教学案例 平面直角坐标系中的圆 陈一强 （山东省滕州市北辛中学 山东滕州 ２７７５００） 摘要：平面直角坐标系和圃相结合的试题，也是中考的热点，这类问题通常是占有较大分值的综合题，做这类题应注意：（１）数形结合是 研究此类问题的重要思想方法，解题时要学会善于利用“形”帮助思考；（２）几何问题中的线段的长度都是正数，而点的坐标中的数不一定是 正数，因此注意它们区别与联系十分重要；（３）综合题总是有一定难度的，特别是有些题若不加留意，将会出现漏解或误解。 关键词：固 函数 中图分类号：Ｇ ４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ６７３—９ ７ ９５（２０１１）１１（ｃ）一０１ ０９—０２ １圆在直角坐标系中 例１：已知：如图１，在直角坐标系中，以 点Ｍ（１，１）为圆心、半径为２的圆与ｙ轴交于 Ａ、Ｂ两点，求点Ａ、Ｂ的坐标。 分析：求圆与Ｘ轴、ｙ轴的交点，可以利用 垂径定理过圆心作Ｘ轴、ｙ轴垂线，并连结圆 ，０５１圆与Ｘ轴、ｙ轴的交点，运用勾股定理加 以计算即可。本题中可以先求出ＰＡ＝ＰＢ＝ 、 ＝，／５，从而求￣ＯＡｆｌＯＢ，所以Ａ、Ｂ 两点的坐标为（ｏ，√３＋１），（０，１一√３ ｏ ２圆和一次函数 例２：已知：如图２，在直角坐标系中，以 点Ｍ（１，０）为圆心、直径Ａｃ为２√互的圆与ｙ 轴交于Ａ、Ｄ两点，设过点Ａ的直线ｙ＝ｘ＋ｂ与 ｘ轴交于点Ｂ。探究：直线ＡＢ是否０Ｍ的切 线？并对你的结论加以证明。 分析：由题意易求出Ａ点坐标为（０，１）， 二 、＼ ＼ ＼、 …ｊｈＭ ＼） Ｉ． ／ 、 ＼ ＼ ／ ／ｘ Ｂ 图１ ～ ｃｊ．．．－－ Ｉ ０ 图６ 而ｙ＝ｘ＋ｂ过Ａ点，故可代入求出直线ＡＢ的 （２）求抛物线的解析式。 解析式为ｙ＝ｘ＋１，而要证明ＡＢ是否为０Ｍ 分析：（１）由题意可以利用交点式设出 的切线，只需观察 ＣＡＢ是否为９０。即可， 抛物线方程，从而求出Ｃ、Ｄ两点的坐标。（２） 而Ａ ＡＯＢ和Ａ ＡＯＭ￣ｇ是等腰直角三角形， 由于ＢＤ为０Ｍ的直径，所以△ＢＤＣ为直角 故ＡＢ为０Ｍ的切线。 三角形，Ｂ、Ｃ、Ｄ而三点的坐标都是用ａ的代 证明：由已知ＡＭ＝√２，ＯＭ＝ｌ，在Ｒｔ△ 数式表示，此问题就转化为解直角三角形 ＡＯＭ中，Ａ０＝√ＡＭ 一０Ｍ：＝１．‘．点Ａ的坐 问题，从而求出ａ。 标为Ａ（０，１），‘． 直线ｙ＝ｘ＋ｂ过点Ａ（０，１），．‘． 解：（１）由题意：设抛物线的解析式为 １＝Ｏ＋ｂｌｌｌｂ＝ｌ，．’．ｙ＝ｘ＋ｌ令ｙ＝Ｏ，Ｎｘ＝－１，．‘． Ｙ＝ａ（ｘ＋１）（ 一３），． ．Ｙ＝ｎ 一２ａｘ一３ａ＝ａ（ｘ—１） Ｂ（－１，Ｏ），‘．‘ＡＯ＝ＢＯ＝ＯＭ＝ｌ，ＡＯｊ＿ＢＭ，． ． ４口，．’．点Ｃ（０，一３ａ），Ｄ（１，一４ａ）。（２）过点Ｄ ＢＡＭ＝ ＢＡＤ＋ ＭＡＤ＝４５。＋４５。＝９０。． 作ＤＥ上ｙ轴于点Ｅ，易证△ＤＥＣ ＡＣＯＢ，．’． ‘直线ＡＢ是０Ｍ的切线。 ＤＥ ＣＥ １ 一ａ ．．ＯＣ ，’ ・一３ａ 了，‘‘’ａ １，‘・’ａ＜０，‘‘・ ３圆和二次函数 ａ＝一ｌ故抛物线的解析式为：Ｙ＝一ｘ ＋２ｘ＋３。 例３：抛物线ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ＜０）交ｘ轴干 ４圆和其它几何图形 点Ａ（一ｌ，０）、Ｂ（３，０），交ｙ轴于点Ｃ，顶点为Ｄ， 例４：如图４，矩形ＯＢｃＤ的边ＯＢ：２√ｊ， 以ＢＤ为直径的０Ｍ恰好过点Ｃ（图３）。 