卷（B卷）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
31. 如果代数式𝑥−2有意义，那么实数𝑥的取值范围是( )
A. 𝑥≠2B. 𝑥>2C. 𝑥≥2D. 𝑥≤2
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 以下列各组数为边，能构成直角三角形的是( )A. 1，1，2
B. 2， 7， 3C. 4，6，8
D. 5，12，11
将直角三角形𝐴𝐵𝐶(∠𝐶=90°)沿𝐶𝐵方向平移𝐶𝐹的4. 如图所示，
长度后，得到直角三角形𝐷𝐸𝐹.已知𝐷𝐺=4，𝐶𝐹=6，𝐴𝐶=10，则( )图中阴影部分的面积是
A. 60B. 50C. 40D. 30
5. 某生产车间生产𝑚个机械零件需要𝑎小时完成，那么该车间生产200个同样的零件需要的
时间( )
A.
200𝑚小时𝑎B. 200𝑎小时
𝑚C.
200𝑎小时𝑚D. 200𝑚小时𝑎6. 如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐸是𝐴𝐵的中点，△𝐴𝐵𝐶的面积为21，
𝐴𝐶=6，𝐴𝐵=8，则△𝐵𝐸𝐷的面积为( )
A.
214B. 5C. 6D. 29第1页，共19页
7. 一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象如图所示，则关于𝑥的不等式𝑘𝑥+
𝑏<0的解集是( )
A. 𝑥>3B. 𝑥<3C. 𝑥>2D. 𝑥<2
8. 如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=45°，𝐴𝐷=2，点𝑀、𝑁分别是边𝐴𝐵、𝐵𝐶上的动点，
连接𝐷𝑁、𝑀𝑁，点𝐸、𝐹分别为𝐷𝑁、𝑀𝑁的中点，连接𝐸𝐹，则𝐸𝐹的最小值为( )
A. 1B. 2 C.
22D. 2 2二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 因式分解：𝑎𝑏2−4𝑎𝑏+4𝑎= ．
10. 若从一个𝑛边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则𝑛= ______ ．
▱𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴(−3,2)，𝐵(在平面直角坐标系中，11. 如图，
−1,−2)，𝐶(3,−2)，则点𝐷的坐标为______ ．
12. 已知关于𝑥的不等式组𝑥<𝑚，其中𝑚在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组
的解集为______ ．
{𝑥−3<1
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在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐵=15°，𝐴𝐵的垂直13. 如图所示，
平分线𝐷𝐸交𝐵𝐶于𝐷，𝐸为垂足，若𝐵𝐷=10𝑐𝑚，则△𝐴𝐷𝐶的周长为______ 𝑐𝑚．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题5.0分)
因式分解：𝑥2𝑦−4𝑦．
15. (本小题5.0分)
解不等式组：
{2𝑥+5≥3．
𝑥+2>0316. (本小题5.0分)
解方程：
21+𝑥=+1．𝑥−2𝑥−217. (本小题5.0分)
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐵的中点，请用尺规作图法，在边𝐴𝐶上求作一点𝐸，使𝐷𝐸=𝐵𝐶(保留作图痕迹，不写作法)．
1218. (本小题5.0分)
如图，已知点𝐵，𝐸，𝐶，𝐹在一条直线上，𝐴𝐵=𝐷𝐹，𝐵𝐶=𝐸𝐹，∠𝐴=∠𝐷=90°.求证：𝐴𝐶//𝐷𝐸．
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19. (本小题5.0分)
化简：(
21𝑥+1−)÷．
𝑥2−2𝑥+1𝑥2−𝑥2𝑥2−2𝑥20. (本小题5.0分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△𝐴𝐵𝐶的顶点坐标分别为𝐴(1,−4)，𝐵(5,−4)，𝐶(4,−1)．
(1)将△𝐴𝐵𝐶平移后，点𝐴(1,−4)的对应点𝐴1是(−1,2)，则点𝐶的对应点𝐶1的坐标为(______ ，______ )；
(2)请画出与△𝐴𝐵𝐶关于原点𝑂成中心对称的△𝐴2𝐵2𝐶2．
21. (本小题6.0分)
完全平方公式经常可以通过适当变形来解决很多的数学问题．(1)若𝑥+𝑦=6，𝑥2+𝑦2=30，求𝑥𝑦的值；(2)若3𝑎+𝑏=7，𝑎𝑏=2，求3𝑎−𝑏的值．
22. (本小题7.0分)
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐵𝐷分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸//𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为点𝐹．(1)求证：𝐵𝐸=𝐷𝐸；
