初三相似三角形地基本模型

精锐教育学科教师辅导讲义

授课 类型 T (相似三角形的基本类型。) C （专题方法主题） T （学法与能力主题） 授课日 期时段 教学内容 一、同步知识梳理 知识点1：相似证明中的基本模型 AAEDFAEEIADEFDBBCBCGCBDHGC ABOABOAEBAFBECDCDCFDCD AAOBCBCDDEBCEDBCAAEHD 文案

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AAEACBDCBCDBDCADB ADEBCFBGDEADEFBCFBAGDEFACGC ADFGDAFHGDFBMPBECBECECBHECADAFN 知识点2：相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等． BDAB如图：AD平分BAC交BC于D，求证：． DCACEA123BDC证法一：过C作CE∥AD，交BA的延长线于E． ∴1E，23． ∵12，∴3E．∴ACAE． BDBABA∵AD∥CE，∴． DCBEAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型． A12BDC E 文案

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证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E． ∴12E，∴ABBE． BDBEAB∵BE∥AC，∴． DCACAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型． 知识点3：相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下： ABCHDS如图：△ABCS△ACD1BCAHBC2． 1CDCDAH2 图1：“山字”型ABHOGDC如图：S△ABCS△BCD1BCAHAHAO2． 1DGODBCDG2 图2：“田字”型AEDBC图3：“燕尾”型如图：S△ABDS△ABDS△AEDABADABAD． S△ACES△AEDS△ACEAEACAEAC 。。。。。 文案

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二、同步题型分析 题型1：与三角形有关的相似问题 例1：如图，D、E是ABC的边AC、AB上的点，且ADACAEAB，求证：ADEB. A解析： ED BC 例2：如图，在ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面积是BDE面积 的4倍，AC6，求DE的长. 解析： AEBDC题型2：相 例1：如图，AD是ABC的角平分线，求证： 似中的角平分线问题 ABBD ACCDA解析： BDC文案

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例2：已知ABC中，BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，求证： ABBDACCD 解析： ABCDAB2BM 例3：已知：AD、AE分别为ABC的内、外角平分线，M为DE的中点，求证：2 ACCMABDCME 解析： 2题型3：abc型结论的证明 例1：如图，直角ABC中，ABAC，ADBC，证明：AB2BDBC，AC2CDBC，AD2BDCD. 解析： 文案

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ABDC 例2：如图，在ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F， 求证：FD2FBFC． AEBDCF 解析： 题型4、三角形内接矩形问题 例1、 已知，如图，四边形DEGF为正方形，其中D，EC90，ABC中，AC3，BC4，在边AC，BC上，F，G在AB上，求正方形的边长． 文案

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CDEAFGB 解析： 三、课堂达标检测 检测题1：如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ） A、1∶2 B、1∶4 C、4∶9 D、2∶3 ADAGEBFCDOBE 第1题图 第2题图 C 检测题2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，SDOE∶SCOB＝4∶9，则AE∶EC为（ ） A、2∶1 B、2∶3 C、4∶9 D、5∶4 检测题3、在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝6，AC＝3，则CD的长为（ ） A、1 B、35 C、2 D、 22 答案：1、C 2、A 3、C 文案

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一、专题精讲 构造相似辅助线——双垂直模型 例1：在△ABC中，AB=三角形，求线段CD的长． ，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角答案：解：情形一： 文案

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情形二： 情形三： 例2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 文案

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答案：证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC 根据折叠可知MN⊥CP ∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90° ∴∠2=∠CNM ∵∠CDP=∠NCM=90° ∴△PDC∽MCN ∴MC：CN=PD：DC ∵PD=DA ∴MC：CN=DA：DC ∵PD//BC ∴DA：DC=PA：PB ∴MC：CN=PA：PB 方法二：如图，过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E 由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，则， 根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB 例3：已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。 文案

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构造相似辅助线——A、X字型 例4：如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证： 答案：证明：（方法一）如图 延长AE到M使得EM=AE，连接CM ∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴ △BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM ∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF ∴△MCF∽△ADF ∴ ∵CM=AB，AD=AC ∴ （方法二）文案

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过D作DG∥BC交AE于G 则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF ∴， ∵AD=AC，BE=CE ∴ 例5：四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。 求证： 答案：证明： 过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3 ∵AC平分∠DAB ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AD=DF ∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3 ∴△BEA∽△DEF ∴∵AD=DF 文案

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∴ ∵AC为AB、AD的比例中项 ∴ 即 又∵∠1=∠2 ∴△ACD∽△ABC ∴ ∴ ∴ 例6：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实： (1)当时，EF=；(2)当时，EF=； (3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明． 答案： 证明： 过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q ∵AB∥CD，PQ∥BC ∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 文案

