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一元二次方程题型分类总结
知识梳理
一、知识结构: r
-解与解法
一元二次方程二《根的判另y
韦达定理 *
考点类型一概念
(1) 定义:①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程
就是一元二次方程。
O
★★★ 4、若方程nxm+χn-2χ2=0是一元二次方程,则下列不可能的是(
)
A.m=n=2 B.m=3 ,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
考点类型二方程的解
⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 ⑵应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题: 例1、已知2y2 y 一3的值为2,则4y2 ∙ 2y 1的值为 _________________ 例2、关于X的一元二次方程a -2 X2 ∙ X ∙ a2 -4 = 0的一个根为0,则a的值 为 ________ 。
例3、已知关于X的一元二次方程aχ2 ∙ bx ∙ c = 0 a = 0的系数满足a 此方程
必有一根为 _________ 。
例4、已知a,b是方程χ2-4χ∙m=0的两个根,b,c是方程y2-8y∙5m = 0的两 个根,
则m的值为 ________ 。 针对练习: b ,则
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★1、已知方程 X ■ kχ -10 = 0的一根是2 ,则k为 _______________ ,另一根是 ____________ ★ 2、已知关于X的方程X2 kX -2 =0的一个解与方程 ⑴求k的值; ⑵方程的另一个解。
3的解相同。
x—1
考点类型三解法
⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法 ⑵关键点:降次 类型一、直接开方法: χ2=m(mK0)n χ = ±Jm
※※对于(x+af = m, (ax+mf =(bx+ nf等形式均适用直接开方法
典型例题: 例 1、解方程:12X2-8=0;
2 25 -16X2=0; 3 1-χ2-9 = 0;
例2、若9x -1 2 -16x 22 ,则X的值为 ____________ 。
)
针对练习:I下列方程无解的是( A∙X2 3=2X2-1
B.X-22=0 C.2X 3=1-X D. χ2 9 = 0
类型二、因式分解法 :(X_XI j(X-X2 ) = 0= X = Xι,或X = X2 ※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“
0”
探方程形式:如(ax+mf =(bx + nj , (x+a ]x + b)=(x + a]x + c), x2 2ax a2 = 0 典型例题: 例 1、2x X -3 =5x -3 的根为(
)
Xi
5 2
,X2=3 D X =
2 5
A X
5 2
B x=3 C
例 2、若(4x + y f + 3(4x + y )-4 = 0 ,贝U 4x+y 的值为 ____________ 。 变式 1: (a2 +b2 2 —(a2 +b2 )—6 =0,贝Ua2 +b2 = ___________ 。 变式2:若X y 2-x-y,3=0 ,则x+y的值为 _______________________ 。
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变式 3:若 X2 Xy 14 , y2 xy 例3、方程X^-IX _6 =O的解为(
28 ,贝U x+y 的值为 ___________ 。
)
x<∣ = 3,x?
A. X^=
—3,x?
= 2 B. XI= 3,X2 = -2 C. = -3 D. XI= 2,x?
= -2
例 4、解方程:X2 2 3 1 X 2 3 ^O 例5、已知2X2 -3X^2V2 = 0,则ZV的值为
x_y
变式:已知2χ2 -3xy-2y2 = 0 ,且X . 0, y . 0 ,则X y的值为
x_y 针对练习: ★ 1、下列说法中:
① 方程 X2 px ∙ q =0 的二根为 X, X2 ,则 X2 ∙ px ∙ q = (x - XI)(X- x)
I
2
。
。
② -X2 6x—8 = (x—2)(x—4). ③ a2 -5ab 6b2 = (a - 2)(a - 3) ④ X2 - y2 = (X y)C. X ; y)(.. X - . y)
⑤ 方程(3x 1)2 -7 =0可变形为(3x T .7)(3x 1-、7) =0 正确的有()
A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
★ 2、以1.7与1-、.7为根的一元二次方程是()
A. χ2-2χ^6=0 B . X2-2x 6 = 0 C. y2 2y-6=0 D . y2 2y 6 = 0
★★ 3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1,且两根互为倒数:_ ⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1,且两根互为相反数: ___________________ ★★ 4、若实数X、y满足X ^3 X y ^0 ,则x+y的值为(
)
A、-1 或-2 B 、-1 或 2 C 、1 或-2
5、方程:X2 *2=2的解是 ______________ 。
X