ＯＤ＝４，过点Ｂ、Ｃ且与ｘ轴相切于点Ａ的０ （１）求顶点Ｄ的坐标（用ａ的代数式表示）。 （下转１ １ １页） ｙ ｙ Ａ ，／／，—、＼＼、 Ｏ＼Ｍ ／ ． ’ ‘＾，， 一 ０ Ｄ 图２ 图４ ／ ／ Ｏ Ｖ ／Ｃ ０ ＼＼＼ 图３ 图５ 中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ …Ｉ Ｉ…００ Ｏｈｉｎａ ＥｄｕｃａｔｉＯｎ—Ｉｎｎｏｖａｔｉｏ—ｎ Ｈｅｒａｌｄ 教学案例 此外，我们还可以抓住一些关键之处发问。 （１）抓课题，有些课题直接或间接地反 一，位曾经率领我八路军与日本侵略军浴血 题，稍后请学生回答，为训练学生思维能 力，培养其语言组织能力提供必要的时间 因子，切忌先“点兵点将”，后出示问题。而 题，这些问题对儿童心理发展的作用也是 不同的，因此我们要根据不同的教材对基 ‘中日友谊的使者’。这是为什么呢？” 奋战的将军，却被日本人民称为‘活菩萨’， 映文章的主要内容，点明文章的中心。比如 教学《小草和大树》我们可以这样设计问 题：同学们，今天我们共同学习一篇课文， 当然，课标是我们组织教学的依据，也 在实际教学中我们会采用不同类型的问 是我们提问的重要依据。 这篇课文既不是童话，也不是寓言，题目却 叫《小草和大树 。课文实际上写了什么？为 什么以“小草和大树”为题呢？ 生在认识事物时转化的关键处引疑导学， 刘艳老师在上《船长》一课时，曾设置这样 一２．３根据问题难度。恰当安排答问学生 不同难度的问题要选择不同的学生来 础不同的学生采用恰当的问题。回答。一般来说，引路性提问，要多尖子生； ２．５灵活多样的提问形式 （１）填空式提问。顾名思义，就是运用填 课提问的时间。 （２）抓契机：根据教学的目的要求抓学 综合性问题，要多问优等生，锻炼性提问， 照顾中等生；鼓励性提问，穿插点问学困生。 空的形式出示问题。这种方法可以节约上 提问在不同的时间有不同的效果，因 （２）操作式提问。如《詹天佑》一文，鼓楼 能把学生带入一个兴奋的心境中。如我校 ２．４合理安排提问时间 个问题：船长的一生可以写成厚厚的一 此，教师要善于把握最佳时机。在上课初 小学的陈媛媛老师设计了这样的提问。“请 本书，可是雨果为什么却抓住了船长人生 期，学生的思维相对平静，这时可以提一 你结合课文内容画出‘竖井开凿法’、‘两端 最后一刻的四次命令来写呢？这四次命令 些记忆性的问题，巩固旧知，激起学生的 并进法’和‘人’字形路”。这样既生动形象， 是在什么情况下下达的？读后你又有什么 样的感受呢？ （３）抓重点词、句、段：每一篇课文往往 有一些词句或段落，抓住这些重点词、句、 李慧老师在教学《聂将军和日本小姑娘》时 抓住聂将军被日本人民称为“活菩萨”、“中 兴趣，集中注意力；当学生思维灵活时，可 又简单有效，学生在乐学中理解了课文，掌 多提侧重分析和发散思维的问题，保持学 握了知识。同样的问题还有为丹顶鹤涂色 生的积极思维状态；当课进入尾声时，可多 等。 提一些巩固性、强调性、总结性问题，这 等。 此外，引读、填表式提问在教学中都有 朱熹曾说：“读书无疑者，须教有疑。有 段引疑推导，能够触一发而动全身。如我校 时，可以防止学生走神、说话、做小动作 其不可或缺的重要作用。 