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∴PB＝EF＝CQ， 又∵AB＝b，CD＝a ∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF ∴ ∴

例7：已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。 求BN：NQ：QM． 答案：解：连接MF ∵M是AC的中点，EF＝FC ∴MF∥AE且MF＝AE∴△BEN∽△BFM∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF∴BN：BM＝NE：MF＝1:2∴BN：NM＝1:1设NE＝x，则MF＝2x，AE＝4x∴AN＝3x∵MF∥AE∴△NAQ∽△MFQ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2∴BN：NQ：QM＝5:3:2 文案

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相似类定值问题 例8：如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F． 求证：． 答案：证明： 如图，作DP∥AB，DQ∥AC 则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形 ∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ ∵M、N分别是边AB，AC的中点 ∴MN＝BC＝PQ ∵DP∥AB，DQ∥AC ∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC ∴， ∴ ∵DP＝DQ＝PQ＝BC＝AB ∴AB（）＝ ∴ 文案

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例9：已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。 求证：． 答案：证明：∵EF//AB，AB//DC ∴EF//DC ∴△AOE∽△ACD，△DOE∽△DBA ∴， ∴ ∴ 例:10：如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。 求证：． 答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB ∴∵，， ∴△AFE∽△ADC，△CEH∽△CAB ∴∵EF＝EH 文案

， 标准

∴ ∴ 例11：已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC ∴∵，， ． ∴△BFE∽△BCA，△AED∽△ABC ∴， ∴∵EF＝DE＝a ∴ 文案

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一线三角等题型： BC3，P是线段AD边上的任意例12（2010年绍兴中考）如图，已知在矩形ABCD中，AB2，一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PEPC交AB于E． （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QCQE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围． 解：（1）假设存在这样的点Q； ∵PE⊥PC， ∴∠APE+∠DPC=90°， ∵∠D=90°， ∴∠DPC+∠DCP=90°， ∴∠APE=∠DCP， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△APE∽△DCP， ∴=， ∴AP•DP=AE•DC； 同理可得AQ•DQ=AE•DC； ∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3﹣AQ）=AP•（3﹣AP）， ∴3AQ﹣AQ=3AP﹣AP， 22∴AP﹣AQ=3AP﹣3AQ， ∴（AP+AQ）（AP﹣AQ）=3（AP﹣AQ）； ∵AP≠AQ， ∴AP+AQ=3（2分） ∵AP≠AQ， 22文案

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∴AP≠，即P不能是AD的中点， ∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在． 当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．（1分） （2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（3﹣x）=2y， ∴y=x（3﹣x）=﹣x+x=﹣（x﹣）+， ∴当x=（在0＜x＜3范围内）时，y最大值=； 而此时BE最小为， 又∵E在AB上运动，且AB=2， ∴BE的取值范围是≤BE＜2．（2分） 22 例13（2012年宁夏中考）在矩形ABCD中，AB2，AD3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作APPE，垂足为P，PE交CD于点E． （1） 连接AE，当APE 与ADE全等时，求BP的长； （2） 若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ （3） 若PE∥BD，试求出此时BP的长． 解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知）， ∴AP=AD=3（全等三角形的对应边相等）； 在Rt△ABP中，BP= 文案

==（勾股定理）； 标准

（2）∵AP⊥PE（已知）， ∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°， ∴∠APB=∠PEC， 又∵∠B=∠C=90°， ∴Rt△ABP∽Rt△PCE， ∴∴即=（相似三角形的对应边成比例）， ∴当x=时，y有最大值，最大值是； （3）如图，连接BD．设BP=x，∵PE∥BD， ∴△CPE∽△CBD， ∴（相似三角形的对应边成比例）， 即2 化简得，3x﹣13x+12=0 解得，x1=，x2=3（不合题意，舍去）， ∴当BP=时，PE∥BD． 例14（2012年宜宾中考）如图，在ABC中，已知ABAC5，BC6，且ABC≌DEF ，将DEF 与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：ABE∽ECM ； （2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积． 文案

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（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF=∠B， 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE， ∴∠CEM=∠BAE， ∴△ABE∽△ECM； （2）能． 解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF， ∴AE≠AM； 当AE=EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE=AB=5， ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1， 当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM， 即∠CAB=∠CEA， 又∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴∴CE=∴BE=6﹣=， ， ； 若AE=AM，此时E点与B点重合，M点与C点重合，即BE=0． ∴BE=1或或0． （3）解：设BE=x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴即：文案

