2020年云南省文山州砚山县中考数学一模试卷 (含答案解析)

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）

1. 一个多边形的内角和是0°，那么这个多边形的边数为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 如图所示的四棱柱的主视图是( )

A. B. C. D.

3. 下列计算结果正确的是( )

A. 8𝑥6÷2𝑥3=4𝑥2 B. 𝑥2+𝑥3=𝑥5 C. (−3𝑥2𝑦)3=−9𝑥6𝑦3 D. 𝑥⋅𝑥2=𝑥3 4. 下列说法错误的是( )

A. 对将要发射的火箭部件的检查要采用全面调查 B. 一组数据的方差小，表示这组数据的波动小

C. 某种彩票一等奖的中奖率为1%，表明抽此种彩票100张会有1张中一等奖 D. “明天是晴天”是随机事件

5. 如图，AB、CD都是⊙𝑂的弦，且𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，若∠𝐶𝐷𝐵=57°，则∠𝐴𝐶𝐷的

度数为( )

A. 33° B. 34° C. 43° D. 57° 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，下列结论：6. 已知二次函数①𝑏<

0；②4𝑎+2𝑏+𝑐<0；③𝑎−𝑏+𝑐>0；④(𝑎+𝑐)2<𝑏2.其中正确的结论是( )

7. 下列实数2√3，−4，𝜋，√7，(0.01)2，3.14，√2+1，1.2020020002…，−11中有理数的个数是

( ) A. 4个

A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④

123

B. 5个 C. 6个 D. 7个

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8. 如图，在△𝑂𝐴𝐵中，顶点𝑂(0,0)，𝐴(−3,4)，𝐵(3,4)，将△𝑂𝐴𝐵与正方

形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为( )

A. (10,3) B. (−3,10) C. (10,−3) D. (3,−10)

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 9. 3的倒数是______．

10. 2017年10月18日，中国党第十九次全国代表大会在北京隆重召开．从全国近 400 000

中产生的2 300名代表参加了此次盛会．将数据 400 000用科学记数法表示为______． 11. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶，分别交AB，AC于点D，E，若𝐷𝐸=4，𝐵𝐶=

𝐴𝐸=6，则EC的长为______．

12. 如果∠𝛼=35°，那么∠𝛼的余角为__________．

13. 如图，点B在反比例函数𝑦=𝑋(𝑥>0)的图象上，过点B分别与x轴和y轴的垂线，垂足分别

是𝐶0和A，点𝐶0的坐标为(1,0)，取x轴上一点𝐶1(2,0)，过点𝐶1作x轴的垂线交反比例函数图象于点𝐵1，过点𝐵1作线段𝐵1𝐴1⊥𝐵𝐶0交于点𝐴1，得到矩形𝐴1𝐵1𝐶1𝐶0，依次在x轴上取点𝐶2(2,0)，𝐶3(,0)…，按此规律作矩形，则矩形𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛𝐶𝑛−1(𝑛为正整数)的面积为______．

25

3

2

14. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若𝐸𝐹=6，𝐵𝐶=13，𝐶𝐷=5，则tanC

等于________．

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三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15. 计算：√27+(−2)−2−(√5−1)0−2𝑠𝑖𝑛60°

四、解答题（本大题共8小题，共.0分）

𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴=90°，在四边形ABCD中，过点C作𝐶𝐸⊥𝐵𝐷交16. 如图，

BD于点E，且𝐶𝐸=𝐴𝐵． (1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐵；

(2)若𝐴𝐵=𝐴𝐷，求∠𝐴𝐷𝐶的度数．

1

17. 某中学对全校九年级学生进行一次数学能力测试，并随机抽取部分学生的测试成绩作为样本进

行分析，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，解答下列问题： (1)抽取多少名学生的成绩进行分析？

(2)请将图1中“C”部分的图形补充完整；

(3)如果有300人参加了这次数学能力测试，估算有多少名学生的成绩可以达到“A”？

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由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工20%，18. 某车间计划加工360个零件，

结果提前10天完成任务，求原计划每天加工多少个零件．

19. 在一个不透明的盒子中，装有三张卡片，卡片上分别标有数字“1”，“2”和“3”，它们除了

数字不同外，其余都相同．

(1)随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？

(2)若第一次从这三张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为x，此卡片不放回盒中，第二次再从余下的两张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为y，请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果，并求出𝑥+𝑦<4的概率．