(2)若𝐷𝐸=2，𝐷𝐹= 3，求𝐵𝐷的长．
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23. (本小题7.0分)
长沙市某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，销售一段时间后，果然供不应求.商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售，第二批中最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？
24. (本小题8.0分)
如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸，𝐹分别在𝐴𝐵，𝐶𝐷上，𝐴𝐸=𝐶𝐹．(1)求证：四边形𝐷𝐹𝐵𝐸是平行四边形．
(2)若𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=2，∠𝐴=60°，点𝐸为𝐴𝐵的中点，求四边形𝐷𝐹𝐵𝐸的面积．
25. (本小题8.0分)
某电商平台甲、乙两个直播间的促销活动如下表所示： 直播间甲
活动方案全场六折
“每满100减50”(如：购买190元商品，只需付140元；购买200元商品，只需付
乙
100元)
请根据上述信息，解答下列问题：
(1)在甲、乙个直播间购买标价为𝑥元的商品，实际付款分别为𝑦甲，𝑦乙，当0≤𝑥<200时，
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求𝑦甲，𝑦乙与𝑥之间的函数关系式；
(2)在甲、乙两个直播间标价均为𝑥元(0<𝑥<200)的商品，当𝑥的取值范围是多少时，到甲直播间购买更划算？
26. (本小题10.0分)
请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题．【数学模型】
如图①，𝐴，𝐵是直线𝑙同旁的两个定点，在直线𝑙上确定一点𝑃，使𝑃𝐴+𝑃𝐵的值最小．方法：作点𝐴关于直线𝑙的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵交𝑙于点𝑃，则点𝑃即为所求.此时，𝑃𝐴+𝑃𝐵的值最小，且𝑃𝐴+𝑃𝐵=𝐴′𝑃+𝑃𝐵=𝐴′𝐵．【模型应用】
(1)如图②，经测量得𝐴，𝐵两点到河边𝑙的距离分别为𝐴𝐶=300米，𝐵𝐷=900米，且𝐶𝐷=900米.在𝑙上确定一点𝑃，则𝑃𝐴+𝑃𝐵的最短路径长为______ 米；
(2)如图③，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=9，点𝐸在边𝐶𝐷上，且𝐷𝐸=2𝐶𝐸，点𝑃是对角线𝐴𝐶上一个动点，求𝑃𝐸+𝑃𝐷的最小值；
(3)如图④，在平面直角坐标系中，点𝐴(−2,4)，𝐵(4,2)．
①请在𝑥轴上确定一点𝑃，使𝑃𝐴+𝑃𝐵的值最小，并求出点𝑃的坐标；②请求出𝑃𝐴+𝑃𝐵的最小值．
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答案和解析
1.【答案】𝐴
【解析】解：由题意得：𝑥−2≠0，解得：𝑥≠2，故选：𝐴．
根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不等于零是解题的关键．
2.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：𝐴．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵22+( 3)2=( 7)2，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；C、∵42+62≠82，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵52+112≠122，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：𝐵．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2+𝑏2=𝑐2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
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4.【答案】𝐴
【解析】解：∵将△𝐴𝐵𝐶沿𝐶𝐵向右平移得到△𝐷𝐸𝐹，𝐶𝐹=6，∴𝐴𝐷//𝐵𝐸，𝐴𝐷=𝐵𝐸=6，∴四边形𝐴𝐵𝐸𝐷是平行四边形，
∴四边形𝐴𝐵𝐸𝐷的面积=𝐵𝐸×𝐴𝐶=6×10=60．故选：𝐴．
根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形𝐴𝐵𝐸𝐷是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
本题主要考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
