天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算30+（﹣20）的结果等于（ ） A．10
B．﹣10
C．50
D．﹣50
2．（3分）2sin45°的值等于（ ） A．1
B．√2 C．√3
D．2
3．（3分）据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为（ ） A．0.586×108
B．5.86×107
C．58.6×106
D．586×105
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
第1页（共24页）
C． D．
6．（3分）估计√22的值在（ ） A．3和4之间 7．（3分）方程组{𝑥=1A．{
𝑦=2
B．4和5之间
C．5和6之间
D．6和7之间
2𝑥+𝑦=4，的解是（ ） 𝑥−𝑦=−1
𝑥=−3B．{
𝑦=−2
𝑥=2C．{
𝑦=0
𝑥=3D．{
𝑦=−1
8．（3分）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A．（6，3） 9．（3分）计算A．
1
𝑥(𝑥+1)2B．（3，6） +
1(𝑥+1)2C．（0，6） D．（6，6）
的结果是（ ） C．1
D．x+1
10
的图象上，𝑥𝑥+1
B．
1
(𝑥+1)210．（3分）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=则x1，x2，x3的大小关系是（ ） A．x1＜x2＜x3
B．x2＜x3＜x1
C．x1＜x3＜x2
D．x3＜x1＜x2
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
第2页（共24页）
A．AC＝DE
B．BC＝EF
C．∠AEF＝∠D
D．AB⊥DF
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x=．有下列结论： ①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根； ③a＜−2．
其中，正确结论的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
1
1
2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）计算x+7x﹣5x的结果等于 ．
14．（3分）计算（√7+1）（√7−1）的结果等于 ．
15．（3分）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
16．（3分）将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 17．（3分）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB=3． （Ⅰ）线段AC的长等于 ．
第3页（共24页）
5
（Ⅱ）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 3𝑥≤2𝑥+1，①19．（8分）解不等式组{
2𝑥+5≥−1．②请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为 ，图①中m的值为 ； （Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．
第4页（共24页）
21．（10分）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°． （Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E
的大小．
22．（10分）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）． 参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 离开宿舍的时
2 5 20 23 30
第5页（共24页）
间/min 离宿舍的距离
/km （Ⅱ）填空：
①食堂到图书馆的距离为 km；
②小亮从食堂到图书馆的速度为 km/min； ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 km/min；
④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为 min． （Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24．（10分）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．
①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤1≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
0.2
0.7
25．（10分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线1
第6页（共24页）
平行于x轴，E是直线1上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2√2． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标； ②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是
√2？ 2
第7页（共24页）
天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算30+（﹣20）的结果等于（ ） A．10
B．﹣10
C．50
D．﹣50
【解答】解：30+（﹣20）＝+（30﹣20）＝10． 故选：A．
2．（3分）2sin45°的值等于（ ） A．1
B．√2 √2C．√3 D．2
【解答】解：2sin45°＝2×2=√2． 故选：B．
3．（3分）据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为（ ） A．0.586×108
B．5.86×107
C．58.6×106
D．586×105
【解答】解：58600000＝5.86×107， 故选：B．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意； 故选：C．
第8页（共24页）
5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看有两列，左列底层一个小正方形，右列三个小正方形． 故选：D．
6．（3分）估计√22的值在（ ） A．3和4之间
B．4和5之间
C．5和6之间
D．6和7之间
【解答】解：∵√16＜√22＜√25， ∴4＜√22＜5， 故选：B． 7．（3分）方程组{𝑥=1A．{
𝑦=2
2𝑥+𝑦=4，的解是（ ） 𝑥−𝑦=−1
𝑥=−3B．{
𝑦=−2
𝑥=2C．{
𝑦=0
𝑥=3D．{
𝑦=−1
2𝑥+𝑦=4①【解答】解：{，
𝑥−𝑦=−1②①+②得：3x＝3， 解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2， 𝑥=1
则方程组的解为{．
𝑦=2故选：A．
第9页（共24页）
8．（3分）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A．（6，3）
B．（3，6）
C．（0，6）
D．（6，6）
【解答】解：∵四边形OBCD是正方形， ∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°， ∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6）， ∴OD＝6，
∴OB＝BC＝CD＝6， ∴C（6，6）． 故选：D． 9．（3分）计算A．
1
𝑥(𝑥+1)2
+
1(𝑥+1)2
的结果是（ ） C．1
D．x+1
𝑥+1
B．
1
(𝑥+1)2
2【解答】解：原式=故选：A．
𝑥+1
(𝑥+1)
=
1
