一元二次方程题型分类的总结

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一元二次方程题型分类总结

知识梳理

一、知识结构: r

-解与解法

一元二次方程二《根的判另y

韦达定理 *

考点类型一概念

（1） 定义：①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程

就是一元二次方程。

O

★★★ 4、若方程nxm+χn-2χ2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（

）

A.m=n=2 B.m=3 ,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1

考点类型二方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值; 典型例题: 例1、已知2y2 y 一3的值为2,则4y2 ∙ 2y 1的值为 _________________ 例2、关于X的一元二次方程a -2 X2 ∙ X ∙ a2 -4 = 0的一个根为0，则a的值 为 ________ 。

例3、已知关于X的一元二次方程aχ2 ∙ bx ∙ c = 0 a = 0的系数满足a 此方程

必有一根为 _________ 。

例4、已知a,b是方程χ2-4χ∙m=0的两个根，b,c是方程y2-8y∙5m = 0的两 个根，

则m的值为 ________ 。 针对练习： b ,则

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★1、已知方程 X ■ kχ -10 = 0的一根是2 ,则k为 _______________ ,另一根是 ____________ ★ 2、已知关于X的方程X2 kX -2 =0的一个解与方程 ⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

3的解相同。

x—1

考点类型三解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 类型一、直接开方法： χ2=m(mK0)n χ = ±Jm

※※对于(x+af = m， (ax+mf =(bx+ nf等形式均适用直接开方法

典型例题： 例 1、解方程：12X2-8=0;

2 25 -16X2=0; 3 1-χ2-9 = 0;

例2、若9x -1 2 -16x 22 ,则X的值为 ____________ 。

)

针对练习：I下列方程无解的是( A∙X2 3=2X2-1

B.X-22=0 C.2X 3=1-X D. χ2 9 = 0

类型二、因式分解法 ：(X_XI j(X-X2 ) = 0= X = Xι,或X = X2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“

0”

探方程形式：如(ax+mf =(bx + nj , (x+a ]x + b)=(x + a]x + c), x2 2ax a2 = 0 典型例题： 例 1、2x X -3 =5x -3 的根为(

)

Xi

5 2

,X2=3 D X =

2 5

A X

5 2

B x=3 C

例 2、若(4x + y f + 3(4x + y )-4 = 0 ,贝U 4x+y 的值为 ____________ 。 变式 1: (a2 +b2 2 —(a2 +b2 )—6 =0,贝Ua2 +b2 = ___________ 。 变式2:若X y 2-x-y，3=0 ,则x+y的值为 _______________________ 。

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变式 3:若 X2 Xy 14 , y2 xy 例3、方程X^-IX _6 =O的解为(

28 ,贝U x+y 的值为 ___________ 。

)

x<∣ = 3,x?

A. X^=

—3,x?

= 2 B. XI= 3,X2 = -2 C. = -3 D. XI= 2,x?

= -2

例 4、解方程：X2 2 3 1 X 2 3 ^O 例5、已知2X2 -3X^2V2 = 0,则ZV的值为

x_y

变式：已知2χ2 -3xy-2y2 = 0 ,且X . 0, y . 0 ,则X y的值为

x_y 针对练习： ★ 1、下列说法中：

① 方程 X2 px ∙ q =0 的二根为 X， X2 ,则 X2 ∙ px ∙ q = (x - XI)(X- x)

I

2

。

。

② -X2 6x—8 = (x—2)(x—4). ③ a2 -5ab 6b2 = (a - 2)(a - 3) ④ X2 - y2 = (X y)C. X ； y)(.. X - . y)

⑤ 方程(3x 1)2 -7 =0可变形为(3x T .7)(3x 1-、7) =0 正确的有()

A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

★ 2、以1.7与1-、.7为根的一元二次方程是()

A. χ2-2χ^6=0 B . X2-2x 6 = 0 C. y2 2y-6=0 D . y2 2y 6 = 0

★★ 3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1,且两根互为倒数：_ ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1,且两根互为相反数： ___________________ ★★ 4、若实数X、y满足X ^3 X y ^0 ,则x+y的值为(

)