， ， 标准

∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）+， 22∴AM=5﹣CM═（x﹣3）+∴当x=3时，AM最短为又∵当BE=x=3=BC时， ∴点E为BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴AE=此时，EF⊥AC， ∴EM==， =4， ， ， S△AEM= 二、专题过关 【题1】 如上图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F.证明：111. ABCDEFAEBC DF答案：(BF+DF)/DF=AB/EF 1 BF/DF+1=AB/EF (BF+DF)/BF=CD/EF 2 DF/BF+1=CD/EF 1推出 BF/DF=(AB-EF)/EF 代入2 EF/(AB-EF)+1=CD/EF =》 AB/(AB-EF)=CD/EF => 1- EF/AB =EF/CD => 1= EF(1/AB+1/CD) => 1/EF= 1/AB+1/CD 文案

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【题2】 如图，已知AB//EF//CD，找出SABD、SBED、SBCD之间的关系，并证明你的结论. 答案：1/S△BDE=1/S△ABD+1/S△BDC 以A E C三点坐高于BD 三条高依然存在1题中关系 共用底边BD 高的比等于面积比。 【题3】 （2012年成都中考）如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，将DEF绕点E旋DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合．转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPE≌CQE ； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPE∽CEQ；并求当9BPa，CQa时，P、Q 两点间的距离 （用含a的代数式表示）． 2 解：连接PQ， ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∵∠B=∠C=45°， 文案

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∴△BPE∽△CEQ， ∴=， ，BE=CE， ∵BP=a，CQ=∴=， ∴BE=CE=a， ∴BC=3a， ∴AB=AC=BC•sin45°=3a， ∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a， 在Rt△APQ中，PQ==a． 三、学法提炼 1、专题特点：从基本图形入手，能顺利找出解题问题的思路和方法，能帮我们尽快找到添加的辅助线。 2、解题方法：寻找适当的辅助线，方法有平行型（A、X型）、相交线型、双垂型及一线三角等。 3、注意事项 ：在解题过程中要注意比例的基本性质的运用，即等积变换、等比代换、等线代换。

文案

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一、 能力培养 综合题1：（1）如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．求证：PQ·PR = PS·PT （2）如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ·PR = PS·PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）； 答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DRP=∠S，∠RDB=∠DBS ∴△DRP∽△BSP ∴ 同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB ∴ ∴∴ （2）证明：成立，理由如下： 在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠PRD=∠S，∠RDP=∠DBS ∴△DRP∽△BSP ∴ 同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB ∴ ∴ 文案

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∴ 综合题2：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP＝PE·PF ． 2 答案：证明:∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC,BP=CP ∴∠1=∠2 又∵∠ABC=∠ACB ∴∠3=∠4 ∵CF∥AB ∴∠3=∠F,∠4=∠F 又∵∠EPC=∠CPF ∴△EPC∽△CPF ∴∴BP＝PE·PF 即证所求 2 综合题3：如图，已知△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证： DE=EG•EH 2 文案

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答案：证明：∵DE⊥AB ∴∵∴∵∴△ADE∽△DBE ＝90° ＝90° ∴2 ∴DE=AE·BE ∵BF⊥AC ∴∵∴∵∴△BEG∽△HEA ＝90° ＝90°且 ∴∴2 ＝ ∴DE=EG·EH 综合题4：已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H. 求证： PEPH PFPG 文案

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答案：证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6 ∴△PAH∽△PCG ∴ 又∵∠3=∠4 ∴△APE∽△CPF ∴ ∴ 综合题5：已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD＝AD·DH 。 2 答案：证明：如图，连接BH交AC于点E， 文案

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∵H为垂心 ∴BE⊥AC ∴∠EBC+∠BCA=90° ∵AD⊥BC于D ∴∠DAC+∠BCA=90° ∴∠EBC=∠DAC 又∠BDH=∠ADC=90° ∴△BDH∽△ADC ∴BDAD，即BDDCADDH DHDC∵∠BPC为直角，AD⊥BC 2∴PD＝BD·DC 2∴PD＝AD·DH 综合题6：已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。 求证：ACCFBCDF 证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点 ∴CE=EB=DE ∴∠B=∠BDE=∠FDA ∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90° ∴∠B=∠ACD ∴∠FDA=∠ACD ∵∠F=∠F ∴△FDA∽△FCD ∴FDAD FCCD∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD ∴△ACD∽△CBD ADAC CDBCFDAC∴ FCBC即ACCFBCDF ∴ 综合题7：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E. 文案