课堂提问时还要留给学生足够的思考 疑者却要无疑，到这里方是长进。”对于学 时间。留给学生思考的时间太少，学生的思 习者来说，学习过程实际上是一种提出问 维得不到训练。突击式的提问，不但不能发 日人民友谊的使者”提出问题“在无数可亲 可敬的先辈中，有这样一个人（出示图 片），他的名字叫——聂荣臻。他对新中国的 题、分析问题、解决问题的过程。教师要运 展学生的智力、培养其能力，反而会使学生 用出色的提问引导学生去探索所要达到目 的学习只停留在识记的水平上，不能向更 标的途径，获得知识智慧，养成善于思考的 高层次发展。因此，提问时要坚持先亮出问 习惯和能力。 贡献可谓是功勋卓著。你能用一句话或一 个词概括你所知道的聂荣臻吗？就是这样 （上接１ ０９页） Ｍ，与ｙ轴的另一交点为Ｅ，求点Ａ、Ｅ的坐标。 分析：要求出Ａ点的坐标，可以先证明 抛物线的解析式；（３）判断在（２）中所得的抛物 线上是否存在一点Ｐ，使ＡＤＣＰ ＡＯＣＤ？若 ｉ１＝２・。Ｅ＝￣］—ＡＤ２－—ＡＥ２＝２． ，．４５＿．３ ，．ＤＡ 存在，求出Ｐ点坐标；若不存在，请说明理由。 Ａ点是线段ＯＤ的中点。连结ＡＭ并延长交 ＢＣ于Ｎ，由垂径定理可得ＢＭ＝ＣＭ，易证四 边形ＡＯＢＮ为矩形，从而求出线段ＯＡ的长 度，得到Ａ点坐标。又由切割线定理可得 ＯＡ２＝ＯＥ・ＯＢ，从而求出Ｂ点的坐标。 解：连结ＡＭ并延长交Ｂｃ干Ｎ ‘分析：（１）求Ｄ点的坐标可以转化为解直 角三角形问题。（２）可以利用坐标式求出抛物 １线的解析式。（３）是结论探索型题目。欲判断 ‘在第２４，题中得到的抛物线上是否存在一点 Ｐ，使△ＤＣＰ ＡＯＣＤ，可从代数、几何两个方 面入手去考虑。从代数人手，可先求抛物线 与Ｘ轴的交点坐标，然后证明该点在０Ａ上， 进而证明该点满足条件ＡＤＣＰ ＡＯＣＤ。从 ， ）、。（詈，； ）， ．‘０Ｍ与Ｘ轴相切于点Ａ，． ．ＭＡ Ｊ＿０Ｄ ‘．矩形０ＢＣＤ，．’．ＭＡ上ＢＣ，．‘．ＢＮ＝ＣＮ，又 露ｌ丝 ５ ３ ｒ－：兰９ ｔ １＋３三 １ｂ解得：１ｂ ：三２ ， ｘ：＋矩形０ＡＭＢ，．‘．０Ａ＝ＡＤ＝２即Ａ点的坐标 几何人手，可先考虑０Ａ与ｘ轴的另一交点 为（２，０），又‘．’０Ａ２＝０Ｅ・ＯＢ （设为Ｆ）。不难证明ＡＤＣＦ—ＡＯＣＤ。再证明点 ’．ＯＡ２ ’・・４ ２ ０Ｅ＝ ， 一２４５ 了即Ｅ点的坐标 在（２）中所得的抛物线上，进而知Ｆ即为Ｐ点。 号 ｘ。 本例并未要求判断结论的唯一性，若存在，找 到一个就可以了，在这里，观察、分析，采用合 情推理进行判断起了关键作用（图５）。 为（ｏ， ）。 ５综合题 １ 解：（１）连结ＡＤ，则ＡＤ上ｃＤ于Ｄ，作ＤＥ ｊ＿ＯＡ于Ｅ。 ’． 例５：如图５所示，已知Ａ（１，０）、Ｂ（ ， Ｊ 一 代入ｙ＝一 √ ｘｚ＋ ｘ中，得ｙ＝０，．・．Ｆ（２，ｏ） 点Ａ坐标为（１，０），且０Ｃ＝２ＯＡ，． ． √２），为直角坐标系内两点，点ｃ在ｘ轴负 半轴上，且０Ｃ＝２ＯＡ，以Ａ点为圆心、ＯＡ为 半径作０Ａ。直线ＣＤ切０Ａ于Ｄ点，连结ＯＤ。 ＡＤ 】 ＡＣ＝３，‘．’ｓｉｎ ＡＣＤ＝ ＝ ，．’．ｓｉｎ Ｅ ｌ １ 线ｙ＝一 √ ｘｚ十号√ ｘ上存在一ＡＰ，使△ ＡＤＥ ，‘‘・ＡＥ＝ ，Ｎｉ￣ｉＯＥ １＿ （１）求点Ｄ的坐标；（２）求经过０、Ｂ、Ｄ三点的 中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