A、-1 或-2 B 、-1 或 2 C 、1 或-2

5、方程：X2 *2=2的解是 ______________ 。

X

D 、1 或 2

* ★ ★ 7、方程1999x 2 -1998 2000x -1 =0的较大根为r ,方程

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★★★ 6、已知∙√6χ2-χy-∙√6y2 =0 ,且 x>0 , y>0,求 2誘 * 6y 的值。

J3x - y

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2007x2 -2008x ^0的较小根为S,贝U s-r的值为 ___________________ 类型三、配方法aχ2+bx+ c =0(a ≠ 0)n

2a2

b2 -4ac 4a2

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。 典型例题: 例1、试用配方法说明X2 -2X 3的值恒大于0

例2、已知X、y为实数，求代数式X2 y2 2x-4y ■ 7的最小值

例3、已知X2 ∙ y2 ∙ 4x —6y • 13 = 0, x、y为实数，求Xy的值

例4、分解因式：4 X2

12x 3

针对练习: ★★ 1、试用配方法说明-10x2 ∙7χ-4的值恒小于0。 11 1

★★ 2、已知 X2 ■—2_X-_-4=0 ,贝y x — =

X X

X

★★★ 3、若t =2 -「3x2 ∙ 12X-9 ,则t的最大值为 _____________________ ,最小值 为 _______ 。

★ ★ ★ 4、女口果 a +b + Jc —1 一1 = 4ja - 2 +2 Jb 十1 - 4 ,那么 a + 2b — 3c 的值 为 _____ 。

类型四、公式法 ⑴条件：⅛ ≠0,且b2 -4ac≥0)

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⑵公式:

X「b b2-4ac 2a

a = 0,且 b2 -4ac - 0

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典型例题: 例1、选择适当方法解下列方程：

⑴ 31 X 2 = 6. ⑵ x 3 x 6]=-8.

⑶ X2 —4X 1=0

⑷ 3χ2 _4x _1 =0

⑸ 3 X -1 3x 1i= ]χ-1 2x 5

例2、在实数范围内分解因式： (1) X2-2.2X-3 ；

( 2) - 4x2 8x-1.

⑶ 2x2-4xy-5y2

说明：①对于二次三项式ax2 bx C的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,

般情况要用求根公式，这种方法首先令 ax2 bx c=0,求出两根，再写成

ax bx c = a(x - x1 )(x - x2).

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去 类型五、 “降

次思想”的应用 ⑴求代数式的值; 典型例题： 例1、 已知x -3X • 2 = 0 ,求代数式

2

2

二元二次方程组。

x-1 3

X -1 例2、如果X2 ∙ X「1 =0 ,那么代数式X3 2X27的值

「

亠1 1的

3 2

例3、已知a是一元二次方程x2»1=0的一根，求VjI的值 例4、用两种不同的方法解方程组 ”2x-y=6, X -5xy 6y

2 2

(1)

0.

(2)

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种： ①先消元，再降次；②先降次, 再消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想， 即把新问题转化归结为

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我们已知的问题•

考点类型四 根的判别式b2- 4ac

根的判别式的作用： ① 定根的个数； ② 求待定系数的值； ③ 应用于其它。 典型例题： 例1、若关于X的方程x2 2kx-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 是 。 例2、关于X的方程m -1 X2 ■ 2mx m = 0有实数根，则m的取值范围是()

A. m 丄O且m = 1 B. m 亠 O C. m 1 D. m 1

例3、已知关于X的方程χ2 -：；：k 2 X 2^ O

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

⑵若等腰厶ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求厶ABC的周长。

例4、已知二次三项式9χ2 -(m ∙ 6)x ∙ m-2是一个完全平方式，试求 m的值.

6, X +2y = 例5、m为何值时，方程组丿 有两个不同的实数解？有两个相同的实

^mx+ y =3.

数解?

C 2

2

针对练习: ★ 1、当k ________ 时，关于X的二次三项式X2 kX 9是完全平方式 ★ 2、当k取何值时，多项式3x2 -4X 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是

什么？

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★ 3、已知方程mx? -mx - 2=0有两个不相等的实数根，则 m的值是

V = kx +2

,

★★ 4、k为何值时，方程组丿V2

V —4x —2y + 1 = 0.

