2013年四川高考文科数学试卷及答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的．

1．(2013四川，文1)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}．则A∩B＝( )．

A． B．{2}

C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}

2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )．

A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台

3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )．

A．A B．B C．C D．D

4．(2013四川，文4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x∈A,2x∈B，则( )．

A．p：x∈A,2x∈B B．p：xA,2x∈B C．p：x∈A,2xB D．p：xA,2xB

5．(2013四川，文5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是( )．

A．23 B．2 C．3 D．1

ππ6．(2013四川，文6)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)0,的部分图象如图所示，

22则ω，φ的值分别是( )．

πA．2，3

πB．2，6

πC．4，6

πD．4，3

7．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，

2013 四川文科数学 第1页

所作的频率分布直方图是( )．

xy8,2yx4,8．(2013四川，文8)若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小

x0,y0,值为b，则a－b的值是( )．

A．48 B．30 C．24 D．16

x2y29．(2013四川，文9)从椭圆221(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点

abF1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )．

2231A．4 B．2 C．2 D．2

10．(2013四川，文10)设函数f(x)＝exxa(a∈R，e为自然对数的底数)，若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是( )．

A．[1，e] B．[1,1＋e] C．[e,1＋e] D．[0,1] 1．

答案：B

解析：{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}． 2．

答案：D

解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台． 3．

答案：B

解析：设z＝a＋bi，则共轭复数为z＝a－bi，

2013 四川文科数学 第2页

∴表示z与z的两点关于x轴对称． 故选B． 4．

答案：C

解析：原命题的否定是x∈A,2xB． 5．

答案：D

解析：y2＝8x的焦点为F(2,0)，它到直线x－3y＝0的距离d＝6． 答案：A

11π5π＝π， 解析：由图象知函数周期T＝212122π5π5π5π∴ω＝＝2，把,2代入解析式，得22sin2，即sin1.

π121265πππ∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)． 623πππ又，∴φ＝.

223故选A．

7．

答案：A

解析：由分组可知C，D一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人， ∴第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B．故选A． 8．

答案：C

解析：画出可行域，如图．

x4,xy8,联立解得

y4.2yx4,即A点坐标为(4,4)，

由线性规划可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即a＝16，b＝－8， ∴a－b＝24.故选C． 9． 答案：C

b2解析：由题意知A(a,0)，B(0，b)，Pc,，

a2＝1.故选D． 13∵AB∥OP，

b2b∴.∴b＝c.

acac212222∵a＝b＋c，∴e2.

a22013 四川文科数学 第3页

∴e2.故选C． 210． 答案：A

解析：当a＝0时，f(x)＝exx为增函数， ∴b∈[0,1]时，f(b)∈[1，e1]． ∴f(f(b))≥e1＞1.

∴不存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，故D错；

当a＝e＋1时，f(x)＝exxe1，当b∈[0,1]时，只有b＝1时，f(x)才有意义，而f(1)＝0，

∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故B，C错．故选A．

第二部分(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．(2013四川，文11)lg5lg20的值是__________．

12．(2013四川，文12)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO.则λ＝__________.

a13．(2013四川，文13)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则

xa＝__________.

π14．(2013四川，文14)设sin 2α＝－sin α，α∈,π，则tan 2α的值是__________．

215．(2013四川，文15)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是__________．

11．答案：1

解析：lg5lg20lg(520)lg1001. 12．

答案：2

解析：由平行四边形法则知AB＋AD＝AC＝2AO， ∴λ＝2.

13．答案：36

aaaa解析：由基本不等式可得4x＋≥24x＝4a，当且仅当4x＝即x时等号成立，

x2xxa3，a＝36. 214．答案：3

∴

π解析：∵sin 2α＝－sin α，α∈,π，

22013 四川文科数学 第4页

1∴2sin αcos α＝－sin α，cos α＝.

2π∵α∈,π，

22π4π∴，2.