20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的

三个顶点𝐴(5,2)、𝐵(5,5)、𝐶(1,1)均在格点上．

(1)将△𝐴𝐵𝐶向左平移5个单位得到△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐴1的坐标；

(2)画出△𝐴1𝐵1𝐶1绕点𝐶1顺时针旋转90°后得到的△𝐴2𝐵2𝐶1，并写出点𝐴2的坐标； (3)在(2)的条件下，求△𝐴1𝐵1𝐶1在旋转过程中扫过的面积(结果保留𝜋)．

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21. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象过点𝐴(−1,0)、𝐵(3,0)、𝐶(0,3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△𝑃𝐴𝐶的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△𝑃𝐴𝐶的周长；若不存在，请说明理由．

22. 某学校七年级一班学生要去实验基地进行实践活动，估计乘车人数为10人到40人之间，现在

欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人120元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位同学的车费，然后给予其他同学八折优惠．

(1)若用x表示乘车人数，请用x表示选择甲、乙旅行社的费用𝑦甲与𝑦乙；

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(2)请你帮助学校选择哪一家旅行社费用合算？

𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，以AB为直径作圆O交AC边于点D，23. 如图，

E是边BC的中点，连结OC交DE于点F． (1)求证：直线DE是⊙𝑂的切线； (2)若𝑂𝐹=𝐶𝐹，

①连接OE、OD，求证：四边形OECD是平行四边形； ②求𝐴𝑂

𝐴𝐶的值．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：解：设多边形的边数是n，则 (𝑛−2)⋅180°=0°， 解得𝑛=5． 故选：B．

根据多边形的内角和公式(𝑛−2)⋅180°列式进行计算即可求解． 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 2.答案：C

解析： 【分析】

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

该几何体的主视图为一个中间2条虚线的长方形，即可得出结果． 【解答】

解：正面看易得四棱柱的两条棱位于四棱柱的主视图内，且为虚线． 故选C． 3.答案：D

解析：解：A、8𝑥6÷2𝑥3=4𝑥3，故此选项错误； B、𝑥2+𝑥3，无法计算，故此选项错误； C、(−3𝑥2𝑦)3=−27𝑥6𝑦3，故此选项错误； D、𝑥⋅𝑥2=𝑥3，故此选项正确； 故选：D．

分别利用合并同类项法则以及单项式除以单项式运算法则和积的乘方运算法则化简、同底数幂的乘法运算法则，进而判断得出答案．

此题主要考查了合并同类项以及单项式除以单项式运算和积的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4.答案：C

解析：解：A、对将要发射的火箭部件的检查要采用全面调查，正确； B、一组数据的方差小，表示这组数据的波动小，正确；

C、某种彩票一等奖的中奖率为1%，表明抽此种彩票100张可能会有1张中一等奖，错误； D、“明天是晴天”是随机事件，正确； 故选：C．

根据普查的优缺点、方差的意义及事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5.答案：A

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解析：解：∵∠𝐶𝐷𝐵=57°， ∴∠𝐴=∠𝐶𝐷𝐵=57°． ∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，

∴∠𝐶=90°−∠𝐴=90°−57°=33°． 故选A．

先根据圆周角定理求出∠𝐴的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 6.答案：C

解析：解：①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：𝑎>0，−2𝑎>0，则𝑏<0，正确； ②∵对称轴为直线𝑥=1，∴𝑥=2与𝑥=0时的函数值相等，∴当𝑥=2时，𝑦=4𝑎+2𝑏+𝑐>0，错误；

③当𝑥=−1时，𝑦=𝑎−𝑏+𝑐>0，正确；

∴𝑎+𝑐>𝑏；∵当𝑥=1时，𝑦=𝑎+𝑏+𝑐<0，∴𝑎+𝑐<−𝑏；∴𝑏<𝑎+𝑐<−𝑏，④∵𝑎−𝑏+𝑐>0，

∴|𝑎+𝑐|<|𝑏|，∴(𝑎+𝑐)2<𝑏2，正确． 所以正确的结论是①③④． 故选C．

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，利用图象将𝑥=1，−1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．

本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函

2代入函数解析式判断y的值是解题关键，−1，数与方程之间的转换，将𝑥=1，得出𝑏<𝑎+𝑐<−𝑏

是本题的难点． 7.答案：A

𝑏

解析： 【分析】

根据有理数的定义可得到在所给数中为有理数的个数．

本题考查了实数：实数与数轴上的点一一对应；实数分为有理数和无理数． 【解答】

解：有理数有：−4，(0.01)2，3.14，−11，共4个． 故选A．

1

3

8.答案：D

解析：

【分析】

本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

先求出𝐴𝐵=6，再利用正方形的性质确定𝐷(−3,10)，由于70=4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△𝑂𝐴𝐵与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后

