电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第5章习题解答

第5章习题解答

5.2 已知空气填充的矩形金属腔abc(a,b,c分别为腔体在x,y,z方向的长度)中的电场强度复矢量为

πxπzsinac

EeyE0sin试求腔中的磁场强度复矢量H及其各个内表面上的面电流密度JS和面电荷密度S(设金属为理想导体)。

解：腔中的磁场强度复矢量为

ex11HEj0j0xExeyyEyez1zj0Ezexx0ey0Eyezz0EyEyπE011πE0πxπzπxπzexezesincosecossinxzjj0zxcacaac0

πE0j0cπxa

E0enezz0矩形金属腔内的下表面，，，z0，

Hz0exsin面电流密度

JSenHz0eyπE0j0csinπxa

面电荷密度

SenDz0en0E0z0

πyjzeb。求该媒质中的

5.3 已知某一理想介质E,D,H,B和。

40,50,0中的位移电流复矢量为

JdexJ0sin 1

解：媒质中的电位移矢量为

DJdJπyex0sinejzjjb

媒质中的电场强度为

EDexJ0πysinejzj40b

媒质中的磁场强度为

ex11HEj50j50xEx1eyyEyezex10zj50EzExeyy0ezz0ExExπJ01πyjzπyjzeeejJsineecoseyz0zx2j50zy2000bbb

πJ0πyjzπyjzejJsineecose0zx420bbb 1媒质中的磁感应强度为

BH50H媒质中的电荷密度为

DexDyDxDzeyez0xyz

5.4 已知空气填充的同轴线内外导体之间的磁场强度为

He1cos108πtzπ (A/m)

同轴线的内外导体半径分别为a1mm，b4mm。试确定值，并求该同轴线中的E及其内导体柱表面的总电流I(设导体为理想的)。

1解：将H写成复数形式为

Heejz

由复数形式的麦克斯韦方程组求出电场为

2

E1jHHHz1(H)1HezzH1(H)ezzHejzez 1HzHze1ej1ej1ej内导体表面的电流密度为

JSenH|aeH|aee1jz1jzeezeaa

jzI2a|J|2e总电流为

利用麦克斯韦方程组的方程EjH可以求出磁场的表达式，然后再将其与已知的磁场表达式比较就可以得到。

22HH0得到或者直接将已知的磁场表达式代入空气填充的同轴线中磁场所满足亥姆霍兹方程

。

5.7 半径为a的圆形平板电容器，内填理想介质，间距为d，极板上充有缓慢变化的电荷qq0cost。假定极板间的电场为均匀的，试求任一处的E和H，并证明位移电流的总量就等于电容器的充电电流。

q0qcost22πaπa

解：平板电容器的一面的面积为πa，则电容器上的电荷密度为

2利用高斯定理，电容器内的电位移为

Dq0cost2πa

电场强度为

Eq0cost2πa

3

由于轴对称性，两极板间的磁场只有分量，且以z轴为中心、r为半径的圆周l上处处相等。因此，e利用积分形式麦克斯韦方程组的第一个公式可以得到

DlHdlStdS

即

2πrH2q0πrπa2sint

r因此

Hq02πa2sint

dD位移电流密度为

Jddtq0πa2sint

因此位移电流为

Idπa2q0πa2sintq0sint

电容器的充电电流为

Idqdtq0sintId

5.9 证明洛仑兹条件与电流连续性方程是一致的。

证明：对洛仑兹条件

At两边进行2运算，可得

2A2t考虑到

2A2A2，有 At2

2将位函数的波动方程2AA22t2J和

t2代入上式可得 4

2A22J2ttt

22Att即

Jt 再一次利用洛仑兹条件，便可以得到电流连续性方程，即

J0t

由此可见洛仑兹条件与电流连续性方程是等效的。

5.12 由理想导体构成的矩形谐振腔，沿着x,y,z三个坐标轴方向的各边长分别为a,b,c，内部为空气。已知腔内的矢量磁位为度。

AezA0sinπxπyπzsincosabc。试求腔体内的电场强度和磁场强度以及内壁上的面电流密

解：腔体内的磁场强度的复振幅

ex11H(z)(A)00xAxeyyAyez1z0Azexx0eyy0ezzAzπA0πA0Az1Azπxπyπzπxπyπzeeesincoscosecossincosxyy0xyx0babc0aabc