5.【答案】𝐶
【解析】解：根据“某生产车间生产𝑚个机械零件需要𝑎小时完成”知：每一个零件需要的时间为：
𝑎200𝑎200小时，则该车间生产个同样的零件需要的时间为：小时．𝑚𝑚故选：𝐶．
每一个零件需要的时间为：𝑚小时，然后由“该车间生产200个同样的零件”列出代数式．本题主要考查了列代数式(分式).解题的关键是找到等量关系，难度不大．
𝑎6.【答案】𝐶
【解析】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，∴点𝐷到𝐴𝐵和𝐴𝐶的距离相等，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷：𝑆△𝐴𝐶𝐷=𝐴𝐵：𝐴𝐶=8：6=4：3，∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶=×21=12，∵𝐸是𝐴𝐵的中点，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐷=×12=6．故选：𝐶．
先根据角平分线的性质得到点𝐷到𝐴𝐵和𝐴𝐶的距离相等，则利用三角形面积公式得到𝑆△𝐴𝐵𝐷：𝑆△𝐴𝐶𝐷=4：3，所以𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶=12，然后利用𝐸是𝐴𝐵的中点得到𝑆△𝐵𝐸𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐷．
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本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
7.【答案】𝐴
【解析】解：由图可知：
当𝑥>3时，𝑦<0，即𝑘𝑥+𝑏<0；
故关于𝑥的不等式𝑘𝑥+𝑏<0的解集为𝑥>3．故选：𝐴．
一次函数的𝑦=𝑘𝑥+𝑏图象经过点(3,0)，由函数表达式可得，𝑘𝑥+𝑏<0其实就是一次函数的函数值𝑦<0，结合图象可以看出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的头像，注意数形结合的数学思想的应用，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．易错易混点：学生往往由于不理解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误．
8.【答案】𝐶
【解析】解：如图，连接𝐷𝑀，
𝑄𝐸、𝐹分别为𝐷𝑁、𝑀𝑁的中点，∴𝐸𝐹=𝐷𝑀，
∴𝐸𝐹的最小值，就是𝐷𝑀的最小值，当𝐷𝑀⊥𝐴𝐵时，𝐷𝑀最小，∴𝐷𝑀=
122𝐴𝐷= 2 2，∴𝐸𝐹=𝐷𝑀=故选：𝐶．
122，2连接𝐷𝑀，根据中位线的性质得出𝐸𝐹=𝐷𝑀，当𝐷𝑀⊥𝐴𝐵时，𝐷𝑀最小，根据等腰直角三角形的性
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质，勾股定理即可求解．
本题考查了中位线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握中位线的性质是解题的关键．
9.【答案】𝑎(𝑏−2)2
【解析】解：𝑎𝑏2−4𝑎𝑏+4𝑎 =𝑎(𝑏2−4𝑏+4) =𝑎(𝑏−2)2，故答案为：𝑎(𝑏−2)2．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
10.【答案】9
【解析】解：设多边形有𝑛条边，则𝑛−3=6，解得𝑛=9，
故多边形的边数为9，即它是九边形，故答案为：9．
可根据𝑛边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：𝑛−3，列方程求解．
本题考查了多边形的对角线，明确多边形有𝑛条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有(𝑛−3)条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(𝑛−2)个三角形是解题的关键．
11.【答案】(1,2)
【解析】解：∵平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴(−3,2)，点𝐵(−1,−2)，点𝐶(3,−2)，∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶=4，∵𝐴点的横坐标为−3，∴𝐷点的横坐标为4−3=1，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
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∴𝐷点和𝐴点的纵坐标相等为2，∴𝐷点的坐标为(1,2)．故答案为：(1,2)．
根据平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴(−3,2)，点𝐵(−1,−2)，点𝐶(3,−2)，可得𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶=4，进而可以解决问题．