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求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AECMACCD 答案：证明：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90° ∴∠A＋∠ACD＝90° ∠BCM＋∠ACD＝90° ∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD ∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD ∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH ∴∠ADE＝∠CMB ∴△AED∽△CBM AEAD，即AECMADCB CBCM故只需证明ACCDADCB即可 （2）由上问可知：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC ∴△ACD∽△ABC ADCD，即ACCDADCB ACBC∴AECMACCD ∴ 综合题8：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. （1）求证：FDFBFC. （2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由. 2 答案：（1）将结论写成比例的形式，∠F） 文案

，可以考虑证明△FDB∽△FCD（已经有一个公共角标准

Rt△ACD中，E是AC的中点 ∴DE=AE ∴∠A=∠ADE ∵∠ADE=∠FDB ∴∠A=∠FDB 而∠A+∠ACD=90° ∠FCD+∠ACD=90° ∴∠A=∠FCD ∴∠FCD=∠FDB 而∠F=∠F ∴△FBD∽△FDC ∴2 ∴FDFBFC （2）判断：GD与EF垂直Rt△CDB中，G是BC的中点， ∴GD＝GB ∴∠GDB=∠GBD而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB（1的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90° ∴GD⊥EF 综合题9：如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：ANDNCNMN． 答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，∠ADC=∠GDE=90°，则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在和中 ∴≌ 则∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND ∴△ANM∽△CND 文案

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则 ∴ANDNCNMN 综合题10：如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。 求证：（1）DGBGCG；（2）BGCGGFGH 2 答案：证明：找模型。 （1）△BCD、△BDG，△CDG构成母子型相似。∴△BDG∽△DCG ∴2 ∴DGBGCG （2）分析：将等积式转化为比例式。 BGCGGFGHBGGF GHCG∵∠GFC=∠EFH，而∠EFH+∠H=90°，∠GFC+∠FCG=90° ∴∠H=∠FCG 而∠HGB=∠CGF=90° ∴△HBG∽△CFG BGGF GHCG∴BGCGGFGH ∴ 综合题11：.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上． （1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE； （2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论． 文案

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答案：（1）证明：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB∴∠NEC＝∠EMB又∵∠B=∠C∴△BEM∽△CNE （2）△COE∽△EON证明：∵∠OEN=∠C＝45°，∠COE＝∠EON∴△COE∽△EON 综合题12：如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP：PQ：QR． 解：（1）△BCP∽△BER，△CQP∽△DQR， △ABP∽△CQP，△DQR∽△ABP （2）∵AC∥DE ∴△BCP∽△BER ∴ ∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 ∴AD=BC，AD=CE ∴BC=CE，即点C为BE的中点 ∴又∵AC∥DE ∴△CQP∽△DQR ∴ ∵点R为DE的中点 文案

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∴DR=RE ∴ 综上：BP：PQ：QR＝3：1：2 综合题13：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证： AEAC AFAB 答案：证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB ∴△ADB∽△AED ∴ ∴AD²＝AEAB 同理可证：AD²＝AFAC ∴AEAB＝AFAC 即 AEAC AFAB 二、 能力点评 在解决综合性的问题时能将复杂图形划分为几个基本类型，并要注意数形结合思想和分类讨论思想及方程思想的应用。 学法升华 一、 知识收获 1、相似证明中的基本模型 文案

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AAEDFAEEIADEFDBBCBCGCBDHGC ABOABOAEBAFBECDCDCFDCD AAOBCBCDDEBCEDBCAAEHD AAEACBDCBCDBDCADB ADEBCFBGDEADEFBCFBAGDEFACGC ADFGDAFHGDFBMPBECBECECBHECADAFN 2：相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等． 文案

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二、 方法总结 （1）梅涅劳斯定理 梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理． 梅涅劳斯定理：X、Y、Z分别是△ABC三边所在直线BC、CA、AB上的点．则X、Y、CXBZAY1． XBZAYC根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X、Y、Z三点分别都在三角形三边的延长线上． Z共线的充分必要条件是：AZbBaYcCXYZabBAcCX CXBZAY1． XBZAYC设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c．则 证明：（1）必要性，即若X、Y、Z三点共线，则CXcBZbAYaCXBZAYcba，、，三式相乘即得1 XBbZAaYCcXBZAYCbacCXBZAY1，则X、Y、Z三点共线． XBZAYCCXBZAY设直线XZ交AC于Y，由已证必要性得：1 XBZAYCCXBZAYAYAY又因为． 1，所以XBZAYCYCYC因为Y和Y或同在AC线段上，或同在AC边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y和Y比重合为一点，也就是X、Y、Z三点共线． （2）充分性，即若梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在可以求得第三个．二是证明三点共线． CXBZAY、、三个比中，已知其中两个XBZAYC（2）塞瓦定理 连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理． 塞瓦定理：从△ABC的每个顶点出发作一条塞瓦线AX，BY，CZ．则AX，BY，CZ共点的充分必要条件是BXCYAZ1． XCYAZB文案