． 𝑥+110．（3分）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=𝑥的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ） A．x1＜x2＜x3
B．x2＜x3＜x1
C．x1＜x3＜x2
D．x3＜x1＜x2
10
10
【解答】解：∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=𝑥的图象上，
∴﹣5=𝑥，即x1＝﹣2， 2=𝑥，即x2＝5；
第10页（共24页）
10
10
5=
10
，即x3＝2， 𝑥∵﹣2＜2＜5， ∴x1＜x3＜x2； 故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE
B．BC＝EF
C．∠AEF＝∠D
D．AB⊥DF
【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC，故A选项错误， BC＝EC，故B选项错误，
∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误， ∠A＝∠D， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠D+∠B＝90°，
∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确， 故选：D．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对
第11页（共24页）
称轴是直线x=12．有下列结论： ①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根； ③a＜−12．
其中，正确结论的个数是（ ） A．0
B．1
C．2 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=12，
而点（2，0）关于直线x=1
2的对称点的坐标为（﹣1，0）， ∵c＞1，
∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=12， ∴−𝑏
1
2𝑎=2， ∴b＝﹣a＞0， ∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴顶点在x轴的上方， ∵a＜0，
∴抛物线与直线y＝a有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∵b＝﹣a，
∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0， ∴﹣2a＝c， ∵c＞1， ∴﹣2a＞1，
第12页（共24页）
D．3
∴a＜−，故③正确， 故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）计算x+7x﹣5x的结果等于 3x ． 【解答】解：x+7x﹣5x＝（1+7﹣5）x＝3x． 故答案为：3x．
14．（3分）计算（√7+1）（√7−1）的结果等于 6 ． 【解答】解：原式＝（√7）2﹣12＝7﹣1＝6． 故答案是：6．
15．（3分）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是
381
2 ．
【解答】解：∵袋子中装有8个小球，其中红球有3个， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
83
故答案为：．
8
3
16．（3分）将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 y＝﹣2x+1 ． 【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y＝﹣2x+1． 故答案为y＝﹣2x+1．
17．（3分）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为
32 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB， ∵AD＝3，AB＝CF＝2， ∴CD＝2，BC＝3， ∴BF＝BC+CF＝5，
第13页（共24页）
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点， ∴BF＝BE＝5，DG＝EG， 延长CG交BE于点H， ∵DC∥AB， ∴∠CDG＝∠HEG， 在△DCG和△EHG中， {𝐷𝐺=𝐸𝐺， ∠𝐷𝐺𝐶=∠𝐸𝐺𝐻
∴△DCG≌△EHG（ASA）， ∴DC＝EH，CG＝HG， ∵CD＝2，BE＝5， ∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3， ∴△CBH是等边三角形， ∴CH＝BC＝3， ∴CG=CH=， 故答案为：．
231
232∠𝐶𝐷𝐺=∠𝐻𝐸𝐺
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB=3． （Ⅰ）线段AC的长等于 √13 ．
（Ⅱ）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） 取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相
第14页（共24页）
5
交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求 ．
【解答】解：（Ⅰ）线段AC的长等于√32+22=√13；
（Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN， 连接BD并延长，与MN相交于点B′， 连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，
与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q， 则点P，Q即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 3𝑥≤2𝑥+1，①19．（8分）解不等式组{
2𝑥+5≥−1．②请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ； （Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3≤x≤1 ．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；
第15页（共24页）
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤1． 故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．
20．（8分）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为 25 ，图①中m的值为 24 ； （Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数． 【解答】解：（Ⅰ）本次抽取的麦苗有：2÷8%＝25（株）， m%＝1﹣8%﹣12%﹣16%﹣40%＝24%， 故答案为：25，24； （Ⅱ）平均数是：𝑥=众数是16， 中位数是16．
21．（10分）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°． （Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E
13×2+14×3+15×4+16×10+17×6
=15.6， 25第16页（共24页）
的大小．
【解答】解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角， ∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°； （2）连接OD，如图②所示： ∵CD⊥AB， ∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．
第17页（共24页）