本题考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
12.【答案】𝑥<4
【解析】解：由𝑥−3<1得：𝑥<4，由数轴知𝑚>4，则不等式组解集为𝑥<4，故答案为：𝑥<4．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】(15+5 3)
【解析】解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐵的垂直平分线，∴𝐷𝐴=𝐷𝐵=10𝑐𝑚，∴∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐵=15°，∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵+∠𝐷𝐴𝐵=30°，∵∠𝐶=90°，
∴𝐴𝐶=𝐴𝐷=5(𝑐𝑚)，𝐶𝐷= 3𝐴𝐶=5 3(𝑐𝑚)，∴△𝐴𝐷𝐶的周长=𝐴𝐶+𝐴𝐷+𝐶𝐷=(15+5 3)𝑐𝑚，故答案为：(15+5 3).先利用线段垂直平分线的性质可得：𝐷𝐴=𝐷𝐵=10𝑐𝑚，从而可得∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐵=15°，然后利用三角形的外角性质可得∠𝐴𝐷𝐶=30°，最后在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，利用含30度角的直角三角形的性质求出𝐴𝐶，𝐶𝐷的长，从而利用三角形的周长公式进行计算即可解答．
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本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14.【答案】解：𝑥2𝑦−4𝑦
=𝑦(𝑥2−4) =𝑦(𝑥+2)(𝑥−2)．
【解析】直接提取公因式𝑦，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
15.【答案】解：2𝑥+5≥3②，
解不等式①，得：𝑥>−6，解不等式②，得：𝑥≥−1，∴该不等式组的解集为𝑥≥−1．
【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
{𝑥+2>0①316.【答案】解：∵𝑥−2=
21+𝑥+1，𝑥−2∴方程两边同时乘以(𝑥−2)得：2=1+𝑥+𝑥−2，解得：𝑥=．检验：当𝑥=时，𝑥−2≠0，∴原分式方程的解为𝑥=．
【解析】方程两边同时乘以(𝑥−2)，把分式方程化成整式方程，解整式方程，检验后，即可得出分式方程的解
本题考查了可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键
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17.【答案】解：如图，
点𝐸即为所求．
【解析】根据三角形中位线的性质即可在边𝐴𝐶上求作一点𝐸，使𝐷𝐸=𝐵𝐶．本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是掌握三角形的中位线定理．
1218.【答案】证明：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶和𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐸中，
𝐵=𝐷𝐹{𝐴𝐵𝐶=𝐸𝐹，
∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶≌𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐸(𝐻𝐿)，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐸𝐹，∴𝐴𝐶//𝐷𝐸．
【解析】由“𝐻𝐿”可证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸，可得∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐸𝐹，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质和平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
19.【答案】解：原式=[(𝑥−1)2−𝑥(𝑥−1)]⋅
=𝑥(𝑥−1)2⋅ 𝑥+1=𝑥(𝑥−1)2⋅=
2． 𝑥−1𝑥+12𝑥(𝑥−1) 𝑥+12𝑥−𝑥+12𝑥(𝑥−1)212𝑥(𝑥−1) 𝑥+1【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，把分式通分和约分．
20.【答案】2 5
