二次函数图像和性质习题精选(含答案)

二次函数图像和性质习题精选（含答案）

一.选择题（共30小题）

1．(２014•宁夏)已知a≠0,在同一直角坐标系中，函数y=ａx与y=ax2的图象有可能是( ） Ａ． B． Ｃ. D．

2.（2014•北海）函数ｙ＝ax2+1与y=(a≠０）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） Ａ .

B．

C.

Ｄ.

２

3.(２０14•遵义)已知抛物线ｙ=ax+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是( ） A． Ｂ. C. Ｄ.

４．(2014•南昌)已知反比例函数ｙ=的图象如图,则二次函数y=2kｘ2﹣４x+k2的图象大致为（ ）

A．

B.

C．

Ｄ.

5．（201４•泰安)二次函数ｙ=ax2＋ｂｘ+c(a，ｂ,c为常数,且a≠0)中的x与ｙ的部分对应值如下表： X ﹣1 0 １ 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： （1）ac＜0；

--

--

(2)当x>１时,y的值随x值的增大而减小.

(３）3是方程ax+(b﹣1)x+c=０的一个根; (4)当﹣１6.(201４•广东)二次函数ｙ=aｘ2+bx＋ｃ（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数,下列说法错误的是（ ）

２

A． 函 数有最小值

C．

当x<,y随x的增大而减小

7．(201４•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=２与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线ｙ＝ｘ2+bx+c的顶点，则方程x2+ｂx+c＝1的解的个数是( ）

Ｂ.

对称轴是直线x=

D．当 ﹣1＜x＜2时,y>0

Ａ． 0或2

Ｂ. 0或1

２

C． 1或2 Ｄ． 0,1或２

8．（2014•淄博)已知二次函数y=a（x﹣h)+k（a＞0），其图象过点A(０，2)，B（8,３),则h的值可以是（ )

A. 6 B. 5 Ｃ． 4 D． 3

９.（2０1３•徐州)二次函数y=aｘ+bx+ｃ图象上部分点的坐标满足下表：

… … x ﹣３ ﹣2 ﹣1 ０ １ … y ﹣３ ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …

则该函数图象的顶点坐标为（ ） A. （﹣3，﹣3） B． (﹣2，﹣2) Ｃ． （﹣１,﹣3) D. (0,﹣６)

10．(20１3•南宁)已知二次函数ｙ=ax2+bx+ｃ（a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是( )

２

--

--

A ．图 象关于直线ｘ=1对称 B. 函数y=ａx2+ｂｘ+c(a≠0）的最小值是﹣4 C. ﹣1和3是方程ax2+ｂx+ｃ＝０(a≠0）的两个根 D ．当 x＜1时，y随x的增大而增大

1１.(２0１2•济南)如图，二次函数的图象经过（﹣2,﹣１）,(1，1)两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是( ）

A ．ｙ 的最大值小于0 B. 当ｘ=0时,y的值大于１ C. 当x＝﹣1时，ｙ的值大于1 Ｄ. 当x=﹣３时，y的值小于0 12．（20１2•德阳）设二次函数y=x2+bx＋c,当x≤1时,总有y≥0，当１≤x≤３时,总有y≤0,那么c的取值范围是（ )

c≥3 1≤c≤3 A. ｃ=3 Ｂ． C． D. ｃ≤3

13．(200９•）如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是( ）

A． h ＝m Ｂ． k＝n C． ｋ＞n D. h>0,k>0 １4．（2０09•丽水)已知二次函数ｙ=aｘ2＋bx+c（a≠0)的图象如图所示,给出以下结论：①a＞０;②该函数的图象关于直线x＝1对称；③当x＝﹣1或ｘ=3时,函数ｙ的值都等于０.其中正确结论的个数是（ )

A. 3 B． 2 C. 1 D． 0

1５．(2009•南昌）二次函数y=ａx2＋bx+c(ａ≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是（ ）

--

--

A． ac<0 B. 当ｘ=１时，y＞0 C. 方程ax2+bx+c=0(a≠0）有两个大于１的实数根 Ｄ． 存在一个大于1的实数x０,使得当x＜ｘ０时,y随x的增大而减小；当x＞x０时，y随ｘ的增大而增大

16.(200８•仙桃)如图,抛物线y=ａx２

+bx+c(a>０)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3，0),则a﹣b+c的值为(

A． ０ B. ﹣１ C． １ D. 2

17．（２007•烟台）下列图中阴影部分的面积相等的是（ )

Ａ . ①② B．② ③ Ｃ．③ ④ D．① ④

18．(2007•达州)已知抛物线y=ax2+bx＋c（ａ<0)的部分图象如图所示,当y>0时，x的取值范围是（ )

A. ﹣2C. x＜﹣２或x＞2 D． x＜﹣４或x>2

19．（2０07•泰州）已知：二次函数y＝x2﹣4ｘ﹣a,下列说法错误的是（ ） Ａ． 当x<1时,y随x的增大而减小 Ｂ． 若图象与x轴有交点,则a≤4 C. 当a＝３时,不等式ｘ2﹣4x+a<0的解集是1--