334π∴tan 2α＝tan＝3. 315．答案：(2,4)

解析：由题意可知，若P为平面直角坐标系内任意一点，则 |PA|＋|PC|≥|AC|，等号成立的条件是点P在线段AC上； |PB|＋|PD|≥|BD|，等号成立的条件是点P在线段BD上，

所以到A，B，C，D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点． 直线AC方程为2x－y＝0，直线BD方程为x＋y－6＝0， 2xy0,x2,∴解得 xy60,y4.即所求点的坐标为(2,4)．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(2013四川，文16)(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．

解：设该数列的公比为q，由已知，可得

a1q－a1＝2,4a1q＝3a1＋a1q2，

所以，a1(q－1)＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1. 由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去． 故公比q＝3，首项a1＝1.

3n1所以，数列的前n项和Sn＝.

2

17．(2013四川，文17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

3且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝.

5(1)求sin A的值；

(2)若a42，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．

3解：(1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝，得

53cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝.

533则cos(A－B＋B)＝，即cos A＝.

554又0＜A＜π，则sin A＝.

52013 四川文科数学 第5页

ab， sinAsinBbsinA2所以，sin B＝. a2π由题知a＞b，则A＞B，故B.

4(2)由正弦定理，有根据余弦定理，有

3(42)2＝52＋c2－2×5c×，

5解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．

故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝

2. 218．(2013四川，文18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)．

(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表(部分) 运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值 次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值 次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

解：(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．

当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出

y的值为1，故P1＝

1； 2当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝

1； 31. 6当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝所以，输出y的值为1的概率为

11，输出y的值为2的概率为，输232013 四川文科数学 第6页

出y的值为3的概率为

1. 6(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下： 输出y的值 输出y的值 输出y的值 为1的频率 为2的频率 为3的频率 甲 乙 1027 21001051 2100376 2100696 2100697 2100353 2100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．

19．(2013四川，文19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

1(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，其

3中S为底面面积，h为高)

解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线∥BC，

因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内， 由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC． 由已知，AB＝AC，D是BC的中点， 所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD． 因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交， 所以直线l⊥平面ADD1A1. (2)过D作DE⊥AC于E，

因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.

又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C．

由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°， 所以在△ACD中，DE＝又SA1QC1＝

33AD＝. 221A1C1·AA1＝1， 213311所以VA1QC1D＝VDA1QC1＝DE·SA1QC1＝. 32632013 四川文科数学 第7页

因此三棱锥A1－QC1D的体积是

3. 6

20．(2013四川，文20)(本小题满分13分)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点． (1)求k的取值范围；

211(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且，请将n表示为m的函数． |OQ|2|OM|2|ON|2解：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中，得 (1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)

由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0，得k2＞3. 所以，k的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)．

(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)， 则|OM|2＝(1＋k2)x12，|ON|2＝(1＋k2)x22， 又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2.

211由，得 222|OQ||OM||ON|211，

1k2m21k2x121k2x22211x1x222x1x2即222. 22mx1x2x1x28k12由(*)式可知，x1＋x2＝，xx＝， 12221k1k36所以m22.

5k3因为点Q在直线y＝kx上，

n36所以k，代入m22中并化简，得5n2－3m2＝36.

m5k336由m22及k2＞3，可知0＜m2＜3，即m∈(3，0)∪(0，3)．

5k3根据题意，点Q在圆C内，则n＞0， 363m215m2180所以n. 5515m2180于是，n与m的函数关系为n(m∈(3，0)∪(0，3))．

52013 四川文科数学 第8页

x22xa,x0,21．(2013四川，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝其中a是实数，

lnx,x0,设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2. (1)指出函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)， 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1. 当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2. 因为x1＜x2＜0，所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1. 所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.

1因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]

2≥[2x12]2x22＝1.

31(当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1且x2时等号成立)

22所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.

(3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.

当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x12＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x12＋a.

当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝＋ln x2－1.

两切线重合的充要条件是 12x12,① x2lnx1x2a.②21由①及x1＜0＜x2知，0＜

1＜2. x22211(x－x2)，即y＝·xx2x211111－1＝ln21. 由①②得，a＝ln x2＋x24x22x211令t，则0＜t＜2，且a＝t2－t－ln t，

x241设h(t)＝t2－t－ln t(0＜t＜2)，

411t123则h′(t)＝t－1－＝＜0.

2t2t2013 四川文科数学 第9页

所以h(t)(0＜t＜2)为减函数， 则h(t)＞h(2)＝－ln 2－1， 所以a＞－ln 2－1.

而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大． 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．

2013 四川文科数学 第10页