【解析】解：(1)∵将△𝐴𝐵𝐶平移后，点𝐴(1,−4)的对应点𝐴1是(−1,2)，∴将△𝐴𝐵𝐶向左平移2格，向上平移6格，∴𝐶1(2,5)，
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故答案为：2，5；
(2)如图，△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求．
(1)根据点𝐴的对应点𝐴1坐标，可知平移方式，从而得出答案；
(2)根据中心对称的性质可得答案．
本题主要考查了作图−平移变换，中心对称变换等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵𝑥+𝑦=6，𝑥2+𝑦2=30，
∴2𝑥𝑦=(𝑥+𝑦)2−(𝑥2+𝑦2) =62−30 =6，∴𝑥𝑦=3，∴𝑥𝑦的值为3；
(2)∵3𝑎+𝑏=7，𝑎𝑏=2，∴(3𝑎−𝑏)2=(3𝑎+𝑏)2−12𝑎𝑏 =72−12×2 =49−24 =25，
∴3𝑎−𝑏=±5，∴3𝑎−𝑏的值为±5．
【解析】(1)利用完全平方公式进行计算，即可解答；(2)利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵𝐵𝐷分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷．∵𝐷𝐸//𝐴𝐵，∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐷．∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐸𝐷𝐵．
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∴𝐷𝐸=𝐸𝐵．(2)解：∵∠𝐶=90°，∴𝐷𝐶⊥𝐵𝐶．
又∵𝐵𝐷分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐷，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，∴𝐶𝐷=𝐷𝐹= 3．在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐸= 𝐷𝐸2−𝐶𝐷2=1．∵𝐷𝐸=𝐸𝐵=2，∴𝐵𝐶=𝐶𝐸+𝐸𝐵=3．在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐵中，
𝐵𝐷= 𝐶𝐷2+𝐵𝐶2= 3+9=2 3．
【解析】(1)利用角平分线的性质和平行线的性质先说明∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐸𝐷𝐵，再利用等腰三角形的判定得结论；
(2)利用角平分线的性质先得到𝐶𝐷=𝐷𝐹，再在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中利用勾股定理求出𝐶𝐸的长，最后在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐵中利用勾股定理求出𝐵𝐷的长．
本题主要考查了角平分线和等腰三角形，掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定、勾股定理是解决本题的关键．
：(1)设该商家购进的第一批衬衫是𝑥件，则购进第二批这种衬衫是2𝑥件，依题意有23.【答案】解
1320028800+10=，2𝑥𝑥解得𝑥=120，
经检验，𝑥=120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
(2)3𝑥=3×120=360，设每件衬衫的标价𝑦元，依题意有
(360−50)𝑦+50×0.8𝑦≥(13200+28800)×(1+25%)，解得𝑦≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
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【解析】(1)可设该商家购进的第一批衬衫是𝑥件，则购进第二批这种衬衫是2𝑥件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；
(2)设每件衬衫的标价𝑦元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴点𝐵与点𝐷关于𝐴𝐶对称．∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷．∴𝑃′𝐷=𝑃′𝐵．∴𝐷𝐹//𝐵𝐸．
∴𝑃′𝐷+𝑃′𝐸=𝑃′𝐵+𝑃′𝐸=𝐵𝐸最小．
∵𝐴𝐸=𝐶𝐹，即𝑃在𝐴𝐶与𝐵𝐸的交点上时，𝑃𝐷+𝑃𝐸最小即为𝐵𝐸的长度．∴𝐵𝐸=𝐷𝐹．
∴四边形𝐷𝐹𝐸是平行边四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形；(2)解：由(1)可知四边形𝐷𝐹𝐵𝐸是平行四边形，过𝐷作𝐷𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，