)

--

２0．（20０9•塘沽区一模)下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的几组对应值,那么方程ａｘ2＋bｘ+c=0的一个近似解可以是（ ) ｘ ３.3 3.4 3.5 3.6 y ﹣０.06 ﹣0.0２ 0.０3 0.０9 A． ３ ．25 B. 3.3５ C． ３.45 D. 3.55

２1.(2010•徐汇区一模)已知二次函数y=ａx2+bx+c的y与ｘ的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是

（ )

A. 物线开口向上 抛B． 抛物线与ｙ轴交于负半轴 C. 当 x=3时,ｙ＜0 D． 方程ax2+bx＋c=０有两个相等实数根 22．(201３•沙湾区模拟)已知二次函数y1=ax2+bｘ＋c(a≠0）与一次函数ｙ2=kｘ＋ｍ(ｋ≠０）的图象相交于点A(﹣2，4），B(8，2）（如图所示),则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（ )

A ．x ＞2

B． ｘ＜﹣2

C． x>0

D． ﹣2＜x<8

(ａ≠0)的图象如图所示．在这个范围内,有结论：

2３.(2０12•北辰区一模)在﹣3≤ｘ≤0范围内,二次函数①y１有最大值1、没有最小值;

②y1有最大值1、最小值﹣3; ③函数值y1随x的增大而增大;

２

④方程aｘ+bx+c=2无解; ⑤若y2=2x＋4，则y1≤y2. 其中正确的个数是（ )

A． 2

B． 3

C. 4

Ｄ． 5

--

--

２4.（２011•苏州模拟)抛物线y＝﹣x+bx＋c上部分点的横坐标ｘ,纵坐标y的对应值如下表： ｘ… ﹣2 ﹣1 1 3 4 … y … 0 4 6 4 0 …

根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是ｘ＝1；②x＞1时，y的值随着ｘ的增大而减小:③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为3６.其中正确说法的个数有( ) A. １B． 2 C． 3 Ｄ． ４

2５.(２０１０•河北）如图,已知抛物线y＝x2+bｘ+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上,且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3）,则点B的坐标为( ）

２

A ．( 2，3）

B. （3，２）

２

Ｃ. (3，3） Ｄ． (4，３)

２6．如图为二次函数y=aｘ+bx+c的图象，给出下列说法:①ａb<0；②方程ax2+bｘ+c=0的根为x1＝﹣1,x２=3；

③a+b+ｃ>0；④当x＜1时，y随ｘ值的增大而增大；⑤当y>0时，ｘ<﹣1或ｘ>３．其中,正确的说法有( ）

①②⑤ ①③⑤ ②④⑤ A ．① ②④ Ｂ． C． D．

２7．已知二次函数y=x2+2（a﹣１)x+２.如果ｘ≤4时,ｙ随x增大而减小，则常数a的取值范围是( ) A. a≥﹣5 B． a≤﹣5 C. a≥﹣3 D． a≤﹣3

28.如图,平行于ｙ轴的直线l被抛物线y＝０.5x2+1,y＝0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时,直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为( )平方单位．

A. 3Ｂ. ４ Ｃ. 6 D． 无法可求

29．已知直线经过点A(0,２)，Ｂ(2，0），点Ｃ在抛物线y=ｘ2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（ )个.

--

--

A ．４

３0.如图，已知抛物线

Ｂ． 3

Ｃ. ２

D. １

，直线y2＝3x+3,当ｘ任取一值时,ｘ对应的函数值分别为ｙ1，ｙ2．若y1≠y2,

取y1，y２中的较小值记为M；若ｙ１=y２,记M＝y１＝y2.下列判断：

①当x>0时，ｙ1＞y2;②使得M大于３的ｘ值不存在;③当x<０时,x值越大，M值越小； ④使得M=1的ｘ值是

或

．

其中正确的是( ）

Ａ . ①③ B.

②④

Ｃ. ①④ --

D．②

③ --

二次函数图像和性质习题精选（含答案）

参与试题解析

一.选择题（共30小题) 1．（２０14•宁夏)已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与ｙ=aｘ2的图象有可能是( ) A ． Ｂ． Ｃ. D．

考点: 二次函数的图象；正比例函数的图象． 专题： 数形结合．

２

分析: 本题可先由一次函数y＝aｘ图象得到字母系数的正负,再与二次函数y＝ax的图象相比较看是否一致．(也

可以先固定二次函数ｙ=ax图象中a的正负,再与一次函数比较.）

解答： 解：Ａ、函数y=aｘ中,a>０，y＝aｘ2中，ａ＞0,但当x=1时，两函数图象有交点（1,a)，故Ａ错误; B、函数y=ax中,ａ<0,ｙ＝ax中,a＞0，故B错误;

C、函数y=ａx中,a＜0,y=ax2中,a<０，但当ｘ=1时,两函数图象有交点（1，a)，故Ｃ正确；

２

Ｄ、函数y=ａx中,a>０,y=aｘ中,a＜0,故D错误． 故选：C.