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C'ZPBAB'YXC 充分性命题：设△ABC的三条塞瓦线AX，BY，CZ共点，则必有BXCYAZ1． XCYAZBBXCYAZ1，则XCYAZB必要性命题：设△ABC中，AX，BY，CZ是三条塞瓦线，如果AX，BY，CZ三线共点． 我们先证明充分性命题． 如图，设AX，BY，CZ相交于P点，过A作BC边的平行线，分别交BY，CZ的延长线于B，C．由平行截割定理，得BXABCYBCAZAC．上面三式两边分别相乘得：，，XCACYAABZBBCBXCYAZ1 XCYAZB我们再证明必要性命题． AZ'ZYPBXC 假设AX与BY这两条塞瓦线相交于P点，连CP交AB于Z．则CZ也是一条过P点的BXCYAZBXCYAZ△ABC的塞瓦线．根据已证充分性命题，可得1，由因为1，进而XCYAZBXCYAZBAZAZAZAZ可得．所以，因此AZAZ．所以Z与Z重合，从而CZ和CZ重合，于是ZBZBABAB得出AX，BY，CZ共点． 塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用．第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题．第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式．利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式． 三、 技巧提炼 本节常见误区有（1）相似三角形中对应边及对应角找不准。 文案

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（2）在运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似时容易把两边的夹角和其中一边的对角混淆。 （3）在确定两个三角形相似时由于对应元素的不确定可能会出现多种结论，往往考虑问题欠全面，出现漏解现象。 课后作业 一、选择题 1．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则DE的值为( ) BC 第1题图 111B． C． D． 4232．如图所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是( ) 2A． 3 第2题图 A．DE1 BC2 B．ADE的周长1 ABC的周长2ADE的周长1 ABC的周长3C．ADE的面积1 ABC的面积3D．3．如图所示，在△ABC中∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于E点，则下列结论正确的是( ) 文案

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第3题图 A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC 4．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，BC6，AC＝3，则CD长为( ) 第4题图 35B． C．2 D． 225．若P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线共有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A．1 第6题图 BFEFADDE B． DBBCBCADAEBFEFDEC． D． ECFCABBC7．如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是( ) A． A．PA·AB＝PC·PB 文案

第7题图 B．PA·PB＝PC·PD 标准

C．PA·AB＝PC·CD D．PA∶PB＝PC∶PD 8．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件 ①∠B＋∠DAC＝90° 2③CD：AD＝AC：AB ④AB＝BD·BC 其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 9．如图9所示，身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为______． 第8题图 ②∠B＝∠DAC 图9 10．如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且于E点，则AE1，射线CF交ABEB6AF等于______． FD 第10题图 211．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，若△AED的面积是4m，则四边形DEBC的面积为______． 第11题图 文案

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12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______． 三、解答题 13．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1． (1)求证：△ABD∽△CBA； (2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长． 14．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长． 15．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点． (1)求∠D的度数； 2(2)求证：AC＝AD·CE． 16．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°． (1)求证：△ABD∽△DCE； (2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式； (3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 文案

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17．已知：如图，△ABC中，AB＝4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连结DC，设△ABC的面积为S，△DCE的面积为S′． (1)当D为AB边的中点时，求S′∶S的值； (2)若设ADx, 参考答案： 1．C． 2．D． 3．C． 4．C． 5．C． 6．C． 7．B． 8．A． Sy,试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围． S129．4．8m． 10． 11．21m． 12．5∶4． 313．(1)ABBD,ABDCBA，得△HBD∽△CBA； CBBA(2)△ABC∽△CDE，DE＝1.5． 14．313cm.提示：连结AC． 15．提示：(1)连结OB．∠D＝45°． (2)由∠BAC＝∠D，∠ACE＝∠DAC得△ACE∽△DAC． 16．(1)提示：除∠B＝∠C外，证∠ADB＝∠DEC． (2)提示：由已知及△ABD∽△DCE可得CE2x1.(其中0x2xx2.从而y＝AC－CE＝x2－ 2)． (3)当∠ADE为顶角时：AE22.提示：当△ADE是等腰三角形时， △ABD≌△DCE．可得x21. 当∠ADE为底角时：AE17．(1)S＇∶S＝1∶4； 文案

1 2标准

x21x(0x4). (2)y164

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