D 、1 或 2
* ★ ★ 7、方程1999x 2 -1998 2000x -1 =0的较大根为r ,方程
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★★★ 6、已知∙√6χ2-χy-∙√6y2 =0 ,且 x>0 , y>0,求 2誘 * 6y 的值。
J3x - y
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2007x2 -2008x ^0的较小根为S,贝U s-r的值为 ___________________ 类型三、配方法aχ2+bx+ c =0(a ≠ 0)n
2a2
b2 -4ac 4a2
※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。 典型例题: 例1、试用配方法说明X2 -2X 3的值恒大于0
例2、已知X、y为实数,求代数式X2 y2 2x-4y ■ 7的最小值
例3、已知X2 ∙ y2 ∙ 4x —6y • 13 = 0, x、y为实数,求Xy的值
例4、分解因式:4 X2
12x 3
针对练习: ★★ 1、试用配方法说明-10x2 ∙7χ-4的值恒小于0。 11 1
★★ 2、已知 X2 ■—2_X-_-4=0 ,贝y x — =
X X
X
★★★ 3、若t =2 -「3x2 ∙ 12X-9 ,则t的最大值为 _____________________ ,最小值 为 _______ 。
★ ★ ★ 4、女口果 a +b + Jc —1 一1 = 4ja - 2 +2 Jb 十1 - 4 ,那么 a + 2b — 3c 的值 为 _____ 。
类型四、公式法 ⑴条件:⅛ ≠0,且b2 -4ac≥0)
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⑵公式:
X「b b2-4ac 2a
a = 0,且 b2 -4ac - 0
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典型例题: 例1、选择适当方法解下列方程:
⑴ 31 X 2 = 6. ⑵ x 3 x 6]=-8.
⑶ X2 —4X 1=0
⑷ 3χ2 _4x _1 =0
⑸ 3 X -1 3x 1i= ]χ-1 2x 5
例2、在实数范围内分解因式: (1) X2-2.2X-3 ;
( 2) - 4x2 8x-1.
⑶ 2x2-4xy-5y2
说明:①对于二次三项式ax2 bx C的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,
般情况要用求根公式,这种方法首先令 ax2 bx c=0,求出两根,再写成
ax bx c = a(x - x1 )(x - x2).
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去 类型五、 “降
次思想”的应用 ⑴求代数式的值; 典型例题: 例1、 已知x -3X • 2 = 0 ,求代数式
2
2
二元二次方程组。
x-1 3
X -1 例2、如果X2 ∙ X「1 =0 ,那么代数式X3 2X27的值
「
亠1 1的
3 2
例3、已知a是一元二次方程x2»1=0的一根,求VjI的值 例4、用两种不同的方法解方程组 ”2x-y=6, X -5xy 6y
2 2
(1)
0.
(2)
说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种: ①先消元,再降次;②先降次, 再消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想, 即把新问题转化归结为
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我们已知的问题•
考点类型四 根的判别式b2- 4ac
根的判别式的作用: ① 定根的个数; ② 求待定系数的值; ③ 应用于其它。 典型例题: 例1、若关于X的方程x2 2kx-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围 是 。 例2、关于X的方程m -1 X2 ■ 2mx m = 0有实数根,则m的取值范围是()
A. m 丄O且m = 1 B. m 亠 O C. m 1 D. m 1
例3、已知关于X的方程χ2 -:;:k 2 X 2^ O
(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;
⑵若等腰厶ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求厶ABC的周长。
例4、已知二次三项式9χ2 -(m ∙ 6)x ∙ m-2是一个完全平方式,试求 m的值.
6, X +2y = 例5、m为何值时,方程组丿 有两个不同的实数解?有两个相同的实
^mx+ y =3.
数解?
C 2
2
针对练习: ★ 1、当k ________ 时,关于X的二次三项式X2 kX 9是完全平方式 ★ 2、当k取何值时,多项式3x2 -4X 2k是一个完全平方式?这个完全平方式是
什么?
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★ 3、已知方程mx? -mx - 2=0有两个不相等的实数根,则 m的值是
V = kx +2
,
★★ 4、k为何值时,方程组丿V2
V —4x —2y + 1 = 0.
(1) 有两组相等的实数解,并求此解; (2) 有两组不相等的实数解; (3) 没有实数解.
★ ★★ 5、当k取何值时,方程χ2-4mx ∙ 4χ ∙ 3m2-2m ∙ 4k = 0的根与m均为有
理数?