点评: 函数中数形结合思想就是:由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号,由函数解析式各项系数的性质

符号画出函数图象的大致形状．

2.（20１4•北海)函数y＝aｘ+1与y=(ａ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ） A.

B．

C．

D．

２

２

２

考点： 二次函数的图象;反比例函数的图象．

分析： 分a＞0和a<０两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可. 解答： 解：a＞０时,y＝aｘ2＋1开口向上,顶点坐标为（0，１),

y=位于第一、三象限，没有选项图象符合, ａ<0时,y＝ax2+1开口向下,顶点坐标为（0，1)， y=位于第二、四象限，B选项图象符合．

故选:B.

点评： 本题考查了二次函数图象与反比例函数图象,熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．

3.(2０１4•遵义）已知抛物线y=ax2+ｂx和直线y=ａｘ＋b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）

--

--

A．

B.

C.

D.

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．

分析： 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负,再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致.逐一

排除．

解答: 解：Ａ、由二次函数的图象可知a＜0,此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；

Ｂ、二次函数的图象可知a<0，对称轴在y轴的右侧,可知ａ、b异号，b＞0，此时直线ｙ=ax+ｂ经过一、二、四象限,故Ｂ可排除；

Ｃ、二次函数的图象可知a>0,此时直线ｙ=ax+ｂ经过一、三,故C可排除; 正确的只有Ｄ. 故选：D.

点评： 此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象,应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟

练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.

4.（2014•南昌）已知反比例函数ｙ＝的图象如图,则二次函数ｙ=２kx2﹣4x+k2的图象大致为（ ）

A.

B.

C.

D．

考点: 二次函数的图象;反比例函数的图象．

分析: 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数ｋ＜﹣1,再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比

较看是否一致，最终得到答案．

解答：

解：∵函数y＝的图象经过二、四象限,∴k<0,

由图知当ｘ＝﹣1时，ｙ=﹣k>１,∴k<﹣１, ∴抛物线ｙ=2ｋx2﹣４x+ｋ2开口向下, 对称为x=﹣

=，﹣1＜＜0,

∴对称轴在﹣1与0之间, 故选:D.

点评: 此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用,正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是

解题关键．属于基础题．

--

--

5.(２０1４•泰安）二次函数y=ax2＋bx＋c(ａ,ｂ，c为常数,且a≠0)中的x与ｙ的部分对应值如下表： X ﹣１ 0 1 3 y ﹣1 3 ５ ３ 下列结论: （1)ac<0；

（2）当x>1时,y的值随x值的增大而减小． （3)3是方程ax2＋(b﹣１)x+c=0的一个根； (4）当﹣１＜ｘ＜３时,ax2+(ｂ﹣1）ｘ+c＞0. 其中正确的个数为( ） A. 4个 B. 3个 Ｃ. 2个 D. 1个

考点： 二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系;抛物线与ｘ轴的交点;二次函数与不等式(组）. 专题： 图表型．

分析： 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=１．5,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 解答: 解：(1)由图表中数据可得出：x＝１时，y=5,所以二次函数ｙ=ax2＋bｘ+c开口向下，ａ<0；又x=0时,ｙ=3,

所以c=3>０,所以ac＜0，故（1)正确;

（2)∵二次函数y=ax+ｂｘ+c开口向下,且对称轴为x=

２

=１.５,∴当x>1.5时,ｙ的值随ｘ值的增大而减

小,故(2)错误；

(3）∵x=3时，y=3，∴9a+３b+c=3,∵ｃ＝3，∴9a+3ｂ＋3=3,∴9ａ＋3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣１）x+c=0的一个根,故（3）正确；

（４）∵x=﹣1时，ax+bｘ+c＝﹣１,∴ｘ=﹣１时，ax2+（ｂ﹣１)x+ｃ＝0,∵x=3时,aｘ＋(b﹣１)x+ｃ=0，且函数有最大值,∴当﹣1点评: 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式,有一定

难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

6.（２014•广东）二次函数y=ax2＋ｂx＋c（a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是（ )

２

２

Ａ . 函数有最小值

C ．

当ｘ<，ｙ随x的增大而减小

B.

对称轴是直线ｘ=

D． 当﹣1＜x<2时,y>0

考点： 二次函数的性质． 专题： 数形结合．

分析： 根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断Ａ；

根据图形直接判断B；

根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；

根据图象,当﹣1＜ｘ<2时,抛物线落在x轴的下方，则ｙ<０,从而判断D.

解答： 解：A、由抛物线的开口向上，可知a>0，函数有最小值，正确,故Ａ选项不符合题意;

--

--

B、由图象可知，对称轴为x=,正确，故Ｂ选项不符合题意;

C、因为a＞0,所以，当ｘ＜时，y随x的增大而减小，正确,故Ｃ选项不符合题意；

D、由图象可知,当﹣１＜x<２时，y＜0，错误,故D选项符合题意． 故选：D.

点评： 本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题.

7．（2014•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=２与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线ｙ＝x+bx+c的顶点，则方程x+bx+c=１的解的个数是（ ）

２

２

A． 0或2 Ｂ． 0或1 C. 1或２ D. 0，1或2

考点: 二次函数的性质.