∵𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=2，∠𝐴=60°，𝐸为𝐴𝐵中点，∴𝐴𝐸=2=𝐴𝐷，∴△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，∴𝐷𝐺= 3，∴四边形𝐷𝐹𝐵𝐸的面积=𝐵𝐸⋅𝐷𝐺=2 3．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和平行四边形的判定解答即可；(2)根据等边三角形的性质和面积公式解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行且相等解答．
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25.【答案】解：(1)∵甲直播间全场六折，
∴𝑦甲=0.6𝑥，
又∵乙直播间是“每满100减50“，根据题意得：
𝑥(0≤𝑥<100)
𝑦乙=𝑥−50(100≤𝑥<200)；
(2)当0<𝑥<100时，甲直播间购买需花费0.6𝑥元，乙直播间需花费𝑥元，∵𝑥>0.6𝑥，
∴在甲直播间购买更划算；
当100≤𝑥<200时，甲直播间购买需花费0.6𝑥元，乙直播间需花费(𝑥−50)元，当0.6𝑥<𝑥−50时，解得𝑥<125，
∴当100≤𝑥<125时，到甲直播间购买更划算，综上，当0<𝑥<125时，到甲直播间购买更划算．
【解析】(1)甲直播间全场六折，𝑦甲=0.6𝑥，乙直播间是“每满100减50“，根据题意得：𝑦乙；(2)当0<𝑥<100时，甲直播间购买需花费0.6𝑥元，乙直播间需花费𝑥元，𝑥>0.6𝑥，在甲直播间购买更划算；当100≤𝑥<200时，甲直播间购买需花费0.6𝑥元，乙直播间需花费(𝑥−50)元，当0.6𝑥=𝑥−50时，解得𝑥，进而求出范围到甲直播间购买更划算．
本题考查一次函数实际应用，解题的关键是对一次函数和一元一次不等式的知识的熟练掌握．
{26.【答案】1500
【解析】解：(1)延长𝐴𝐶至𝐴′，连接𝐵𝐴′交𝐶𝐷于点𝑃，
则点𝑃即为所求的“将军饮马”的位置，作𝐴′𝐸⊥𝐵𝐷交𝐵𝐷的延长线于点𝐸，
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则四边形𝐶𝐴′𝐸𝐷为矩形，
∴𝐷𝐸=𝐴′𝐶=𝐴𝐶=300米，𝐴′𝐸=𝐶𝐷=900米，∴𝐵𝐸=𝐵𝐷+𝐷𝐸=1200米，
由勾股定理得，𝐴′𝐵= 𝐴′𝐸2+𝐵𝐸2= 9002+12002=1500(米)，则𝑃𝐴+𝑃𝐵=𝐴′𝐵=1500米，故答案为：1500；
(2)如图3，连接𝐵𝐸，设𝐵𝐸与𝐴𝐶交于点𝑃′，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，∴点𝐵与𝐷关于𝐴𝐶对称，∴𝑃′𝐷=𝑃′𝐵，
∴𝑃′𝐷+𝑃′𝐸=𝑃′𝐵+𝑃′𝐸=𝐵𝐸最小．
即𝑃在𝐴𝐶与𝐵𝐸的交点上时，𝑃𝐷+𝑃𝐸最小，为𝐵𝐸的长度．∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐴𝐵=9，𝐷𝐸=2𝐶𝐸，∴𝐵𝐶=𝐶𝐷=9，𝐶𝐸=𝐶𝐷=3，
在直角△𝐶𝐵𝐸中，∠𝐵𝐶𝐸=90°，𝐵𝐶=9，𝐶𝐸=3，∴𝐵𝐸= 92+32=3 10．∴𝑃𝐷+𝑃𝐸最小值为3 10；(3)①作点𝐵关于𝑥轴的对称点𝐵′，连接𝐴𝐵′交𝑥轴于点𝑃，则点𝑃即为所求．此时，𝑃𝐴+𝑃𝐵的值最小，
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∵点𝐵(4,2)．∴𝐵′(4,−2)，
设直线𝐴𝐵′的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，∵点𝐴(−2,4)，点𝐵′(4,−2)．4=−2𝑘+𝑏𝑘=−1∴−2=4𝑘+𝑏，解得：𝑏=2，∴直线𝐴𝐵′的解析式为𝑦=−𝑥+2，当𝑦=0时，−𝑥+2=0，解得：𝑥=2，∴点𝑃的坐标为(2,0)；
②∵点𝐴(−2,4)，点𝐵(4,2)，点𝐵′(4,−2)，点𝑃的坐标(2,0)．∴𝑃𝐴+𝑃𝐵的最小值= 42+42+ 22+22=4 2+2 2=6 2．(1)根据轴对称的性质确定“将军饮马”的位置点𝑃，作𝐴′𝐸⊥𝐵𝐷交𝐵𝐷的延长线于点𝐸，根据矩形的性质分别求出𝐷𝐸、𝐴′𝐸，根据勾股定理求出𝐴′𝐵，得到𝑃𝐴+𝑃𝐵，即可求解；
(2)由于点𝐵与𝐷关于𝐴𝐶对称，所以连接𝐵𝐸，与𝐴𝐶的交点即为𝑃点．此时𝑃𝐸+𝑃𝐷=𝐵𝐸最小，而𝐵𝐸是直角△𝐶𝐵𝐸的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
(3)①作点𝐵关于𝑥轴的对称点𝐵′，连接𝐴𝐵′交𝑥轴于点𝑃，则点𝑃即为所求．此时，𝑃𝐴+𝑃𝐵的值最小，可得出𝐵′(4,−2)，利用待定系数法求出𝐴𝐵′的解析式，即可得点𝑃的坐标；②根据勾股定理即可求得𝑃𝐴+𝑃𝐵的最小值；
本题是四边形综合题，考查的是轴对称−最短路径问题、正方形的性质、勾股定理，掌握轴对称−最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
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