题型一 点与圆的位置关系
例 1 [2017·大冶校级月考]若⊙O的半径为5 cm，平面上有一点A，OA＝6 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( A ) A．点A在⊙O外 C．点A在⊙O内
B．点A在⊙O上 D．不能确定
【解析】 ∵⊙O的半径为5 cm，OA＝6 cm，∴d＞r，∴点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O外．
变式跟进
1．[2016·宜昌]在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图1所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，
F，G，H四棵树中需要被移除的为( A )
图1
A．E，F，G C．G，H，E
2
B．F，G，H D．H，E，F
【解析】 ∵OA＝1＋2＝5，∴OE＝2＜OA，∴点E在⊙O内；OF＝2＜OA，∴点F在⊙O内；
OG＝1＜OA，∴点G在⊙O内；OH＝22＋22＝22＞OA，∴点H在⊙O外．
题型二 垂径定理及其推论
例 2 如图2，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为( D ) A．5 B．6 C．7
D．8
图2 例2答图
【解析】 连结OA，如答图所示．
∵⊙O的直径CD＝10，∴OA＝5，
11
∵弦AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝AB＝×8＝4，
22在Rt△AOM中，OM＝OA－AM ＝5－4＝3，
∴DM＝OD＋OM＝5＋3＝8.
【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算．
变式跟进
2．如图3，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝8，且AE∶BE＝1∶4，则AB的长度为( A )
5
A．10 B．5 C．12 D.
3
2
2
2
2
图3 第2题答图
【解析】 如答图，连结OC，设AE＝x，∵AE∶BE＝1∶4，∴BE＝4x，∴OC＝2.5x，∴OE＝1.5x，1222222
∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，Rt△OCE中，OE＋CE＝OC，∴(1.5x)＋4＝(2.5x)，∴x2＝2，∴AB＝10.
3．有一座弧形的拱桥如图4，桥下水面的宽度AB为7.2 m，拱顶与水面的距离CD的长为2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并且高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
图4 第3题答图
解：如答图，连结ON，OB. ∵OC⊥AB，∴D为AB中点，
1
∵AB＝7.2 m，∴BD＝AB＝3.6 m.
2又∵CD＝2.4 m，
∴设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，由勾股定理得r＝(r－2.4)＋3.6，解得r＝3.9.
∵CD＝2.4 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)， ∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)，
在Rt△OEN中，EN＝ON－OE＝3.9－3.5＝2.96(m)，∴EN≈1.72(m)． ∴MN＝2EN＝2×1.72＝3.44 m＞3， ∴此货船能顺利通过这座弧形拱桥．
题型三 圆周角定理的综合
例 3 [2017·市南区一模]如图5，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AOD＝58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为__61°__．
图5
【解析】 ∵∠AOD＝58°，∴∠ACD＝∠AOD＝29°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠ACD＝29°，∵
AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－29°＝61°.
【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及其推论，是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90°，从而获得到直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等．
变式跟进
4．如图6，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB＝__45°__．
图6 第4题答图
【解析】 如答图，连结OA，OB.根据正方形的性质，得∠AOB＝90°.再根据圆周角定理，得∠APB＝45°.
5．[2017·永嘉二模]如图7，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE. (1)求证：EC平分∠BED； (2)当EB＝ED时，求证：AE＝CE.
图7 第5题答图
证明：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB＝90°， ∴∠DEB＝90°.∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠BEC＝45°， ∴∠DEC＝45°.∴∠BEC＝∠DEC， 即EC平分∠BED； (2)如答图，连结BC，OE，
BE＝DE，
在△BEC与△DEC中，∠BEC＝∠DEC，
EC＝EC，
∴△BEC≌△DEC，∴∠CBE＝∠CDE.
∵∠CDE＝90°－∠A＝∠ABE，∴∠ABE＝∠CBE. ∴∠AOE＝∠COE，∴AE＝CE.
题型四 弧长的计算
︵
例 4 如图8，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中，CD，
︵︵
DE，EF，圆心依次按A，B，C…循环，它们依次相连结．若AB＝1，则曲线CDEF的长是__4π__(结果保留π)．
图8
︵120π·12π︵120π·24π︵120π·3
【解析】 CD的长是＝，DE的长是＝，EF的长是＝2π，则
1803180318024
曲线CDEF的长是π＋π＋2π＝4π.
