(整理)第三章ARMA实验报告

第三章 平稳时间序列建模实验报告

下表为1980-2012年全国第三产业增加值指数（上年=100）的数据。

表3-1 1980-2012年全国第三产业增加值指数（上年=100）

年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

第三产业增加值 106 110.4 113 115.2 119.3 118.2 112 114.4 113.2 105.4 102.3 108.9 112.4 112.2 111.1 109.8 109.4 年份 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 第三产业增加值 110.7 108.4 109.3 109.7 110.3 110.4 109.5 110.1 112.2 114.1 116 110.4 109.6 109.8 109.4 108.1 资料来源：国家统计局网站

根据以上数据，下面用Eviewis6.0对1980-2012年我国第三产业增加值指数的年度数据建立ARMA（p ,q）模型，并利用此模型进行数据预测。

以下将分为时间序列预处理、模型识别、参数估计、模型检验、模型优化和模型预测六个部分进行具体分析。 一、时间序列预处理

（一）平稳性检验

根据序列时序图和散点图以及序列相关图，判断序列是否为平稳序列，最后用单位根检验图像判断是否准确。若为平稳序列则可对其进一步进行分析处理，进而建立模型。

1．时序图检验

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在数据窗口中，按路径“View\\Graph”选择Line @ Sybol，做序列时序图，看序列是否随时间随机波动没有明显的趋势和周期性波动，如果没有，则可以认为序列平稳。

图3-1 时序图

2．散点图

在数据窗口，按路径“View\\Graph”选择Dot Plot,做序列散点图如下：

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图3-2 散点图

通过观察时序图和散点图发现序列没有明显的趋势变动和周期变动，数值在110上下小范围波动，可初步确定其为平稳序列。 3．自相关图检验

图3-3 序列相关图

自相关图中显示，自相关系数和偏自相关系数一阶之后都基本控制在两倍标准差之内，基本可以看做接近于0，得出序列应为平稳序列。 4．单位根检验

通过以上的直观判断后，得出序列为平稳序列。优于直观图判断受主观因素影响，很容易产生偏差。下面通过统计检验来进一步对其是否为统计上显著的平稳序列进行证实。

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在数据窗口，按路径“View\\Unit Root Test”,在Automatic selection中选择Akaike Info Criterion,检验结果如下表3-2所示。

从以上单位根检验结果看，P值小于0.05，拒绝原假设，认为序列为平稳的。

表3-2 单位根检验结果

Null Hypothesis: Y has a unit root Exogenous: Constant

Lag Length: 4 (Automatic based on AIC, MAXLAG=8)

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:

t-Statistic

-3.500137 -3.689194 -2.971853 -2.625121

Prob.* 0.0156

Coefficient

-0.764592 0.556963 -0.016350 0.284810 0.220422 84.57040

Std. Error

0.218446 0.194090 0.216951 0.169736 0.178639 24.28123

t-Statistic

-3.500137 2.869608 -0.075365 1.677957 1.233895 3.482954

Prob. 0.0020 0.0089 0.9406 0.1075 0.2303 0.0021

-0.400000 2.897892 4.594961 4.880434 4.682233 2.157749

1% level 5% level 10% level

*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(Y) Method: Least Squares Date: 05/12/14 Time: 19:25 Sample (adjusted): 1985 2012

Included observations: 28 after adjustments

Variable Y(-1) D(Y(-1)) D(Y(-2)) D(Y(-3)) D(Y(-4)) C

R-squared

0.533775 Mean dependent var 0.427815 S.D. dependent var 2.192050 Akaike info criterion 105.7119 Schwarz criterion -58.32946 Hannan-Quinn criter. 5.037502 Durbin-Watson stat 0.003165

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

（二）纯随机性检验

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1.自相关图检验

样本自相关图虽然显示序列没有一个自相关系数严格等于零，但是这些自相关系数确实比较小，而且在零值附近以小幅度随机波动，粗略可看做是纯随机序列。

图3-3 序列相关图

2.统计量检验

表3-2 Q统计量检验结果

延迟 延迟6期 延迟12期 Q统计量检验 Q统计量值 23.521 27.958 P值 0.001 0.006 在序列相关图中，Q统计量大于相应分位点，或者该统计量的P值小于0.05时可以以0.95的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列；否则，接受原假设，认为该序列为纯随机序列。在图3中结果显示，Q统计量足够大而且

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P统计量足够小，满足拒绝原假设的条件，则该序列为非白噪声序列。 二、模型识别

由图3可以看出，偏自相关系数在K=2后全部接近为0落入2倍标准差范围以内，可以判断其偏自相关系数明显2阶截尾，可尝试用AR（2）进行拟合。

自相关系数在K=1之后基本都落在2倍标准差范围内，可判断其为自相关系数1阶截尾，可尝试用MA（1）进行拟合。

而自相关系数开始逐渐变化，且后边还有接近甚至稍大于两倍标准差的，故也可以判断其拖尾。同时偏自相关系数相对于0而言也还有一定的差距，故后面对AR(2)、MA(1)以及（2,1）分别进行考虑。 三、参数估计

对同一个平稳序列常常可以建立多个适合的模型如AR(p)、MA（q）以及ARMA(p,q)。多模型均通过检验时，考虑模型的简约原则，选择AIC和SC值比较小的即信息提取量大未知量少的，作为最佳的拟合模型。以下分别用AR(2)、MA(1)和ARMA(2,1)对序列进行拟合，并对结果进行分析比较，得出最佳的拟合模型。

