双曲线

刻画双曲线的元素

一，双曲线是圆锥曲线的一种，即平面内与两个定点F1与F2的距离之差的绝对

值等于定长（小于|F1F2|）的点的轨迹

1.第一定义，两个定点F1,F2,|MF1|－|MF2|=常数＜|F1F2|，M的轨迹 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

2，第二定义，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹为双曲线

3双曲线标准方程：

x2y21(a,b0) a2b2注：1.这里b2c2a2，其中|F1F2|=2c.

2.双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上； 如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此 不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出 标准方程后，运用待定系数法求解.

二：双曲线与椭圆性质对比

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名称 定义 椭圆 │PF1│+│PF2│=2a 双曲线 |MF1|－|MF2|=常数＜|F1F2| 方程 范围 x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0） x^2/b^2+y^2/a^2=1 （a>b>0） x2y21(a,b0)a2b2y2x21(a,b0)a2b2b≥x≥-b,a≥y≥-a -a≥x与x≥a范围内 -a≥y与y≥a范围内 对称坐标轴是对称轴，原点是对称中心 性 顶点 （a，0）（-a，0） （b，0）（-b，0） (0，b)（0，-b） （0，a）（0，-a） 渐近无 线 或或a≥x≥-a,b≥y≥-b 离心e=c/a，01，e越大张口越小 c为半虚轴长 三. 1双曲线一般方程：. 22x0y0x2y22.(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部221. abab22x0y0x2y2 (2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部221.

abab- 2 -

3.若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离

比为m︰n. 简证： = .

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

4，关于渐近线的问题

x2y2x2y2b①若双曲线方程为221渐近线方程220yx

aababxyx2y2b ②若渐近线方程为yx0双曲线可设为22

abaabx2y2x2y20， ③若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，

abab焦点在y轴上）

x2y2x2y2 ④与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是22(0) ababx2y2x2y221 ⑤与双曲线221共焦点的双曲线系方程是2akbkab

5.弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1k2x1x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝16几种特殊的双曲线 ① 等轴双曲线：双曲线

1y1y2。 2k称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率

② 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭

双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.

③ 共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近

线为时，它的双曲线方程可设为

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.

7焦点半径公式：对于双曲线方程曲线的上下焦点） “长加短减”原则：

（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双

构成满足

带符号计算，而双曲线不带符号）

（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要

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1）过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.解释：

①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； ③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； ⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入求交和两根之和与两根之积同号.

法与渐近线

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