33
变式跟进
16
6．一个扇形的半径为8 cm，弧长为π cm，则扇形的圆心角为__120°__．
3
16nπ×8
【解析】 设扇形的圆心角为n°，根据题意得π＝，解得n＝120，∴扇形的圆心角
3180为120°.
题型五 扇形的面积计算
例 5 [2016·河南]如图9，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为︵︵1
半径作OC交AB于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积是 3－π ．
3
图9 例5答图
【解析】 如答图，连结OC，AC，△OAC是等边三角形，扇形OBC的圆心角是30°，阴影部30π×2160π×2
分的面积等于扇形OBC的面积减去弓形OC的面积．S扇形OBC＝＝π，S弓形OC＝
3603360－
321122
×2＝π－3，S阴影＝π－π－3＝3－π. 43333
2
2
【点悟】 求不规则图形的面积，常转化为易解决的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．
变式跟进
427．若扇形的半径为3 cm，扇形的面积为2π cm，则该扇形的圆心角为__80__°，弧长为__
3π__cm.
【解析】 由nπ·32
14
＝2π，解得n＝80，由2π＝l×3，解得l＝π. 36023
8．如图10，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E，若DE＝1，∠C＝30°，则43
图中阴影部分的面积是 π－ ．
93
图10
【解析】 ∵∠C＝30°，DE＝1，∠DEC＝90°，∴DC＝2，∵OD∥BC，∴∠ODA＝30°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝
23
∠ODA＝30°，∴∠AOD＝120°，∴OA＝，∴S阴影＝
3
232
120π×31
360
343
－×2×＝π－. 2393
题型六 圆锥
例 6 [2017·西湖区校级三模]一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°且半径为6的扇形，则这个圆锥的底面半径为( B ) A．2 B．2 C．2.5
D．3
120π·6
【解析】 设这个圆锥的底面半径为r，根据题意，得2π·r＝，解得r＝2.
180【点悟】 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形；(2)圆锥的底面周长是其侧面展开图的弧长；(3)圆锥的母线就是其侧面展开扇形的半径．
变式跟进
9．一个圆锥的底面半径是5 cm，其侧面展开图是圆心角为150°的扇形，则圆锥的母线长为( B )
A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm 【解析】 设圆锥的母线长为l，根据题意得2π×5＝为12 cm.
过关训练
1．一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12 cm，母线长为13 cm，则圣诞帽的侧面积为( B ) A．312π cm
2
150πl，解得l＝12.即圆锥的母线长180
B．156π cm
2
C．78π cm
2
D．60π cm
2
12
【解析】 圆锥的底面周长是12×2π＝24π，则圆锥的侧面积是×24π×13＝156π(cm)．
22．[2017·连云港三模]一个滑轮起重装置如图1所示，滑轮的半径是15 cm，当重物上升15 cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为(π取3.14，结果精确到1°)( C )
图1
A．115° C．57°
【解析】 根据题意得15＝转的角度约为57°.
3．一个隧道的横截面如图2所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD＝6，则隧道的高(ME的长)为( D )
B．60° D．29°
nπ·15
180°
，解得n＝≈57°，∴OA绕轴心O按顺时针方向旋180π
图2
A．4 C．8
B．6 D．9
1
【解析】 ∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，又CD＝6，则有CM＝CD＝3，设
2
OM是x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2＋OM2，即52＝32＋x2，解得x＝4，∴EM＝5＋4＝9.
︵︵︵︵
4．[2017·大庆模拟]如图3是圆内接正方形ABCD，分别将AB，BC，CD，DA沿边长AB，BC，
CD，DA向内翻折，已知BD＝2，则阴影部分的面积为__4－π__．
图3
【解析】 由圆内接正方形的性质知，正方形的边长等于半径的2倍，∴阴影部分的面积＝(2)－[π－(2)]＝4－π.
