教育时空 ●Ｉ 数学中的“化归思想”的应用 李玉玲 （山东临沂职业学院 山东 』临沂） ［摘 要］把待解决的或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者较容易解决的问题中去，这就是所谓的化归的思想。 ［关键词］化归思想解析几何对数微积分 中图分类号：ＴＰ３１５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—９１４Ｘ（２ｏｌｏ）３０—０５２７一Ｏ１ 理论来源于实践，任何理论的形成都是人与自然碰撞、人在探索的过程 化。为了实现转化，就要借助于“代换”，各种转换是训练学生的能力的过 中产生、发展、形成的，数学的原始思想来自数学的对象，也就是来源于现 实世界。自然界中不存在具体的数学的概念，数学是人和现实交流的过程中， 发现的规律性的东西，这种规律性是客观实在，是人们对现实作出的总结和归 纳，是作为认识主体对现实世界的反映，是人的思维的产物。是人类在长期和 现实的作用过程中积累的理论。人类在长期的实践过程中积累了一定的方 法、理论、思想，形成一定的理论体系。 恩格斯指出：从一种形式到另一种相反形式的转变，是数学科学最有力 的杠杆之一，据此，数学家们把待解决的或未解决的问题，通过某种转化过程， 归结到一类已经能解决或者较容易解决的问题中去，这就是所谓的化归的思 想。一一（数学教学论） 化归思想在原则上给出了一种解决数学问题的基本手段，对每个具体的 问题如何实现这种转化过程，应靠一些基本的数学知识作为基础，也就是说一 定有一些已经很成熟完美的数学领域，在这些领域内理论体系已经能成功的解 决～些问题，有一定的解决问题的方法、技巧。当然化归方法有时并不能单 独解决问题，还需要借助于其他诸多的方法合力解决。化归的方法在理论建 立以及习题解答等方面都有非常重要的作用。下面从几个方面来说明： １理论形成过程中的化归思想应用 在解析几何的产生和发展过程中，就存在着这种化归的思想。从十六世 纪末数学家试图寻求一种用代数的方法解决几何问题的途径。在笛卡尔的 《几何学》中可以看出，笛卡尔试图建立一种“普遍”的数学，把算术、代 数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，再把任何 代数问题归结到去解一个方程式。正是他和前人这种设想、努力，成就了解 析几何。解析几何学的基本思想是：引进适当的坐标系，在点与有序数组之间 建立起对应关系，从而建立曲线与方程的对应关系，先把几何问题转化成相应 的代数问题，以代数方法去解决，再把所得结果翻译回去，变成几何问题所需的 答案。当然这种思想的成功实现，是以笛卡尔建立的坐标系为基础的，坐标系 的建立，使代数与几何完美地结合。解析几何的产生为现代数学的发展铺平 了道路。 十七世纪苏格兰数学家纳皮尔发现了对数的运算。当时天文学的运算极 其复杂繁琐，对数的运算在整体上实现了由较复杂的运算（乘、除、乘方、 开方）向较简单的运算（加、减、乘、除）的转化，从而达到由繁到简的转 化，使天文学中的运算难度大降低，难怪拉普拉斯说“对数的发现，以其节省 劳力而延长了天文学家的寿命”。 求积问题就是求图形的面积、体积问题，该问题的历史十分悠久，可以追 溯到古代，此问题自提出一直没有得到妥善解决。直到十七世纪，当微积分的 理论建立起来之后，这些问题也就迎刃而解。微积分的数学处理方法更能体 现这种化归思想，它最好的利用了初等数学知识和极限思想：先利用几何的知 识将圆分成ｒ１个等腰三角形，其周长为ｎ个三角形底边之和，其面积为ｎ个三 角形的面积之和，再利用极限的思想，当ｎ趋近于无穷时，其三角形的边长趋近 于零，此时的三角形的底边之和即为圆的周长，三角形的面积之和为圆的面积， 由此而得出圆的周长和面积。其精确的定义为：圆的周长和面积为其内接或 外切正多边形周长和面积当边长趋于零时的极限。