等差等比数列及求数列的通项和前n项和

（一）定义及其判断

定义：anan1d(n2) 判定： （二）基本公式

通项公式 ana1(n1)d 通项公式的变形 anam(nm)d 前n项和公式 Snn(a1an)2na1n(n1)2d

anamnmd

（注意数列求和中的倒序相加及适用类型）

注意：公式得应用主要在于求基本量，a1、d、n、an、Sn知三求二 （三）性质及其应用

1角标性质：若nmpq,则anaapaq

m2等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 3等差中项：a、M、b成等差数列ab2M

4等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

5在等差数列an中，有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

（1）当 a1>0，d<0时，满足 的项数m使得sm取最大值。

（2）当 a1<0，d>0时，满足 巩固练习： 1设数列2设

Sn{an}2 的项数m使得sm取最小值。

的前n项和

{an}Snn，则

a8的值为

S33，S624a5为等差数列

的前n项和，若

10，则

a9

3在等差数列

an中，a1a9，则的值为

4等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于

5若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于

6设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前的和为

7等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7>S8>S6，则下列结论：①a7＝0 ②a8<0 ③S13>0 ④S14<0 其中正确结论是

1

8如果等差数列

an中，a3a4a512，那么

a1a2...a7

S

9设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则9＝__________.

S5

10设等差数列

an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当

Sn取最小值时,n等于

11已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是

12记等差数列

13已知{an}是等差数列，a2＝5，a5＝14，

(1)求{an}的通项公式；(2)当{an}的前n项和Sn＝155，求n的值．

14设等差数列（Ⅰ）求

15已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225；数列{bn}是等比数列，b3＝a2＋a3，b2b5＝128.

(1)求数列{an}的通项an及数列{bn}的前和T8；

11

(2)求使得>成立的正整数n.

an－74

an的前n项和为Sn，设S312，且

2a1,a2,a31成等比数列，求

Sn

an满足a35，

a109。

an的通项公式； （Ⅱ）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。

2

等比数列

（一）定义及其判断 定义：

anan1q(n2) 判定：

（二）基本公式

通项公式 ana1q(n1) 通项公式的变形 anamq(nm)

na1(q1)anamqnm

前n项和公式 Sn （注意数列求和中的错位相减及适用类型）

(q1）1q注意：公式得应用主要在于求基本量，a1、q、n、an、Sn知三求二

a1(1q)n（三）性质及其应用

1角标性质：若nmkl,则anaakal

m2等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 3等比中项：a、G、b成等比数列abG

4等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 巩固训练

1设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为 S

2设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则4＝

a23在等比数列4在等比数列

2an中，a11，公比q{an}1.若

ama1a2a3a4a5，则m=

中，

a20108a2007，则公比q的值为

Sn5设an是有正数组成的等比数列，

为其前n项和。已知a2a41,

S5S37,则

S5

6设

Sn8aa5a为等比数列n的前n项和，20，则

S2 1

7已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋„＋anan＋1＝

4

8已知an为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2a32a1， 且a4与2a7的等差中项为则

S5，

= 为等比数列

9设

Snan的前n项和，已知3S3a42，

3S2a32，则公比

q

3

10已知各项均为正数的等比数列{

an}，

a1a2a3=5，

a7a8a9=10，则

aaa=

SS

11设等比数列{an}的前n项和为Sn，若6＝3，则9等于

S3S6

112已知等比数列{

am}中，各项都是正数，且

a1，2a3,2a2a9a10成等差数列，则

a7a8

2n

13已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，„，且a5·a2n－5＝2(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1＝

2

14设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x－8x＋3＝0的两根，则a2006＋

2007＝__________.

15设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝4，a4a5a6＝212.

(1)求首项a1和公比q的值； (2)若Sn＝210－1，求n的值．

16已知数列{an}、{bn}分别是等差数列、等比数列，a3＝8，a6＝17，b1＝2，b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)．(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝log3bn，求证：数列{cn}是等差数列，并求出其公差和首项； (3)设Un＝b1＋b4＋b7＋„＋b3n－2，其中n＝1,2，„，求Un的值． 17已知

an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和.

an（Ⅰ）求通项（Ⅱ）设和

Tn及

Sn；

bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项

.

4

数列求和

（一）分组求和 如an=2n+3n，求{an}的前n项和Sn.

（二）错位相减：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）. 如an=(2n-1)2n ，求{an}的前n项和Sn.

（三）倒序相加：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.

n 如an=nC100 求{an}的前100项和Sn.

（四）裂项相消：如果数列的通项可“成两项差”的形式，且相邻项后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

1111； ②1(11)； ①

n(n1)nn1n(nk)knnk如an=

巩固训练

S

1设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列{n}的前11项和为

n

2若Sn＝1－2＋3－4＋„＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于

3数列1,1＋2,1＋2＋4，„，1＋2＋22＋„＋2n－1，„的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是

4数列{an}的通项公式为an＝n＋2n(n＝1,2,3，„)，则{an}的前n项和Sn＝__________. 5

6已知等差数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设

1n(n1)，求{an}的前n项和Sn.

111＋＋„＋ = . 1×33×5(2n－1)(2n＋1)

{an}的前3项和为6，前和为-4。

{an}的通项公式；

n1bn(4an)q(q0,nN)*，求数列

5

{bn}的前n项和

Sn

aa7已知等差数列n满足：a37，a5a726.n的前n项和为Sn.

（Ⅰ）求an 及Sn；（Ⅱ）令

bn1an12b（nN）,求数列n的前n项和Tn.

1

8函数f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝. 2 （1）求f()和f()f(2n11n1n)(nN)的值；

12n1n)f(1),求数列{an}的通项公式。

（2）数列{an}满足anf(0)f()f()f(nn

9数列{an}是公比为q的等比数列，a11，an2（1）求公比q；

（2）令bnnan，求{bn}的前n项和Sn.

an1an2(nN)

 6

递推数列与通项公式

（一）an与Sn

a1(n1)Sn

anan1(n2）（二）几种常见的递推公式形式 1anan1f(n) 例：已知数列an满足a1 2

anan1f(n)

23nn112，an1an1nn2，求an

例:已知数列an满足a1

，an1an，求an

3.anpan1qancp(an1c)（其中pccq及c例:已知数列an中，a11，an12an3，求an

练习：1

qp1）

2已知数列｛an｝满足an3an12(n2)，且a14，求an.

7

4.anpan1qn 要先在原递推公式两边同除以qn1，得：例:

练习：（1）已知数列an中，a156an1qn1pqanqn1q

,an111n1an()，求an 32

（2）已知数列an中，a12,an4an12n，求an

5.an1canband 两边同时取倒数

1an1bandcandcan1bc

例：已知数列｛an｝满足：an

巩固练习

an13an11,a11，求数列｛an｝的通项公式。

1已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，

⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； ⑵设数列cnan2n,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列；

⑶求数列an的通项公式及前n项和。

8

a2,an1ana2设数列n满足1322n1

nan（1）求数列ban的通项公式；

（2）令n，求数列的前n项和

Sn

3在数列{a2n

n}中，a1＝1，an＋1＝2an＋.

(1)设ban

n＝2

n－1，证明数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

9