专题： 数形结合；分类讨论；方程思想．

分析： 分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于１；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程

ｘ2+bｘ+ｃ=１的解的个数.

解答: 解:分三种情况：

点Ｍ的纵坐标小于1，方程x+bｘ+c＝１的解是2个不相等的实数根； 点M的纵坐标等于1，方程ｘ2＋bｘ＋c=1的解是2个相等的实数根； 点Ｍ的纵坐标大于1，方程ｘ＋bx＋c=1的解的个数是０． 故方程x2＋bｘ＋c=１的解的个数是０或1或２．

故选：D．

点评： 考查了二次函数的性质,本题涉及分类思想和方程思想的应用．

8.（2014•淄博）已知二次函数ｙ=a(x﹣ｈ)+k(ａ＞0），其图象过点Ａ(0，２），B（8,3）,则h的值可以是（ ) Ａ． ６ Ｂ. ５ C． 4 D． 3

考点： 二次函数的性质． 专题: 计算题.

分析： 根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线ｘ=ｈ,由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧

时，比较点A和点Ｂ到对称轴的距离可得到h<４．

解答： 解:∵抛物线的对称轴为直线x＝h，

∴当对称轴在y轴的右侧时，A(0,2)到对称轴的距离比B(８,3)到对称轴的距离小, ∴x=h＜4. 故选:Ｄ．

２

２

２

--

--

点评：

本题考查了二次函数的性质：二次函数y=aｘ2+bx+c(ａ≠0)的顶点坐标为（﹣﹣

,

）,对称轴直线x=

，二次函数ｙ=ax2+ｂx＋c（a≠0)的图象具有如下性质:①当a＞0时,抛物线ｙ=ax2＋bx＋c（ａ≠0)的开

时,y随ｘ的增大而减小；x>﹣

时，y随x的增大而增大；x=﹣

时,ｙ取得最小值

口向上,ｘ<﹣

,即顶点是抛物线的最低点.②当a＜0时，抛物线y=ax+bx＋ｃ（a≠０）的开口向下,ｘ＜﹣

２

时,y

随ｘ的增大而增大;ｘ＞﹣的最高点．

时,y随ｘ的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值,即顶点是抛物线

9.（２013•徐州）二次函数y=aｘ2＋bx+c图象上部分点的坐标满足下表:

… … ｘ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 １ … y ﹣３ ﹣２ ﹣3 ﹣6 ﹣１1 …

则该函数图象的顶点坐标为( ） A ．（ ﹣3，﹣3) B． (﹣2,﹣2） C． (﹣１，﹣3) D． (0，﹣6)

考点: 二次函数的性质． 专题: 压轴题．

分析: 根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可. 解答： 解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等,

∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2, ∴顶点坐标为(﹣2,﹣2）． 故选B.

点评: 本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键.

１０．（２0１3•南宁）已知二次函数y=ａx2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是（ )

A ．图 象关于直线x=1对称 B. 函数y=ａｘ2+bｘ+c（a≠０）的最小值是﹣4

２

C. ﹣１和3是方程ax+bx+c=０（a≠０）的两个根 Ｄ . 当x＜1时，ｙ随x的增大而增大

考点： 二次函数的性质．

分析: 根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质,即可对所得结论进行判断. 解答: 解:A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=１,则图象关于直线ｘ＝１对称,正确，故本选项不符合题意；

B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为(1,﹣4)，又抛物线开口向上,所以函数y＝aｘ＋bx+c（ａ≠0）的最

小值是﹣4，正确,故本选项不符合题意;

２

--

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C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣１,0）,而对称轴为直线x＝1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为(3，０),则﹣1和3是方程ax2+ｂx+ｃ＝0（a≠0)的两个根,正确，故本选项不符合题意;

Ｄ、由抛物线的对称轴为x=１，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意． 故选D.

点评： 此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是利用数形结合思想解题．

11．(2０12•济南)如图,二次函数的图象经过(﹣2,﹣１)，（1，１）两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是( )

A. ｙ的最大值小于０ B． 当ｘ=0时，y的值大于１ C ． 当x=﹣1时,ｙ的值大于1 D. 当x=﹣3时，y的值小于0

考点： 二次函数的图象;二次函数的性质． 专题: 压轴题．

分析: 根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答．

解答: 解:A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0;故本选项错误;

B、由图象知，当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在(1,１）点的左边，故y<1；故本选项错误；

C、对称轴在(1,1）的右边,在对称轴的左边ｙ随ｘ的增大而增大,∵﹣1<1,∴x＝﹣1时,ｙ的值小于x=1时,ｙ的值1,即当x=﹣１时,y的值小于1;故本选项错误；

D、当x＝﹣3时,函数图象上的点在点(﹣２,﹣1）的左边，所以y的值小于0;故本选项正确. 故选D．

点评： 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、

与x轴的交点等知识.

12．（2012•德阳）设二次函数ｙ=x＋bｘ+ｃ，当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤３时,总有y≤０,那么c的取值范围是（ )

1≤c≤3 c≤3 Ａ . c=3 B． ｃ≥3 C. D.