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的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可求出旋转后的点D的坐标． 【解答】

解：∵𝐴(−3,4)，𝐵(3,4)， ∴𝐴𝐵=3+3=6，

∵四边形ABCD为正方形， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=6， ∴𝐷(−3,10)，

∵70=4×17+2，

∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△𝑂𝐴𝐵与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°， ∴点D的坐标为(3,−10)． 故选D．

9.答案：3

解析：解：两个数为互为倒数则这两个数的乘积为1， 所以3的倒数是3． 故答案为：3．

根据倒数的定义可知．

主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

1

1

1

10.答案：8.94×107

解析：解：数据 400 000用科学记数法表示为8.94×107． 故答案为：8.94×107．

科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11.答案：3

解析： 【分析】

根据平行线判定△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，从而可得对应边成比例，即𝐴𝐶=𝐵𝐶，利用已知数据即可求出EC的长．

本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据性质得到对应边成比例是解决本题的关键． 【解答】

解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，

𝐴𝐸

𝐷𝐸

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∴𝐴𝐶=𝐵𝐶，

而𝐷𝐸=4，𝐵𝐶=𝐴𝐸=6， ∴

=， 6+𝐸𝐶6

6

4

𝐴𝐸𝐷𝐸

解得𝐸𝐶=3， 故答案为3． 12.答案：55°

解析：解：∵∠𝛼=35°，

∴∠𝛼的余角=90°−35°=55°． 故答案为：55°．

根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解．

本题考查了余角，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．

2,𝑛=1

13.答案：{2,𝑛≠1

𝑛+1

解析： 【分析】

本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数𝑦=𝑥图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|𝑘|.根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到第1个矩形的面积=2，第2个矩形的面积=3×(2−1)=3，第3个矩形的面积=(2−2)×1=2，…于是得到第n个矩形的面积=2×𝑛+1=𝑛+1(𝑛≠1)． 【解答】

解：第1个矩形的面积=2， 第2个矩形的面积=3×(2−1)=3， 第3个矩形的面积=(2−2)×1=2，

…

第n个矩形的面积=2×𝑛+1=𝑛+1(𝑛≠1)．

∴矩形𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛𝐶𝑛−1(𝑛为正整数)的面积为𝑛+1(𝑛≠1)． 2,𝑛=1

故答案为{2 ,𝑛≠1𝑛+1

2

1

2×2

2

3

1

4

3

2

3

1

1

2×2

24

3

2

𝑘

14.答案：5

12

解析：

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【分析】

此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理有关知识，连接BD，根据中位线的性质得出𝐸𝐹//𝐵𝐷，且𝐸𝐹=2𝐵𝐷，进而利用勾股定理的逆定理得出△𝐵𝐷𝐶是直角三角形，求解即可． 【解答】

解：连接BD，

1

∵𝐸、F分别是AB、AD的中点， ∴𝐸𝐹//𝐵𝐷，且𝐸𝐹=2𝐵𝐷，

∵𝐸𝐹=6， ∴𝐵𝐷=12，

∵𝐵𝐷=12，𝐵𝐶=13，𝐶𝐷=5，

∴132−52=122，即𝐵𝐶2−𝐶𝐷2=𝐵𝐷2， ∴△𝐵𝐷𝐶是直角三角形，且∠𝐵𝐷𝐶=90°， ∴𝑡𝑎𝑛𝐶=𝐷𝐶=故答案是5．

3 15.答案：解：原式=3√3+4−1−2×√2

12𝐵𝐷

125

1

．

=3√3+4−1−√3 =2√3+3．

解析：此题主要考查实数的混合运算.首先根据二次根式的化简，负整数指数幂，零指数幂以及特殊三角函数值对各项进行计算，然后根据实数的计算法则进行计算即可． 16.答案：解：(1)∵𝐴𝐷//𝐵𝐶

∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶，且∠𝐴=∠𝐵𝐸𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐶𝐸 ∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐵(𝐴𝐴𝑆)

(2)∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=90° ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐷=45° ∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐵

∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐵=45°，𝐵𝐶=𝐵𝐷 ∴∠𝐵𝐷𝐶=67.5°

∴∠𝐴𝐷𝐶=112.5°

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解析：(1)由“AAS”可证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐵；

