2021年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》大题练习(含答案)

1.平面直角坐标系中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）； （1）求抛物线的表达式；

（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向.

152

2.如图，直线y=x＋2与抛物线y=ax＋bx＋6相交于A(，)和B(4，m)，点P是线段AB上异于

22A、B的动点，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C. (1)求抛物线的表达式；

(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；

(3)当△PAC为直角三角形时，求点P的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点. (1)求这个二次函数的表达式. (2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积.

4.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2,﹣4），与x轴交于A、B两点,且A（﹣6,0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式； （2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大？若能,请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

6.如图，已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求抛物线的解析式；

(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；

(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

7.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．

(1)求该抛物线的函数关系表达式；

(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；

（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参

1.解：（1）∵抛物线过点A（1，0）、B（3，0）， ∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3）， ∵C（4，6）， ∴6=a（4﹣1）（4﹣3）， ∴a=2，

2

∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x﹣8x+6； （2）如图，设点D（m，0），E（n，0）， ∵A（1，0），

∴AD=m﹣1，AE=n﹣1

22

由（1）知，抛物线的解析式为y=2x﹣8x+6=2（x﹣2）﹣2；

2

∴将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，得到抛物线的解析式为y=2（x﹣8）﹣2；

2

∴再沿y轴方向平移k个单位，得到的抛物线的解析式为y=2（x﹣8）﹣2﹣k；

2

令y=0，则2（x﹣8）﹣2﹣k=0，

2

∴2x﹣32x+126﹣k=0， 根据根与系数的关系得， ∴m+n=16，mn=63﹣0.5k， ∵A（1，0），C（4，6），

22

∴AC=（4﹣1）2+6=45， ∵△ACD∽△AEC，

2

∴AC=AD•AE， ∴45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1， ∴45=63﹣0.5k﹣16+1， ∴k=6，

即：k=6，向下平移6个单位.

2.解：(1)∵B(4，m)在直线y=x＋2上， ∴m=6，B(4，6).

152

∵A(，)、B(4，6)在抛物线y=ax＋bx＋6上，

22115a＋b＋6＝，a＝2，422∴解得

b＝－8.16a＋4b＋6＝6.

∴所求抛物线的表达式为y=2x－8x＋6.

2

(2)设动点P的坐标为(n，n＋2)，则点C的坐标为(n，2n－8n＋6). 924922

∴PC=(n＋2)－(2n－8n＋6)=－2n＋9n－4=－2(n－)＋.∵a=－2＜0，

48

2

949917

∴当n=时，线段PC取得最大值，此时，P(，).

4844

91749

综上所述，存在符合条件的点P(，)，使线段PC的长有最大值.

448(3)显然，∠APC≠90°，如图1，当∠PAC=90°时， 15

设直线AC的表达式为y=－x＋b，把A(，)代入，

22

1512

得－＋b=.解得b=3.由－x＋3=2x－8x＋6，得x1=3或x2=(舍去).

222当x=3时，x＋2=3＋2=5.此时，点P的坐标为P1(3，5). 155如图2，当∠PCA=90°时，由A(，)知，点C的纵坐标为y=.

22251777112

由2x－8x＋6=，得x1=(舍去)，x2=.当x=时，x＋2=＋2=.

222222711

此时，点P的坐标为P2(，).

22

711

综上可知，满足条件的点P有两个，为P1(3，5)，P2(，).

22

2

3.解：(1)设这个二次函数的表达式为y=ax＋bx＋c， 把A，B，C三点的坐标分别代入可得 a－b＋c＝0，a＝1，

16a＋4b＋c＝0，解得b＝－3， c＝－4，c＝－4，

∴这个二次函数的表达式为y=x－3x－4.

(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P， 连接OP，CP，如图①，

∴PO=PC，此时点P即为满足条件的点. ∵C(0，－4)，

∴D(0，－2)，∴点P的纵坐标为－2.

2

当y=－2时，即x－3x－4=－2，

3－173＋17

解得x1=(不合题意，舍去)，x2=. 223＋17

∴存在满足条件的点P，其坐标为(，－2).

2

2

(3)∵点P在抛物线上，

2

∴可设P(t，t－3t－4).

过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图②， ∵B(4，0)，C(0，－4)，

∴直线BC的函数表达式为y=x－4， ∴F(t，t－4)，

22

∴PF=(t－4)－(t－3t－4)=－t＋4t，

1111

∴S△PBC=S△PFC＋S△PFB=PF·OE＋PF·BE=PF·(OE＋BE)=PF·OB

2222122

=(－t＋4t)×4=－2(t－2)＋8， 2

∴当t=2时，S△PBC最大，且最大值为8，

2

此时t－3t－4=－6，

∴当点P的坐标为(2，－6)时，△PBC的面积最大，最大面积为8. 4.

5.解：

2

（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）+k， ∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4）， ∴y=a（x+2）2﹣4，

又∵函数图象经过点A（﹣6，0）， ∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a=，

∴此函数的解析式为y=（x+2）﹣4，即y=x+x﹣3； （2）∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点， ∴点C的坐标是（0，﹣3），

又当y=0时，有y=x+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2， ∴点B的坐标是（2，0），

则S△ABC=|AB|•|OC|=×8×3=12；

（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F． 设E（x，0），则P（x， x2+x﹣3），

2

2

2

设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3）， ∴

，解得

，

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3， ∴点F的坐标为F（x，﹣x﹣3），

则|PF|=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣x2﹣x， ∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF|•|AE|+|PF|•|OE|

=|PF|•|OA|=（﹣x2﹣x）×6=﹣x2﹣x=﹣（x+3）2+∴当x=﹣3时，S△APC有最大值

，此时点P的坐标是P（﹣3，﹣

， ）．

6.解：(1)y=-x2

＋2x＋3

(2)易求直线BC的解析式为y=-x＋3， ∴M(m，-m＋3)， 又∵MN⊥x轴，

∴N(m，-m2

＋2m＋3)，

∴MN=(-m2＋2m＋3)-(-m＋3)＝-m2

＋3m(0＜m＜3) (3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=0.5|MN|·|OB|， ∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，

MN=-m2＋3m=-(m-1.5)2

＋2.25， 所以当m＝1.5时，

△BNC的面积最大为3.75. 7.解：

(1))∵抛物线y=x2

+bx+c经过A(﹣1，0)，B(3，0)， 把A、B两点坐标代入上式，

，解得：，

故抛物线函数关系表达式为y=x2

﹣2x﹣3；

(2)∵A(﹣1，0)，点B(3，0)，∴AB=OA+OB=1+3=4， ∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，PC⊥BE， ∴∠OPE+∠CPB=90°，∠CPB+∠PCB=90°， ∴∠OPE=∠PCB，

又∵∠EOP=∠PBC=90°， ∴△POE∽△CBP，∴，设OP=x，则PB=3﹣x，

∴

，∴OE=

，

∵0＜x＜3，∴时，线段OE长有最大值，最大值为

．

即OP=时，线段OE有最大值．最大值是．

(3)存在．

如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴x=0，y=﹣3，∴N点坐标为(0，﹣设直线BN的解析式为y=kx+b，∴，∴

，

∴直线BN的解析式为y=x﹣3，

设M(a，a2﹣2a﹣3)，则H(a，a﹣3)， ∴MH=a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)=﹣a2+3a，

3)， ∴S△MNB=S△BMH+S△MNH=∵

==

，

，

，∴a=时，△MBN的面积有最大值，最大值是

)．

此时M点的坐标为(8.解：