（一）尝试AR模型

在主窗口中输入LS Y AR(1) AR(2),其中AR(i)表示自回归系数，得到如下结果，即得模型估计结果和相关统计量。

表3-3 AR(2)模型结果

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/18/14 Time: 11:22 Sample (adjusted): 1982 2012

Included observations: 31 after adjustments Convergence achieved after 3 iterations

Variable C AR(1) AR(2)

R-squared

Coefficient

110.9714 0.880198 -0.407872

Std. Error

0.851824 0.170630 0.164972

t-Statistic

130.2750 5.158531 -2.472363

Prob. 0.0000 0.0000 0.0198

111.1226 3.387694 4.759561 4.898334

0.493065 Mean dependent var 0.456856 S.D. dependent var 2.496674 Akaike info criterion 174.5346 Schwarz criterion

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid

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Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

Inverted AR Roots

-70.77320 Hannan-Quinn criter. 13.61698 Durbin-Watson stat 0.000074

.44-.46i

.44+.46i

4.804798 1.881436

由以上结果P值均小于0.05,可得AR(1)、AR(2)均高度显著，得出模型如下：

Y110.97141e 2t10.880198*B(0.407872)*B（二）尝试MA模型

在主窗口中输入LS Y C MA(1),得到如下结果，即得到模型估计结果和相关统计量。

表3-4 MA(1)模型结果

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/18/14 Time: 12:23 Sample: 1980 2012 Included observations: 33

Convergence achieved after 35 iterations MA Backcast: 1979

Variable C MA(1)

R-squared

Coefficient

110.9126 0.745171

Std. Error

0.758292 0.115427

t-Statistic

146.2663 6.455746

Prob. 0.0000 0.0000

110.9455 3.400468 4.734865 4.825563 4.765382 1.559567

0.473381 Mean dependent var 0.456393 S.D. dependent var 2.507154 Akaike info criterion 194.8605 Schwarz criterion -76.12528 Hannan-Quinn criter. 27.86610 Durbin-Watson stat 0.000010

-.75

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

Inverted MA Roots

由以上结果P值小于0.05可得，MA(1)系数高度显著，得到的自回归模型如下：

Y = 110.9126 + (1-0.745171B)et

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MA(1)模型与AR(2)模型相比，AICA和SC的值相差无几，MA（1）模型略小。可决系数和修正的可决系数也十分相似。故将其综合考虑进行ARMA(2，1)模型拟合。

（三）尝试ARMA(2，1)模型

在主窗口中输入LS Y C AR(1) AR(2) MA(1)，得到如下结果，即得模型估计结果和相关统计量。

表3-5 ARMA(2，1)模型结果

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/18/14 Time: 11:46 Sample (adjusted): 1982 2012

Included observations: 31 after adjustments Convergence achieved after 23 iterations MA Backcast: 1981

Variable C AR(1) AR(2) MA(1)

R-squared

Coefficient

111.0143 0.508232 -0.191375 0.492989

Std. Error

0.964788 0.337814 0.276312 0.318201

t-Statistic

115.0660 1.504472 -0.692605 1.549299

Prob. 0.0000 0.1441 0.4945 0.1330

111.1226 3.387694 4.767890 4.952920 4.828205 1.970767

0.520764 Mean dependent var 0.467515 S.D. dependent var 2.472054 Akaike info criterion 164.9983 Schwarz criterion -69.90229 Hannan-Quinn criter. 9.779872 Durbin-Watson stat 0.000154

.25+.36i -.49

.25-.36i

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

Inverted AR Roots Inverted MA Roots

由以上结果可知P值均大于0.05，各系数均不显著，该模型不适合拟合ARMA(2，1)模型。 四、模型优化

经过以上分析，对同一个平稳序列可以建立多个适合模型AR(2)和MA（1）。比较AIC和SC的值，以及综合考虑其他检验统计量，考虑模型的简约原则，选择AIC和SC值比较小的，即MA(1)。

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表3-6 AIC准则和SBC准则比较

模型 AR(2) MA(1) 四、模型检验

AIC 4.759561 4.734865 SBC 4.898334 4.825563 参数估计后，对拟合模型的适应性进行检验，即对模型残差进行白噪声检验。若残差序列不是白噪声，说明还有重要信息没被提取，则模型的拟合不是显著有效，应重新设定模型。

用Eviews作残差序列相关图，在MA(1)模型结果窗口，按以下路径“View\\Residual Tests\\Correlogram-Q-statistics”,点OK按钮，得到MA(1)模型的残差相关图。

图3-4 残差序列相关图

残差相关图显示，P值均大于0.05，残差为白噪声，说明拟合模型显著有效，具体数值如下表。

表3-7 残差序列白噪声检验 延迟阶数 6 12 精品文档

Q统计量的值 7.5105 14.904 P值 0.185 0.187 结论 拟合模型 显著有效 精品文档

五、模型预测

设置样本期时为1980至2014。在方程估计窗口点击Forecast。动态预测结果为一条直线，效果不好，故在此选择静态预测方法进行预测。

（一）点预测

软件默认将预测值放入yF中。经过向前一步预测，y的未来1期预测值为77.7，未来2期预测值为80.5.

（二）区间预测

图中蓝色折线代表YF即预测值,两条红线表示预测区间。

图3-5 序列预测图

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