考点： 二次函数的性质. 专题: 压轴题．

分析: 因为当x≤1时，总有ｙ≥0,当1≤ｘ≤3时，总有ｙ≤0，所以函数图象过（1，0)点，即1+b+c=０①，由题意可

知当ｘ=3时,y=９+3b+c≤0②,所以①②联立即可求出c的取值范围.

解答: 解:∵当ｘ≤1时,总有ｙ≥０，当１≤x≤３时，总有y≤０,

∴函数图象过（１,０)点,即1+b+c＝0①, ∵当１≤x≤3时，总有y≤0， ∴当x=3时,y＝9+３b+c≤0②, ①②联立解得：c≥3, 故选B．

点评: 本题考查了二次函数的增减性,解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，０）,再代入函数的解析式得

到一次项系数和常数项的关系．

13.（2０0９•)如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )

２

--

--

A. h=m Ｂ. k=n C． k>n Ｄ． h＞0,ｋ＞０

考点： 二次函数的图象. 专题: 压轴题．

分析： 借助图象找出顶点的位置,判断顶点横坐标、纵坐标大小关系． 解答: 解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m,n),

因为点(ｈ，k)在点(m,ｎ）的上方,所以k＝n不正确. 故选:Ｂ.

点评： 本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．

14.（2009•丽水)已知二次函数ｙ=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①ａ>0；②该函数的图象关于直线x=１对称;③当ｘ=﹣1或x＝3时,函数ｙ的值都等于0．其中正确结论的个数是（ ）

A ．3 B． ２ C． 1 D. 0

考点: 二次函数的性质.

分析： 根据抛物线的性质解题.

解答: 解:①抛物线开口向下，a<0,所以①错误；

②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形,所以②该函数的图象关于直线x=1对称，正确； ③当x＝﹣1或x＝3时,函数y的值都等于0,也正确． 故选B．

点评： 本题考查了抛物线的开口方向，轴对称性和与x轴的交点等知识．

15.(20０9•南昌）二次函数y=ａx2＋bｘ+c(a≠０）的图象如图所示,下列结论正确的是( )

A． ａc<0 B. 当x=1时,y＞０

２

C． 方程ax+bｘ+c=0(a≠０)有两个大于1的实数根 Ｄ． 存在一个大于１的实数x0,使得当xｘ0时,y随x的增大而增大

--

--

考点： 二次函数的性质. 专题: 压轴题．

分析： 根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，逐一判断．

解答: 解：A、抛物线开口向上,a＞0,抛物线与y轴交于正半轴,ｃ＞0，所以ａｃ>0，错误;

Ｂ、由图象可知,当ｘ=１时，y<0,错误;

C、方程aｘ2+bx＋c=0(ａ≠0)有一个根小于1，一个根大于1，错误;

D、存在一个大于１的实数x０,使得当x＜x0时,y随ｘ的增大而减小；当x＞x0时，y随ｘ的增大而增大,正确. 故选Ｄ.

点评： 本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，涉及的知识面比较广． 16.（20０8•仙桃)如图,抛物线ｙ=ax2＋bｘ＋c（a＞0)的对称轴是直线ｘ=1,且经过点P(3，0）,则ａ﹣b+c的值为( ）

A. 0 Ｂ. ﹣1 C. 1 D． 2

考点： 二次函数的图象． 专题: 压轴题．

分析： 由“对称轴是直线x＝1,且经过点P(３,0）”可知抛物线与ｘ轴的另一个交点是(﹣1，0)，代入抛物线方程即

可解得.

解答： 解:因为对称轴ｘ＝1且经过点P（３,0)

所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣１,０）

代入抛物线解析式y=ａx2+ｂx+ｃ中,得ａ﹣b＋c=0. 故选A．

点评： 巧妙利用了抛物线的对称性．

17.(２0０7•烟台）下列图中阴影部分的面积相等的是( )

①② ②③ ③④ ①④ Ａ． B. C． D.

考点： 二次函数的图象;一次函数的图象；反比例函数的图象. 专题: 压轴题.

分析： 根据坐标系的点的坐标特点，分别求出三角形的底和高,计算面积，再比较. 解答： 解:①与坐标轴的两个交点为（0,２)(2，0),阴影部分的面积为2×２÷２=2；

②当x=1时,ｙ=3,阴影部分的面积为1×3÷2＝1.5；

③与x轴的两个交点的横坐标为﹣1，1,两点间的距离为:１﹣（﹣1）=2，与ｙ轴的交点为（０,﹣1)．阴影部分的面积为2×１÷２=1；

④当x=1时，y=4,阴影部分的面积为1×4÷2＝2．

--

--

①④面积相等. 故选D．

点评: 解决本题的关键是根据各函数的特点得到相应的三角形的边以及边上的高．

１８．（20０7•达州）已知抛物线y＝ａx2＋bｘ+ｃ（a＜0)的部分图象如图所示,当y＞0时,x的取值范围是（ )

A． ﹣ 2考点: 二次函数的图象． 专题: 压轴题.