（1） 有两组相等的实数解，并求此解； （2） 有两组不相等的实数解； （3） 没有实数解.

★ ★★ 5、当k取何值时，方程χ2-4mx ∙ 4χ ∙ 3m2-2m ∙ 4k = 0的根与m均为有

理数？

考点类型五方程类问题中的“分类讨论”

⑴有两个实数根，则m为 ,

⑵只有一个根，则m为 ___________ 。

例2、不解方程，判断关于X的方程x2-2x-k ∙k2=-3根的情况

例3、如果关于X的方程x2 kx ^0及方程X2 - X - 2k = 0均有实数根，问这 两方程

是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。

考点类型六应用解答题

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题； ⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题： 1、五羊足球队的庆祝晚宴， 出席者两两碰杯一次， 共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席? 2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了

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90张，那么这个小组共多少人?

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3、 北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放

1

市场，根据计划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 丄，第三年比第二年减少

3

1

丄，该产品第一年收入资金约 400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，

2

1

还要盈利丄，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到

0.1，

3

、13

3.61）

4、 某商店经销一种销售成本为每千克 40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售, 一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答： （1） 当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。 （2） 商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下，使得月销售利润达到 销售单价应定为多少？

8000元，

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1） 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?

（2） 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。

（3） 两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲 再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

考点类型七根与系数的关系

⑴前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足①a≠0、②也≥0时, 才能用韦达定理。 ⑵主要内容：X1 +χ2 = - ∙b,X1X2 =^c

a ⑶应用：整体代入求值。 典型例题: 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2χ2 -8χ • 7=0的两根，则这

a

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个直角三 角形的斜边是（）

A. ..3 B.3 C.6 D.

例2、已知关于X的方程k2x2 ∙ 2k-1 X • 1 = O有两个不相等的实数根x1,x2, （1） 求k的取值范围；

（2） 是否存在实数k ,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值; 若不 存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 小明因看错

1）时，

常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你 知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例 4、已知 a = b，a2 -2a -1=0，b2 -2b -1 =0，求 a b H _________________ 变式：若 a2-■ 2a—1=0 ， b2-∙2b-∙1= 0，则 ~ —的值为 ________________ 。

b a 例5、已知是方程X2 -x-1=0的两个根，那么：4 针对练习: = .

x + V — 3 (1)

,

1、解方程组丿2 2

⑵ X + y =5 2 .已知 a2 -7a = -4，

b2 -7b 一4 (a =b),求

3、已知x1,x2是方程X2 -X -9 =0的两实数根，求x13 ' 7x22 ■ 3x2 -66的值 4、已知关于

X的方程x2-2m-2x ∙m2=0,问：是否存在实数 m使方程的两 个实数根的平方和等于56,若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

（2） —般表达式： aχ* 2 + bx + c = 0（a ≠ 0）

⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：

① 该项系数不为“ 0”； ② 未知数指数为“ 2”； ③ 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨 论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于X的一元二次方程的是（

2 1 1

） X X

2=0

A 3x1 =2x1 B 2

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2 2 2

C ax bx c = 0 D x 2x = x 1

变式：当k __________ 时，关于X的方程kx2 2^x2 3是一元二次方程 例2、方程 m • 2 x∣m ∙ 3mx • 1 =0是关于 X的一元二次方程，则 为 ____________ 。 针对练习： ★ 1、方程8x2 =7的一次项系数是 ___________ ,常数项是 _____________ ★ 2、若方程m-2χmH=0是关于X的一元一次方程， ⑴求m的值；⑵写出关于X的一元一次方程。

★★ 3、若方程m -1 X2 ∙ '. m ∙x =1是关于X的一元二次方程，则m的取值范围

★ 3、已知 m是方程X2 - X -1 = 0的一个根，则代数式 m2 - m = __________ ★★ 4、已知 a是 X2 -3χ 1-0 的根，贝U 2a2 —6a = __________ 。 ★★ 5、方程 a-bx2 ∙ b-cx* ★★ ★★★c-a=0的一个根为（

A -1

B 1

Cb-c

） D - a

m的值

★★★ 6、若 2x 5y -3 =0,贝U 4x *32^ ____________ 。

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