考点类型五方程类问题中的“分类讨论”
⑴有两个实数根,则m为 ,
⑵只有一个根,则m为 ___________ 。
例2、不解方程,判断关于X的方程x2-2x-k ∙k2=-3根的情况
例3、如果关于X的方程x2 kx ^0及方程X2 - X - 2k = 0均有实数根,问这 两方程
是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及 k的值;若没有,请说明理由。
考点类型六应用解答题
⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题; ⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题 典型例题: 1、五羊足球队的庆祝晚宴, 出席者两两碰杯一次, 共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席? 2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了
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90张,那么这个小组共多少人?
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3、 北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
1
市场,根据计划,第一年投入资金 600万元,第二年比第一年减少 丄,第三年比第二年减少
3
1
丄,该产品第一年收入资金约 400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回,
2
1
还要盈利丄,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少?(结果精确到
0.1,
3
、13
3.61)
4、 某商店经销一种销售成本为每千克 40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售, 一个月能售出500千克,销售单价每涨 1元,月销售量就减少 10千克,针对此回答: (1) 当销售价定为每千克 55元时,计算月销售量和月销售利润。 (2) 商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下,使得月销售利润达到 销售单价应定为多少?
8000元,
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 (1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
(2) 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不 能,请说明理由。
(3) 两个正方形的面积之和最小为多少?
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲 再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度.
考点类型七根与系数的关系
⑴前提:对于ax2+bx+c=0而言,当满足①a≠0、②也≥0时, 才能用韦达定理。 ⑵主要内容:X1 +χ2 = - ∙b,X1X2 =^c
a ⑶应用:整体代入求值。 典型例题: 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2χ2 -8χ • 7=0的两根,则这
a
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个直角三 角形的斜边是()
A. ..3 B.3 C.6 D.
例2、已知关于X的方程k2x2 ∙ 2k-1 X • 1 = O有两个不相等的实数根x1,x2, (1) 求k的取值范围;
(2) 是否存在实数k ,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出 k的值; 若不 存在,请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为 小明因看错
1)时,
常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。你 知道 原来的方程是什么吗?其正确解应该是多少?
例 4、已知 a = b,a2 -2a -1=0,b2 -2b -1 =0,求 a b H _________________ 变式:若 a2-■ 2a—1=0 , b2-∙2b-∙1= 0,则 ~ —的值为 ________________ 。
b a 例5、已知是方程X2 -x-1=0的两个根,那么:4 针对练习: = .
x + V — 3 (1)
,
1、解方程组丿2 2
⑵ X + y =5 2 .已知 a2 -7a = -4,
b2 -7b 一4 (a =b),求
3、已知x1,x2是方程X2 -X -9 =0的两实数根,求x13 ' 7x22 ■ 3x2 -66的值 4、已知关于
X的方程x2-2m-2x ∙m2=0,问:是否存在实数 m使方程的两 个实数根的平方和等于56,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由。
(2) —般表达式: aχ* 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
⑶难点:如何理解“未知数的最高次数是2”:
① 该项系数不为“ 0”; ② 未知数指数为“ 2”; ③ 若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨 论。 典型例题: 例1、下列方程中是关于X的一元二次方程的是(
2 1 1
) X X
2=0
A 3x1 =2x1 B 2
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2 2 2
C ax bx c = 0 D x 2x = x 1
变式:当k __________ 时,关于X的方程kx2 2^x2 3是一元二次方程 例2、方程 m • 2 x∣m ∙ 3mx • 1 =0是关于 X的一元二次方程,则 为 ____________ 。 针对练习: ★ 1、方程8x2 =7的一次项系数是 ___________ ,常数项是 _____________ ★ 2、若方程m-2χmH=0是关于X的一元一次方程, ⑴求m的值;⑵写出关于X的一元一次方程。
★★ 3、若方程m -1 X2 ∙ '. m ∙x =1是关于X的一元二次方程,则m的取值范围
★ 3、已知 m是方程X2 - X -1 = 0的一个根,则代数式 m2 - m = __________ ★★ 4、已知 a是 X2 -3χ 1-0 的根,贝U 2a2 —6a = __________ 。 ★★ 5、方程 a-bx2 ∙ b-cx* ★★ ★★★c-a=0的一个根为(
A -1
B 1
Cb-c
) D - a
m的值
★★★ 6、若 2x 5y -3 =0,贝U 4x *32^ ____________ 。
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