(2)由全等三角形的性质可得∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐵=45°，𝐵𝐶=𝐵𝐷，由等腰三角形的性质可得∠𝐵𝐷𝐶=67.5°，即可求∠𝐴𝐷𝐶的度数．

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．

17.答案：解：(1)22÷44%=50(人) 答：抽取50名学生的成绩进行分析； (2)50×20%=10(人)， 图形如下：

(3)𝐴所占的百分比为1−20%−16%−44%=20%， 300×20%=60(人)．

答：60名学生的成绩可以达到“A”．

(1)结合条形统计图和扇形统计图，解析：用“B”部分的学生数除以“B”部分所占的百分比即可得总人数；

(2)用被抽取的学生总数×成绩类别为“C”的人数所占的百分比求得成绩类别为“C”的人数，从而补全条形统计图．

(3)学生的成绩可以达到“A”的人数=300×成绩类别为“A”的学生所占的百分比．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

18.答案：解：设原计划每天能加工x个零件， 根据题意，得

360𝑥

=

360(1+20％)𝑥

+10，

解得：𝑥=6，

经检验𝑥=6是原方程的解，且有实际意义． 答：原计划每天能加工6个零件．

解析：此题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．关键描述语为：“提前10天完成任务”；等量关系为：原计划天数=实际生产天数+10.列方程求解即可．

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19.答案：解：(1)抽出数字为“2”的卡片的概率是3；

(2)

1

共有6种不同的结果，满足𝑥+𝑦<4的有2种， 则𝑃(𝑥+𝑦<4)=6=3．

2

1

解析：(1)利用概率公式即可直接求解；

(2)利用树状图法求出所有可能的情况，然后利用概率公式即可求解．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

20.答案：解：(1)如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求，点𝐴1的坐标为(0,2)；

(2)如图所示，△𝐴2𝐵2𝐶1即为所求，点𝐴2的坐标为(−3,−3)；

(3)如图，

∵𝐵𝐶=√42+42=4√2，

∴△𝐴1𝐵1𝐶1在旋转过程中扫过的面积为：

12

90𝜋×(4√2)2

360

+

×3×4=8𝜋+6．

解析：(1)依据△𝐴𝐵𝐶向左平移5个单位，即可得到△𝐴1𝐵1𝐶1，进而写出点𝐴1的坐标； (2)依据△𝐴1𝐵1𝐶1绕点𝐶1逆时针旋转90°，即可得到的△𝐴2𝐵2𝐶1，进而写出点𝐴2的坐标； (3)依据扇形面积公式和三角形面积公式，即可得到△𝐴1𝐵1𝐶1在旋转过程中扫过的面积．

本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

21.答案：解：(1)∵抛物线与x轴交于点𝐴(−1,0)、𝐵(3,0)， ∴可设交点式𝑦=𝑎(𝑥+1)(𝑥−3)， 把点𝐶(0,3)代入得：−3𝑎=3， ∴𝑎=−1，

∴𝑦=−(𝑥+1)(𝑥−3)=−𝑥2+2𝑥+3， ∴抛物线解析式为𝑦=−𝑥2+2𝑥+3；

(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△𝑃𝐴𝐶的周长最小． 如图1，连接PB、BC，

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∵点P在抛物线对称轴直线𝑥=1上，点A、B关于对称轴对称， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐵，