分析: 先根据对称轴和抛物线与ｘ轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y＞０时,ｘ的取值

范围．

解答： 解：因为抛物线过点（2,0)，对称轴是x=﹣1,

根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点(﹣4，０)， 因为抛物线开口向下,ｙ＞0时,图象在x轴的上方， 此时,﹣4＜x<2． 故选Ｂ．

点评: 解答本题，利用二次函数的对称性,关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向,形数结合,得出结论．

B. ﹣4＜x＜2

19.（2０07•泰州)已知:二次函数y＝x﹣4x﹣a,下列说法错误的是（ ）

A ．当 x＜1时,y随x的增大而减小 B． 若图象与x轴有交点,则a≤4 C. 当a=3时，不等式x2﹣4x+ａ＜０的解集是1＜x<3 D． 若 将图象向上平移1个单位，再向左平移３个单位后过点（1,﹣2)，则a=3

考点： 二次函数的性质;二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点;二次函数与不等式(组). 专题： 压轴题.

分析: A、当x＜１时,在对称轴右侧，由此可以确定函数的单调性;

Ｂ、若图象与x轴有交点,即△＝16＋4a≥０,利用此即可判断是否正确;

２

C、当a=3时,不等式x2﹣4ｘ+a＜0的解集可以求出,然后就可以判断是否正确； D、根据平移规律可以求出a的值，然后判断是否正确．

解答: 解:二次函数为y＝x2﹣4x﹣a,对称轴为ｘ＝2,图象开口向上.则：

A、当ｘ＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确;

B、若图象与x轴有交点，即△=16+4ａ≥０则a≥﹣4,故选项错误；

C、当a＝3时，不等式x﹣4x+ａ＜0的解集是1＜x<3,故选项正确;

D、原式可化为y＝（x﹣２）2﹣4﹣a,将图象向上平移１个单位,再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=(ｘ＋1）2﹣3﹣ａ．

函数过点（１,﹣２),代入解析式得到:ａ=3．故选项正确. 故选B．

点评： 此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系,以及图象的平移规律．这些性质和规律要求掌

握．

２

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--

2０.（200９•塘沽区一模)下列表格给出的是二次函数y=aｘ+bx+c(ａ≠0）的几组对应值,那么方程ax2+bｘ+c=0的一个近似解可以是（ ) x ３．3 3.4 ３.5 3.6 y ﹣0．06 ﹣0.02 0.03 0.０9 A. .25 3Ｂ． ３.３5 Ｃ. 3．45 D. 3.５5

考点： 图象法求一元二次方程的近似根．

分析： 把三点代入解方程式，则代入y等于０时，x的值是多少即可． 解答： 解:代入各点坐标

２

解得

y=０．５ｘ2﹣2.95x+4.2３

解得x=3．47左右则C最符合， 故选C.

点评： 本题考查了一元二次方程的近似根，代入求近似值,再进行对比则最接近的即可. 21．（20１0•徐汇区一模）已知二次函数y=aｘ2＋ｂx+c的ｙ与ｘ的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是( ）

A． 抛 物线开口向上 C． 当x=3时，y＜０

考点: 图象法求一元二次方程的近似根． 专题: 计算题.

分析： 结合图表可以得出当ｘ=0或2时,y＝1,可以求出此函数的对称轴是x＝1，顶点坐标为(１,3）,借助(0，1)两

点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．

解答： 解：∵由图表可以得出当ｘ＝0或2时，ｙ=1,可以求出此函数的对称轴是x=１,顶点坐标为（1，3)，

B. 抛物线与ｙ轴交于负半轴

２

D．方 程ax+bx＋c=0有两个相等实数根

∴二次函数解析式为:y=a（x﹣１）+３，

再将（０,1)点代入得:１=ａ(﹣1）2+3, 解得：a=﹣２，

２

∴ｙ=﹣2(x﹣1)2+3， ∵a<0

∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误; ∵y=﹣2（x﹣1）+３=﹣2x2+4ｘ+1,

与y轴交点坐标为(０,1）,故与y轴交于正半轴， 故：B错误；

∵ｘ=３时,y=﹣５＜0， 故：C正确;

２

∵方程ａｘ+bx+c=0,△=16+4×2×1=２2＞0， 此方程有两个不相等的实数根，

２

--

--

故：D.方程有两个相等实数根错误； 故选：C．

点评： 此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别

式的应用.

22.（2０13•沙湾区模拟）已知二次函数y1=ax2＋bｘ+c（a≠０）与一次函数y2＝kｘ+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2,4），Ｂ（8,2）（如图所示）,则能使ｙ1<ｙ2成立的x的取值范围是（ )

Ａ． x＞２ B． x＜﹣２ C. x>0 D. ﹣2＜x＜8

考点: 二次函数的性质.

分析： 根据两函数交点坐标得出，能使ｙ1＜y２成立的x的取值范围即是图象y2在图象ｙ１上面是ｘ的取值范围，

即可得出答案．

解答： 解：∵二次函数y1=ax2＋bx+c（a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0）的图象相交于点Ａ(﹣２，4），B(8，2）,

∵结合图象，

∴能使y１点评： 此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系,此题型是中考中考查重点也是难点，同学们应熟练掌

握.

