当直线ｚ的斜率为２时，求ｆ在 Ｙ轴上截距的取值范围。 【解析】（Ⅱ）设ｚ在Ｙ轴上的截距为ｂ，依题意得 ｚ的方程为Ｙ：２ｘ＋ｂ，过点Ａ、Ｂ的直线方程可写为 Ｙ＝一＿｝ ＋ｍ，所以 １、 ２满足方程２ｘ １ —ｍ ：ｏ，得 ＋ ：＝一｛。 Ａ、Ｂ为抛物线上不同的两点，则△＝ １＋８ｍ’ ０，即ｍ＞一 。设ＡＢ的中点Ｎ的坐标为 （ＸＯ， ），贝Ｕ ｏ： ｝（ ｌ＋ ２）＝一音，Ｙｏ＝一 ｝ ｏ ＋ｍ １＋ｍ。由Ⅳ∈ｚ，得意 ｍ＝一专 ｂ，于 Ｅ，， ５ ５ １ ９ 是０ ｍ 一１６一一３２ ３一２， 即ｆ在Ｙ轴上截距的取值范围为（云，＋Ｏ０）。 【评析】本题主要将ｚ在Ｙ轴上截距问题转化为 Ａ 在Ｙ轴上的截距问题，利用它们的一次函数关 系，通过判别式求得参数的取值范围。 圆锥曲线中的有关最值与范围问题，常用代数 法和几何法解决，若命题的条件和结论具有明显的 几何意义，一般可用图形性质来解决；若命题的条件 和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数 （通常利用换元、二次函数、均值不等式、导数等）求 最值，以上分析中能充分体现这些。解析几何是代 数与几何的完美结合，其中问题可以涉及函数、方 程、不等式、三角、几何、向量等知识，形成了轨迹、最 值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数 学综合能力要求最高的内容之一。函数、方程与不 等式与解析几何问题的有机结合将继续成为数学高 考的“重头戏”。应特别注意曲线的性质、直线与圆 锥曲线的关系、公共点的位置，这些是参数约束条件 的来源。因而解决圆锥曲线中的最值问题，必须在 熟练并准确地掌握圆锥曲线的定义、性质的基础上， 灵活运用函数与方程、转化与化归及数形结合等思 想方法，仔细审题，挖掘隐含，恰当的确立解题方法。 此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范 合理、结果准确。 （作者单位：河北省安新中学）