5．[2016·贵港]如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE，若AC＝1，则线段BC在上述旋转过程中扫过部分(阴影部分)的面积π
是____(结果保留π)．
2
2
2
图4
60π·22π
【解析】 ∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴AB＝2，S扇形BAD＝＝，S360360π·1π2ππ
＝＝，则S阴影＝S扇形DAB＋S△ABC－S△ADE－S扇形ACE＝π－＝. 3606362
6．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图5所示，已知水杯的半径是4 cm，水面宽度AB是43 cm. (1)求水的最大深度(即CD)是多少？ (2)求杯底有水部分的面积(阴影部分)．
2
2
扇形CAE
图5
解：(1)∵OD⊥AB，AB＝43 cm， 11
∴BC＝AB＝×43＝23(cm)，
22
在Rt△OBC中，∵OB＝4 cm，BC＝23(cm)， ∴OC＝OB－BC＝4－（23）＝2(cm)， ∴DC＝OD－OC＝4－2＝2(cm)． ∴水的最大深度(即CD)是2 cm； 1
(2)∵OC＝2，OB＝4，∴OC＝OB，
2∴∠ABO＝30°，∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠AOB＝120°， 11
∵S△AOB＝AB·OC＝×43×2＝43，
22120π×416
S扇形OAB＝＝π，
3603
2
222
2
162
∴S阴影＝S扇形－S△AOB＝π－43 cm.
3
7．[2017·苏州一模]如图6，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E. (1)求证：△ABD≌△ECB；
︵
(2)若∠ABD＝30°，BE＝3，求CD的长．
图6
解：(1)证明：∵∠A＝90°，CE⊥BD， ∴∠A＝∠BEC＝90°. ∵BC∥AD，∴∠ADB＝∠EBC.
∵将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC， ∴BD＝BC.在△ABD和△ECB中， ∠ADB＝∠EBC，
∠A＝∠BEC，∴△ABD≌△ECB； BD＝CB，
(2)∵△ABD≌△ECB，∴AD＝BE＝3.
∵∠A＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝6，
∵BC∥AD，∴∠A＋∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝90°，∴∠DBC＝60°， ︵60π×6∴CD的长为＝2π.
180
8．[2017·高密模拟]如图7，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点
F.
1
(1)求证：OF＝BD；
2
(2)当∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．
图7 第8题答图
解：(1)证明：∵OF⊥AC，∴AF＝FC， ∵OA＝OB，∴BC＝2OF，∵AB⊥CD， ︵︵1
∴BC＝BD，∴BC＝BD，∴OF＝BD；
2(2)如答图，连结OC，则OC＝OA＝OB， ∵∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°， ∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠AOC＝120°， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝1， ∴AB＝2，AC＝3，∵OF⊥AC， ∴AF＝CF，∵OA＝OB，
11
∴OF是△ABC的中位线，∴OF＝BC＝，
221113
∴S△AOC＝AC·OF＝×3×＝，
2224
S扇形AOC＝π×OA2＝，
π3
∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－.
34
9．[2017·河北区二模]如图8①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB1
3π3
为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E. (1)求证：MD＝ME；
(2)如图②，连结OD，OE，当∠C＝30°时，求证：四边形ODME是菱形．
图8
证明：(1)在Rt△ABC中，点M是AC的中点， ∴MA＝MB，∴∠A＝∠MBA， ∵四边形ABED是圆内接四边形， ∴∠ADE＋∠ABE＝180°， 而∠ADE＋∠MDE＝180°，
∴∠MDE＝∠MBA.同理可得∠MED＝∠A， ∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME； (2)∵∠C＝30°，∴∠A＝60°，
∴∠ABM＝60°，∴△OAD和△OBE为等边三角形， ∴∠BOE＝60°，∴∠BOE＝∠A， ∴OE∥AC，同理可得OD∥BM，
∴四边形DOEM为平行四边形，而OD＝OE， ∴四边形ODME是菱形．
10．[2017·东莞校级模拟]如图9，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，
F.
(1)当∠E＝∠F时，则∠ADC＝__90__°； (2)当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
图9
解：(1)∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF， ∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠BCF＋∠F， ∴∠ADC＝∠ABC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝90°；
(2)∵在△ABE中，∠A＝55°，∠E＝30°， ∴∠ABE＝180°－∠A－∠E＝95°， ∴∠ADF＝180°－∠ABE＝85°，
∴在△ADF中，∠F＝180°－∠ADF－∠A＝40°；
(3)∵∠ADC＝180°－∠A－∠F，∠ABC＝180°－∠A－∠E， 又∵∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴180°－∠A－∠F＋180°－∠A－∠E＝180°， ∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°，
∠E＋∠Fα＋β
∴∠A＝90°－＝90°－.
22
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