22．（10分）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）． 参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵∠ACB＝45°， ∴AD＝CD， 设AB＝x，
在Rt△ADB中，AD＝AB•sin58°≈0.85x，BD＝AB•cos58°≈0.53x， 又∵BC＝221，即CD+BD＝221， ∴0.85x+0.53x＝221， 解得，x≈160， 答：AB的长约为160m．
23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
第18页（共24页）
已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 离开宿舍的时
间/min 离宿舍的距离
/km （Ⅱ）填空：
①食堂到图书馆的距离为 0.3 km；
②小亮从食堂到图书馆的速度为 0.06 km/min； ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 0.1 km/min；
④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为 6或62 min． （Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【解答】解：（Ⅰ）由图象可得，
在前7分钟的速度为0.7÷7＝0.1（km/min）， 故当x＝2时，离宿舍的距离为0.1×2＝0.2（km），
在7≤x≤23时，距离不变，都是0.7km，故当x＝23时，离宿舍的距离为0.7km， 在28≤x≤58时，距离不变，都是1km，故当x＝30时，离宿舍的距离为1km， 故答案为：0.2，0.7，1； （Ⅱ）由图象可得，
①食堂到图书馆的距离为1﹣0.7＝0.3（km），
第19页（共24页）
2 5 20 23 30
0.2 0.5 0.7 0.7 1
故答案为：0.3；
②小亮从食堂到图书馆的速度为：0.3÷（28﹣23）＝0.06（km/min）， 故答案为：0.06；
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为：1÷（68﹣58）＝0.1（km/min）， 故答案为：0.1； ④当0≤x≤7时，
小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为0.6÷0.1＝6（min）， 当58≤x≤68时，
小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min）， 故答案为：6或62； （Ⅲ）由图象可得， 当0≤x≤7时，y＝0.1x； 当7＜x≤23时，y＝0.7； 当23＜x≤28时，设y＝kx+b， 23𝑘+𝑏=0.7𝑘=0.06{，得{， 28𝑘+𝑏=1𝑏=−0.68即当23＜x≤28时，y＝0.06x﹣0.68；
0.1𝑥
(0≤𝑥≤7)
(7＜𝑥＜23)． 由上可得，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式是y={0.7
0.06𝑥−0.68(23＜𝑥≤28)24．（10分）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．
①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤1≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
第20页（共24页）
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点P作PH⊥OA于H．
∵∠OAB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠OPH＝90°﹣60°＝30°， ∵OP＝1，
∴OH=2OP=2，PH＝OP•cos30°=2，
√3∴P（，）．
22
11
1
√3
（Ⅱ）①如图②中，
由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ， ∴OP＝O′P，OQ＝O′Q，
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∵OP＝OQ＝t，
∴OP＝OQ＝O′P＝O′Q， ∴四边形OPO′Q是菱形， ∴QO′∥OB， ∴∠ADQ＝∠B＝30°， ∵A（2，0）， ∴OA＝2，QA＝2﹣t，
在Rt△AQD中，DQ＝2QA＝4﹣2t， ∵O′D＝O′Q﹣QD＝3t﹣4， ∴＜t＜2．
34
②①当点O′落在AB上时，重叠部分是△PQO′，此时t=，S=当＜t≤2时，重叠部分是四边形PQDC，S=
32
√32
2
3√34×（）2=
3
2
√39，
4t−
√382
（3t﹣4）=−
7√32
t+3√3t﹣2√3， 8当x=−=7时，S有最大值，最大值=4， √2×(−73)8√33√3124√3当t＝1时，S=综上所述，
4，当t＝3时，S=
11√3√3××=， 2228√34√3≤S≤7． 8
25．（10分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线1平行于x轴，E是直线1上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2√2． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标； ②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是
√2？ 2
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3． ∵抛物线经过点A（1，0）， ∴0＝1+b﹣3， 解得b＝2，
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∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3． ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0， ∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0． ∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m． 根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），
过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．
在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m， ∴AE=√𝐸𝐻2+𝐻𝐴2=−√2m， ∵AE＝EF＝2√2， ∴−√2m＝2√2， 解得m＝﹣2．
此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1． ∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF=√𝐸𝐹2−𝐸𝐶2=√7． ∴点F的坐标为（0，﹣2−√7）或（0，﹣2+√7）． ②由N是EF的中点，得CN=2EF=√2．
根据题意，点N在以点C为圆心、√2为半径的圆上， 由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
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1
∴在Rt△MCO中，MC=√𝑀𝑂2+𝐶𝑂2=−√2m．
当MC≥√2，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上． MN的最小值为MC﹣NC=−√2m−√2=
√22，解得m=−；
32当MC＜√2，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC=√2−（−√2m）=解得m=−．
∴当m的值为−2或−2时，MN的最小值是
3
1
√2． 2
12√22，
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