腔体内的电场强度的复振幅

5

exeyezE(z)1H(z)1eHyj0j0xyz1jxzeHxHyHxy0zezxyHxHyHzeπ2A0jcosπxasinπybsinπzceπ2A0πxπyπzxyjsincossin00ac00bcabceπ2A011πxπyπzzj2sinsincos00a2babc

矩形金属腔内的下表面，z0，eeπA0πxπyπAπxπyxnez，

Hz0sinacosbe0yacosasin0b0b

面电流密度

JA0SenHz0eπxacosπxasinπybeπA0πxπyysincos00bab

5.13 已知真空中时变场的矢量磁位为

AexA0costkz

试求：（1）电场强度的复矢量和磁场强度的复矢量；（2）坡印廷矢量的平均值。

解：（1）矢量磁位的复数形式为 A(z)exAjkz0e

exeyezH(z)11kz(A)ze1AxkA00xyye0yjej0z0磁场强度复振幅

AxAyAz

磁场强度的瞬时值为

H(z,t)ekA0cos(tkzπy)02

由于在真空中J0，电场强度复振幅为

6

exeyezE(z)1H(z)11Hyk2A0jkzj0j0xyzexjzexje000HxHyHz

电场强度的瞬时值为

E(z,t)ek2A0cos(tkzπx2)00

k3A2202（2）瞬时坡印廷矢量为 SEHeπk3A02πxey2cos(tkz)0ez2cos(tkz)02002坡印廷矢量的平均值为

S1TT0SdtRe(S)1*k3A20av2Re(EH)ez2200 5.14 已知自由空间时变电磁场的磁场强度为

HeyH0sintkz

试求：（1）电场强度E；（2）坡印廷矢量及其平均值。

解：（1）磁场强度的复振幅

H(z)ejkzjkzyH0eejπ/2eyjH0e

电场强度的复振幅

exeyezE(z)11jH(z)e1HyzekH0kz0j0xyzxjxjej00HxHyHz

电场强度的瞬时值为 E(z,t)RejtE(z)ekH0

exsintkz0

7

（2）瞬时坡印廷矢量

SEHez2kH00sin2tkz

22kH0kH01TSavSdtRe(S)ReezezT02200坡印廷矢量平均值

5.15 在理想导体与空气的分界面(xOy平面)的上部(z0)存在着时谐电磁场，已知EexE0sinkz，试求：（1）磁场强度复矢量H；（2）导体表面的JS。

解：（1）磁场强度复矢量为

ex11HEj0j0xExey1eyyEyezex10zj0ExEzey00ezz0ExkE0eycoskzj0zj0

（2）导体表面上，z0，enez，

Hz0eykE0j0，因此

JSenHz0exkE0j0

5.16 已知无限大导电媒质中的电磁波为

HeyH0ezcostzyEexE0ezcostzx，

式中的

E0,H0,,,,x,y均为已知。试写出电场强度和磁场强度的复振幅以及瞬时坡印廷矢量和平均

坡印廷矢量，并求此电磁波的波阻抗。

8

zjzjxE(z)eEeee x0解：电场强度的复振幅

磁场强度的复振幅

H(z)eyH0ezejzejy

瞬时坡印廷矢量

SEHeze2zcostzxcostzy

坡印廷矢量平均值

Sav1T112zSdtReSReE(z)H(z)eEHecosxyz00T022

电磁波的波阻抗

ZwE0ezejzejxH0ezejzejyE0jxyeH0

15.20 试证明，若仅考虑远区场，设电流沿着z轴方向流动，且轴对称分布，则

H1HA可简化成

sinAzr。

rrrrrcos证明：由于仅考虑远区场，所以有

对于幅度对于相位

其中

rcossincoszcos

于是可得

9

JreAr4πVrr0jkrrdVez0ejkr4πrJ,zeVjkrcosdVez0ejkr4πr0ejkrezfezAzr,erAzr,coseAzr,sin4πr

VJ,zejksincoszcosdV代入球面坐标系中旋度的计算公式得到

也即 证毕。ereeerer2sinrsinrr2sinrsinH1A1r1rArrArsinAAzr,zcosrAzr,zsin1errrAzr,zsinAzr,zcos1eAzr,zrAzr,zsinrsinrcosAzr,zAsinzr,ze1AzsinrH1sinAzr

er0

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