∴𝐶△𝑃𝐴𝐶=𝐴𝐶+𝑃𝐶+𝑃𝐴=𝐴𝐶+𝑃𝐶+𝑃𝐵，

∵当C、P、B在同一直线上时，𝑃𝐶+𝑃𝐵=𝐶𝐵最小， ∵𝐴(−1,0)、𝐵(3,0)、𝐶(0,3)，

∴𝐴𝐶=√ 12+32=√10，𝐵𝐶=√ 32+32=3√2， ∴𝐶△𝑃𝐴𝐶=𝐴𝐶+𝐶𝐵=√10+3√2最小， 设直线BC解析式为𝑦=𝑘𝑥+3，

把点B代入得：3𝑘+3=0，解得：𝑘=−1， ∴直线BC：𝑦=−𝑥+3， ∴𝑦𝑃=−1+3=2，

∴点𝑃(1,2)使△𝑃𝐴𝐶的周长最小，最小值为√10+3√2．

解析：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．

(1)由于条件给出抛物线与x轴的交点𝐴(−1,0)、𝐵(3,0)，故可设交点式𝑦=𝑎(𝑥+1)(𝑥−3)，把点C代入即求得a的值，减小计算量；

(2)由于点A、B关于对称轴：直线𝑥=1对称，故有𝑃𝐴=𝑃𝐵，则C△𝑃𝐴𝐶=𝐴𝐶+𝑃𝐶+𝑃𝐴=𝐴𝐶+𝑃𝐶+𝑃𝐵，所以当C、P、B在同一直线上时，C△𝑃𝐴𝐶=𝐴𝐶+𝐶𝐵最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把𝑥=1代入即求得点P纵坐标． 22.答案：解：(1)由题意设乘车人数为x人，则 𝑦甲=0.75×120𝑥=90𝑥，

𝑦乙=0.8×120(𝑥−1)=96𝑥−96； (2)由𝑦甲=𝑦乙得，90𝑥=96𝑥−96， 解得：𝑥=16，

𝑦甲>𝑦乙得，90𝑥>96𝑥−96， 解得：𝑥<16，

𝑦甲<𝑦乙得，90𝑥<96𝑥−96，

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解得：𝑥>16，

所以，当人数为10−15人时，选择乙旅行社合算；当人数17−40人时，选择甲旅行社合算； 当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样．

解析：此题主要考查了一元一次不等式和方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中不等关系，再列出不等式．

(1)设共有x人由题意得：甲旅行社的花费=120×人数×七五折；乙旅行社的花费=120×(人数−1)×八折；

(2)分三种情况：①𝑦甲=𝑦乙时，②𝑦甲>𝑦乙时，③𝑦甲<𝑦乙时，分别列出方程或不等式进行计算即可．

23.答案：(1)证明：连接OD、OE、BD， ∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，

∴∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90°， ∵𝐸点是BC的中点， ∴𝐷𝐸=𝐶𝐸=𝐵𝐸．

𝐷𝑂=𝐵𝑂

∵在△𝑂𝐷𝐸和△𝑂𝐵𝐸中{𝐸𝑂=𝐸𝑂

𝐷𝐸=𝐸𝐵∴△𝑂𝐷𝐸≌△𝑂𝐵𝐸(𝑆𝑆𝑆)， ∴∠𝑂𝐷𝐸=∠𝑂𝐵𝐸=90°， ∵𝑂𝐷是圆的半径，

∴直线DE是⊙𝑂的切线．

(2)①证明：作𝑂𝐻⊥𝐴𝐶于点H， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，

∴𝑂𝐸//𝐴𝐶，且𝑂𝐸=2𝐴𝐶， ∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝑂𝐸𝐹，∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐸𝑂𝐹； ∠𝐶𝐷𝐹=∠𝑂𝐸𝐹

∵在△𝐷𝐶𝐹和△𝐸𝑂𝐹中{∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐸𝑂𝐹，

𝐶𝐹=𝐹𝑂∴△𝐷𝐶𝐹≌△𝐸𝑂𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐷𝐶=𝑂𝐸=𝐴𝐷，

∴四边形CEOD为平行四边形；

②解：∵四边形CEOD为平行四边形， ∴𝐶𝐸=𝑂𝐷=𝑂𝐴=2𝐴𝐵， ∴𝐵𝐴=𝐵𝐶， ∴∠𝐴=45°， ∴𝐴𝑂=√2𝑂𝐻， ∵𝑂𝐻⊥𝐴𝐷，

∴𝑂𝐻=𝐴𝐻=𝐷𝐻，

11

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∴𝐴𝐶=4𝑂𝐻， ∴𝐴𝐶=

𝐴𝑂

√2𝐻𝑂4𝐻𝑂

=

√2． 4

解析：(1)要证明直线DE是⊙𝑂的切线，只要证明∠𝑂𝐷𝐸=90°即可．

(2)①作𝑂𝐻⊥𝐴𝐶于点H，首先证明△𝐷𝐶𝐹≌△𝐸𝑂𝐹(𝐴𝐴𝑆)，进而得出𝐷𝐶=𝑂𝐸=𝐴𝐷，即可得出四边形OECD是平行四边形；

②分别表示出OH，AC之间的关系以及AO与HO的关系，即可得到𝐴𝐶的值．

此题考查了全等三角形的判定方法及切线的判定和平行四边形的判定与性质等知识，根据题意得出∠𝐴=45°以及4𝐴𝐻=𝐴𝐶是解题关键．

𝐴𝑂

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