2３．（２０12•北辰区一模）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数有结论:

①y1有最大值１、没有最小值; ②y1有最大值1、最小值﹣3; ③函数值y１随x的增大而增大； ④方程ａx2+bx+c=2无解； ⑤若y2=2x+4，则y1≤y2. 其中正确的个数是( ）

(ａ≠０)的图象如图所示．在这个范围内,

A. 2

Ｂ． ３

C． 4

D. 5

--

--

考点： 二次函数的性质；二次函数的图象． 专题： 数形结合.

分析: 根据二次函数的性质，结合图象可判断①②③;根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④;求出

y2=2x+4与两坐标轴的交点画出直线y＝2ｘ+4,求出抛物线的解析式,根据ｙ２﹣y1的符号即可判断出⑤．

解答： 解:由图象可知,在﹣３≤x≤０范围内,y１有最大值１、最小值﹣３,故①错误，②正确;

由图象可知，当﹣３≤x<﹣1时,y1随x的增大而增大,当﹣1<ｘ＜0时，ｙ１随ｘ的增大而减小,故③错误； 由于y1的最大值是１,所以ｙ１=ax2+bｘ＋c与y=２没有交点,即方程ax2＋bx＋c=２无解,故④正确; 如图所示,由于y2=２ｘ＋4经过点（0,4），(﹣2，0),

由图可知，二次函数

（a≠0)中，当x=1时，y=﹣1；x＝﹣2时，y=0,

所以,解得，

故此二次函数的解析式为ｙ1=﹣x2﹣2x, 所以ｙ２﹣ｙ1=2x+４＋x+2x=（x+2)2, 因为=(x+2）2≥0，

所以ｙ1≤y2，故⑤正确. 故选B．

２

点评： 本题考查的是二次函数的性质,能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．

２4.（2０11•苏州模拟)抛物线y＝﹣x2+bx+ｃ上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表： … x ﹣２ ﹣１ 1 3 4 … … 0 4 6 … y ４ 0

根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x>1时，ｙ的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点:④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有( ) A. 1B． 2 Ｃ. ３ D. 4

考点： 二次函数的性质. 专题： 计算题．

分析: 根据抛物线的对称性,抛物线的顶点坐标为（１,6)，且函数值6为最大值,由此判断. 解答： 解:观察表格可知,抛物线的顶点坐标为(1,6）,且抛物线开口向下，故①②③正确；

∵抛物线与ｘ轴的两个交点为（﹣2,０)，（4，０)，顶点坐标为（1,6），

∴抛物线的顶点、与ｘ轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为×（4+２）×6=18,故④错误．

其中正确说法是①②③. 故选C．

点评: 本题考查了二次函数 的性质.关键是由表格观察出抛物线的顶点坐标,开口方向及与ｘ轴交点坐标．

--

--

2５.(2010•河北）如图,已知抛物线ｙ=ｘ2+bx+c的对称轴为x=２,点Ａ，B均在抛物线上，且AB与x轴平行,其中点A的坐标为（0,3)，则点B的坐标为（ )

A. 2,３) (B． （3，２） C． (3,3） D. (4,3）

考点： 二次函数的性质． 专题: 综合题；压轴题.

分析： 已知抛物线的对称轴为x＝２,知道Ａ的坐标为(0,3),由函数的对称性知Ｂ点坐标.

２

解答： 解：由题意可知抛物线的ｙ=x+bｘ＋c的对称轴为x=2，

∵点Ａ的坐标为(０，3),且AB与x轴平行， 可知Ａ、Ｂ两点为对称点， ∴B点坐标为(4,３） 故选Ｄ．

点评: 本题主要考查二次函数的对称性.

２６.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法：①ａb＜０；②方程ａx2+bx＋c=0的根为x１=﹣１,x2=3；③a＋b+c＞０；④当x<1时,y随x值的增大而增大;⑤当ｙ＞0时，x＜﹣1或ｘ＞3.其中，正确的说法有（ ）

①②④ ①②⑤ ①③⑤ Ａ． B． Ｃ.

考点: 二次函数的性质. 专题: 压轴题.

分析: 根据二次函数图象反映出的数量关系,逐一判断正确性. 解答: 解:根据图象可知:

②④⑤ D.

①对称轴﹣>0，故ab＜0，正确;

②方程aｘ2+bx＋c=0的根为ｘ1＝﹣1,x2=3,正确；

③x=１时,ｙ＝ａ＋b+ｃ<0,错误;

④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误; ⑤当y＞0时，x<﹣1或x>3，正确． 正确的有①②⑤．故选B．

点评： 主要考查了二次函数的性质,会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用.

27.已知二次函数y=x+2（a﹣1)x+2.如果x≤４时,y随x增大而减小，则常数a的取值范围是( ） A. a≥﹣5 Ｂ． a≤﹣5 C. ａ≥﹣3 D． a≤﹣3

２

--

--

考点: 二次函数的性质．

分析: 抛物线开口向上，由x≤4时，y随x增大而减小,可知对称轴x=1﹣ａ≥4，解不等式即可． 解答： 解:∵二次函数对称轴为直线x=1﹣a，开口向上，

∴当x≤1﹣a时,y随x增大而减小， ∴１﹣a≥4，解得a≤﹣3. 故选D.

