高一数学经典例题及解法

集合，本身就是一个强有力的数学工具，高中数学学习的集合，可以说，仅仅

是集合世界里的沧海一粟，我们学习了集合的概念，子集交集并集等概念，一些简单的集合运算与集合间的关系，但是高中考查集合的题目，基本上属于容易题，但也不乏中难题。做集合的题目，一定要细心，要特别当心的，比如有没有讨论空集啊，真子集和子集的区别啊，交集和并集有没有取错啊，等等。

基础知识

一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法

2、集合间的关系：子集：对任意xA，都有 xB，则称A是B的子集。记作AB

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集， 记作AB 集合相等：若：AB,BA,则AB

3. 元素与集合的关系：属于 不属于： 空集：

4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为 A交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为AB

B

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，

记为CUA

5．集合{a1,a2,nn,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；

6.常用数集：自然数集：N 正整数集：N* 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R

例题

【分析】A中至多有一个元素，换句话说，方程至多有一个解，也就是说，要么，方程无解，要么方程只有一个解。又因为二次项系数是a，我们不能确定这个方程到底是一元一次方程还是一元二次方程，所以就要对a是否等于0进行分类讨论。

函数

高一的函数包含了初中已学过的一次函数、二次函数、反比例函数，但是更多的，注重这些函数本质的研究，研究的是多种形式共存的函数的共性——单调性、奇偶性、周期性等等，都是函数重要的性质。函数的多重转化，也许一个函数只是一个数，也可以使一个式子，也可以是多个不同种类的函数组成一个新的函数。研究函数，不仅要从解析式，更要从图像、从实际应用的角度出发，构建一个完整的数学体系。

基础知识

一、函数的奇偶性

1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；

（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性

1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x1, x2∈D，且x1 < x2

① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减

三、二次函数y = ax2 +bx + c（a0）的性质

b4acb24acb2b1、顶点坐标公式：2a,4a， 对称轴：x2a，最大（小）值：4a

2.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)axbxc(a0); (2)顶点式f(x)a(xh)k(a0); (3)两根式f(x)a(xx1)(xx2)(a0). 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则：

mnmn（1）a m • a n = a m + n ，（2）aaa，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n

2211anamnnm0aa（5） n（6）a = 1 ( a≠0)（7）an （8）（9）am

mnbabannn2、根式的性质

n（1）(na)a.

（2）当n为奇数时，ana； 当n为偶数时，nan|a|4、指数函数y = a x (a > 0且a≠1)的性质：

na,a0.

a,a0（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

1 0 X Y a > 1 1 0 X Y 0 < a < 1 5.指数式与对数式的互化： logaNbabN(a0,a1,N0). 五、对数与对数函数 1对数的运算法则：

（1）a b = N <=> b = log a N（2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a （6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (

log a N

= N

M) = log a M -- log a N N（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N = （10）推论 logambn（11）log a N =

logbN

logbanlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0). m1 （12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A

logNa（其中 e = 2.71828…） 2、对数函数y = log a x (a > 0且a≠1)的性质： （1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）

0 1 X 0 1 Y a >1 Y 0 < a < 1 X 六、幂函数y = x a 的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .

例如： y = x 2 ya > 1 0 < a < 1 a < 0 xx y121x1 x七.图象平移：若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位， 得到函数yf(xa)b的图象； 规律：左加右减，上加下减 八. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p). 九、函数的零点：1.定义：对于yf(x)，把使f(x)0的X叫yf(x)的零点。即 yf(x)的图象与X轴相交时交点的横坐标。

2.函数零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条 曲线，并有f(a)f(b)0，那么yf(x)在区间a,b内有零点，即存在ca,b， 使得f(c)0，这个C就是零点。

x例题

:0≤x≤2→0≤2x≤4→f（x）定义域为【0,4】，又因为x≠1所以g（x）定义域为【0,1）∪（1,4】

下面是关于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的例题，这一部分既是重点知识，也是高考必考的难点。