类似地，圆柱、圆锥、圆 台的体积，就可以定义为它们的内接或外切正棱、棱锥、梭台的体积当底面 正多边形的边长趋于零时的极限。基本方法，从熟知的领域入手，走向一个新 的天地。微积分的产生具有化时代的意义，微积分由初等数学开始走向一个 新的领域，开辟了一个新的天地，完成了由静态的数学向动态的数学的过渡。 微积分、对数、解析几何十七世纪的三大发现，无一不渗透着化归的思 想。 当然还有其它一些应用 象解线性方程组时将同解变换转化为以其系数构 成的矩阵的初等变换问题等等在这不一一列举。 ２解■过穗中的化归思想 数学习题给出的条件是无序的，无关联的。将这些条件建立起联系，找出 它们内在的关系，是解题的必经之路，所谓解题，往往就是指：从未知领域出发， 通过数学元素之间的联系而向已知领域转化。那就必须梳理这些条件，寻找 它们之间的联系。已知与未知、定与变、数与形等都在一定条件下互相转 程，也是熟练掌握解题方法的过程。不管什么转换最终目的是指向题目的要 求，也就是求得答案。转换是手段，解决问题才是目的，在寻求目标的过程中 的转换也就形成各种各样的解题技巧。 不定积分中的两类积分法，是这一思想的有力说明。第一类换元是凑微 分法，一般题目给出的形式不能用公式直接套入解出，必须将积分元换成象公 式的形式，然后利用公式就可求解。第二类换元是利用辅助三角形，将一些代 数式子（不能直接积出的式子），化为三角式，然后利用三角计算就可以求解。 分部积分也是利用转化，将复杂的积分转化成简单的即能用积分公式的形式， 然后代入公式求解。这两种积分法三种解题思路都是将不能求解的问题转化 成可以求解的问题。 ３数学在物理中的应用 用数学解决物理学中的实际问题也属于化归，是把物理问题转化成数学模 型用数学理论求解的过程。毫无疑问物理和数学的关系密不可分。拉格朗日 曾在他所著的《分析力学》中说过，他不用画一张图，就可以用数学分析的 方法解决力学中的所有问题。在力的合成、力的分解中，力是一个现实中的 问题，是人类认识最早的物理现象，最初通过实验验证力有大小、方向、作 用点，它是矢量，但其求解一直不得法，直到后来数学中矢量的求解问题解决 后，才有明确的方法。将求力化归为解平行四边形。不仅力学中力的求解问 题有了办法，所有矢量的求解都得到解决，都可以使用平行四边形法则，使问题 大大简化。可操作性增强。 将运动学中的匀速直线运动、匀变速直线运动等运动形式用函数关系描 述后，将物理问题转化成解数学方程的问题，然后将其画到坐标系中用图像表 示，则求位移、加速度、平均速度等化归为坐标系中的函数图像的问题，这 样求解就方便了许多。即简单又直观，还很容易理解。光的折射、反射定 律是用几何的知识将该问题标出，直观，清晰，易于计算。 数学在物理学中的应用，一个更为常见的例子就是微积分在物理中的应 用，它还是物理学家牛顿首先使用并对其理论的形成作出重大贡献。它最先 用于运动学，后来应用更为广泛，使求变量问题成为可能。 ４预言，预测也是化归 预言、预测也是应用了化归的方法，当我们在已有的体系中无法说明物 理现象的时候，或者说现实出现了我们不能解释的现象时，那就要从理论中寻 找答案，那就是将现实纳入到理论体系中，那么从理论就可以推测我们不知道 的现实。利用熟知理论推测出未知的现实也应算是一种化归吧。海王星的 发现就是一个极好证明，当人们发现了天王星的异常以后，在反复求证不得其 解的情况下，从理论中搜寻这种原因，用数学理论分析、计算最后说明这种情 况的出现一定有一个另外的行星的存在，最后果然证实其推算是正确的。 化归的思想是人类最原始、最朴素、最直接的思想，它是将不熟悉的领 域中的问题转化到自己熟知的领域，用已知的理论去解释未知的现象，也即使 问题简单化。大到一个理论体系的建立，小到解决习题的技巧，除了只用于数 学之外还用于解决实践中的一些问题。从朴素简单到推陈出新，一个又一个 的理论体系就这样建立起来，一个又一个技巧也产生于此化归是数学中的永 恒的主题。 科技博览ｌ、５２７