点评： 本题考查了二次函数的增减性.抛物线开口向上时，在对称轴左边，ｙ随x的增大而减小，右边ｙ随x的增

大而增大；抛物线开口向下时,在对称轴左边，y随ｘ的增大而增大，右边y随x的增大而减小.

２8．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=０.5x2＋１，ｙ=0.5ｘ2﹣1所截，当直线l向右平移３个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（ )平方单位.

A． 3 B． 4 Ｃ． 6 D. 无法可求

考点： 二次函数的性质.

２

分析： 由于抛物线y=0．5x+1是ｙ=０.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图

象的交点纵坐标是个定值2，通过截补法可知阴影部分的面积是6个单位长度．

２

解答: 解:抛物线ｙ=0．５x2+１是y=０.5ｘ﹣１向上平移2个单位长度得到的，

即｜y１﹣y2｜=2.

当直线ｌ向右平移３个单位时,阴影部分的面积是：2×3=6. 故选C．

点评： 主要考查了函数图象动态变化中的不变量,本题的关键点是能看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边

形.

29．已知直线经过点A（０，２），B(２，0),点C在抛物线y＝ｘ2的图象上,则使得Ｓ△ＡＢC＝２的点有( ）个．

A. 4 C． 2 Ｄ． 1

考点： 二次函数的性质． 专题: 计算题；压轴题.

分析: 解：通过计算发现,当Ｏ与C重合时,Ｓ△ABC=2，据此据此推断出以AB为底边的三角形的高,从图上找到点

C1、C2，再作CＣ3∥AＢ，使得Ｃ3与C到ＡB的距离相等,若求出C的坐标,则存在C3点，使得以AB为底的三角形面积为2.

解答:

解:∵S△ＡBC=×2×2=２,

B. 3

可见，当Ｏ与Ｃ重合时，Ｓ△ＡBＣ=2，

作CD⊥AB, ∵AO＝BＯ=2,

可见,△AＣB为等腰直角三角形,

--

--

ＣD=２×cos4５°=2×

=

.

由图易得,到AＢ距离为的点有Ｃ、Ｃ１、C２， 作CC3∥AB,

则ＣC3的解析式为y=﹣ｘ， 将y=﹣x和y＝x2组成方程组得,

，

解得，,,

则C3坐标为(﹣1,1),

可见，有四个点,使得S△AＢC=2． 故选Ａ．

点评: 本题考查了二次函数的性质,知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形面积相等是解题的关键．

3０．如图，已知抛物线

，直线y２=3x+3,当ｘ任取一值时,x对应的函数值分别为y1,y2．若y１≠y2,取

y1，ｙ２中的较小值记为M；若y1=y2,记Ｍ=ｙ１=y２．下列判断：

①当x>0时，y１＞y2；②使得M大于3的x值不存在;③当x<0时,x值越大，M值越小; ④使得M＝1的ｘ值是或

.

其中正确的是（ )

A. ①③

考点： 二次函数的性质；一次函数的性质.

②④ B.

①④ C. D．② ③

--

--

分析: 若y１＝y２，记M＝y1=y2.首先求得抛物线与直线的交点坐标,利用图象可得当x＜﹣１时，利用函数图象可

以得出y2＞y1;当﹣1＜ｘ＜０时,ｙ1＞ｙ2;当x>０时，利用函数图象可以得出y2＞y1;然后根据当x任取一值时，ｘ对应的函数值分别为y1、ｙ２.若ｙ1≠ｙ2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．

解答： 解：∵当y1＝y2时,即﹣３x2+3=3x＋3时,

解得:x=0或ｘ＝﹣1，

∴当x<﹣1时，利用函数图象可以得出y2>y1;当﹣１y2；当x>0时，利用函数图象可以得出y2＞y1； ∴①错误;

∵抛物线y１＝﹣3ｘ2+3，直线y2=3x+3，与ｙ轴交点坐标为：（0，３),当x=0时,Ｍ=3,抛物线y1=﹣3x2＋３，最大值为3,故M大于３的x值不存在; ∴使得M大于３的x值不存在, ∴②正确；

∵抛物线y1＝﹣3ｘ2＋3，直线ｙ２=3x+3,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若ｙ1≠y2,取ｙ1、ｙ2中的较小值记为M;

∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大,Ｍ值越大； ∴③错误；

∵如图:当﹣1＜x<0时,y1＞y２;

∴使得Ｍ＝1时，ｙ2=3ｘ+3=1，解得:ｘ＝﹣; 当ｘ>0时,y2＞ｙ1,

使得M=1时,即y1＝﹣3x2＋3＝1,解得:ｘ1=∴使得Ｍ=1的x值是

或

．

，x２=﹣

(舍去),

∴④正确； 故选B．

点评: 本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用.注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程

思想的应用.

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