最新中职数学基础模块教学设计：平面向量的坐标表示

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示； （2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标：

培养学生应用向量知识解决问题的能力.

【教学重点】

向量线性运算的坐标表示及运算法则.

【教学难点】

向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.

【教学设计】

向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则

OAxiyj，

将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．

例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．

在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 教 学 过 程 7.2 平面向量的坐标表示 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 了解 思考 自我 分析 从实例出发使学生自然的走向知识点 5 10 *创设情境 兴趣导入 【观察】 设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向 量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）(图7质疑 －17)．则 图7－17 OM2i，ON3j． 引导 分析 由平行四边形法则知 OAOMON2i3j． 【说明】 可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的． *动脑思考 探索新知 【新知识】 设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， （1）设点M(x,y)，则OMxi+yj（如图7－18(1)）； （2）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)（如图7－18(2)），则 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆 引导 式启 发学 生得 出结 果 教 学 过 程 y M(x,y) 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 j O i x (1) y B A j O i x (2) 图7－18 ABOBOA(x2i+y2j)(x1i+y1j)(x2x1)i(y2y1)j． 由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对有序实数(x,y)， 使得 axiyj． 有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a(x,y)． 如图7－17所示，向量的坐标为OA(2,3)． 如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为M(x,y)的向量的坐标为 OM(x,y)． 如图7－18（2）所示，起点为A(x1,y1)，终点为B(x2,y2)的向教 学 过 程 量坐标为 AB(x2x1，y2y1)． （7．5） 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 *巩固知识 典型例题 例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示向量a、b, 并写出它们的坐标． 解 因为 a＝OM＋MA ＝5i＋3j ， 所以 a(5,3)． 同理可得 b(4,3)． 图7－19 【想一想】 观察图7－19，OA与OM的坐标之间存在什么关系？ ，QP的坐标． 例2 已知点P(2,1)，Q(3,2)，求PQ 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 15 解 PQ(3,2)(2,1)(1,3), QP(2,1)(3,2)(1,3)． *运用知识 强化练习 1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA的坐标，并用i与j的线性组合表示向量OA． 2． 设向量a3i4j,写出向量a的坐标． 提问 巡视 指导 思考 口答 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 20 教 学 过 程 BA的坐标． 3． 已知A，B两点的坐标，求AB，教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 (1) A(5,3),B(3,1); (2) A(1,2),B(2,1); (3) A(4,0),B(0,3)． *创设情境 兴趣导入 【观察】 观察图7－20，向量 OA(5,3),OP(3,0),OMOAOP(8,3)．可以看到， 质疑 引导 分析 图7－20 总结 归纳 仔细 分析 讲解 思考 参与 分析 两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和． *动脑思考 探索新知 【新知识】 设平面直角坐标系中，a(x1,y1)，b(x2,y2)，则 ab(x1iy1j)(x2iy2j) (x1x2)i(y1y2)j． 引导启发学生思考 27 35 思考 归纳 理解 记忆 带领 学生 总结 所以 ab(x1x2,y1y2)． （7．6） 类似可以得到 ab(x1x2,y1y2)． （7．7） 教 学 过 程 a(x1,y1)． （7．8） *巩固知识 典型例题 例3 设a＝(1,−2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标： (1) a＋b ， (2) −3 a， (3) 3 a −2 b ． 解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1) (2) −3 a＝−3×(1, −2)＝(−3,6) (3) 3 a −2 b＝3×(1, −2) − 2×(−2,3)＝(3, −6) − (−4,6)＝(7, −12)． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 关键 词语 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 45 55 60 *运用知识 强化练习 已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a −b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b＝(1,1)； （2） a＝(1,0)， b＝(−4, −3)； （3） a＝(−1,2)， b＝(3,0)． 启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解 思考 参与 分析 思考 归纳 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 引导启发学生思考 *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当 引导 分析 观察 思考 0时，有 a∥bab 如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 设a(x1,y1),b(x2,y2),由ab，有 x1x2,y1y2,于是x1y2x2y1，即 总结 归纳 教 学 过 程 x1y2x2y10． 由此得到，对非零向量a、 b，设a(x1,y1),b(x2,y2),当教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 仔细 分析 讲解 理解 记忆 带领 学生 总结 67 70 75 0时，有 a∥bx1y2x2y10． （7．9） *巩固知识 典型例题 例4 设a(1,3),b(2,6)，判断向量a、 b是否共线． 解 由于 3×2−1×6＝0， 说明 强调 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 故由公式（7．9）知，a∥b，即向量a、 b共线． 引领 分析 讲解 说明 *运用知识 强化练习 判断下列各组向量是否共线： （1） a＝(2,3)， b＝(1, 启发 引导 提问 巡视 指导 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 向量坐标的概念？ 任意起点的向量的坐标表示？ 共线向量的坐标表示？ 结论： 一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴 质疑 归纳 思考 了解 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 3)； 2（2） a＝(1, −1) ， b＝(−2,2)； （3） a＝(2, 1) ， b＝(−1,2)． 回答 及时了解学生知识掌握 教 学 过 程 的单位向量为j，则对于从原点出发的任意向量a都有唯一一对实数x、y，使得axiyj．有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a(x,y)． 向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标. 对非零向量a、 b，设a(x1,y1),b(x2,y2),当0时，有 a∥bx1y2x2y10． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 强调 情况 80 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a − b、−2 a＋3 b的坐标． a＝(−2,3)， b=(1,1)； *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题7.2 A组（必做）；7.2 B组（选做） (3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例 【教师教学后记】

项目 引导 提问 巡视 指导 回忆 反思 动手 求解 检验 学生 学习 效果 85 90 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；