中考数学试卷(含答案)

中考数学试卷

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（ ） A．（﹣1，﹣2）

B．（1，﹣2）

C．（1，2）

D．（2，﹣1）

2．（3分）下列各数中比3大比4小的无理数是（ ） A．

B．

C．3.1

D．

3．（3分）下列运算正确的是（ ） A．

+

＝

B．

＝3

C．

＝﹣2

D．

＝

4．（3分）某公司全体职工的月工资如下：

月工资（元） 人数

1（总经理） 2（副总经

理）

该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（ ） A．中位数和众数 C．平均数和中位数

B．平均数和众数 D．平均数和极差

3

4

10

20

22

12

6

18000

12000

8000

6000

4000

2500

2000

1500

1200

5．（3分）如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

6．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ） A．10＜x＜12

B．12＜x＜15

C．10＜x＜15

D．11＜x＜14

7．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ）

1

A．20

B．22

C．24

D．26

8．（3分）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ） A．0

B．1

C．7

D．8

二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）数轴上表示﹣3的点到原点的距离是 ． 10．（3分）不等式3x+1＞2（x+4）的解为 ．

11．（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是.7，方差分别是S的选手是 ．

12．（3分）国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为 米． 13．（3分）二元一次方程组

的解为 ．

甲

2

＝2.83，S

乙

2

＝1.71，S

丙

2

＝3.52，你认为适合参加决赛

14．（3分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是 ．

15．（3分）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为 ．

16．（3分）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）

2

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．（5分）计算：6sin45°+|2

﹣7|﹣（）3+（2019﹣

﹣

）0．

18．（5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．

四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（

﹣

）÷（

﹣1）．

20．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21．（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题 （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．

22．（7分）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．

3

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：

请根据图中信息回答下面的问题： （1）本次抽样调查了多少户贫困户？

（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；

（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？ （4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．

24．（8分）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈

4

0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）

25．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的

？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．

（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；

（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；

（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．

5

6

2019年湖南省常德市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

1．【解答】解：根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2）． 故选：B．

2．【解答】解：∵四个选项中是无理数的只有和

，而

＞4，3＜

＜4

∴选项中比3大比4小的无理数只有．

故选：A．

3．【解答】解：A、原式＝+2，所以A选项错误；

B、原式＝2

，所以B选项错误；

C、原式＝2，所以C选项错误； D、原式＝

＝

，所以D选项正确．

故选：D． www.czsx.com.cn

4．【解答】解：∵数据的极差为16800，较大， ∴平均数不能反映数据的集中趋势， ∴普通员工最关注的数据是中位数及众数， 故选：A．

5．【解答】解：如图所示，该几何体的左视图是：

．

故选：C．

6．【解答】解：根据题意可得：，

可得：12＜x＜15， ∴12＜x＜15 故选：B．

7．【解答】解：如图，

7

根据题意得△AFH∽△ADE， ∴

＝（

）2＝（）2＝

设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x， ∴16x﹣9x＝7，解得x＝1， ∴S△ADE＝16，

∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26． 故选：D．

8．【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环， ∴（2019+1）÷4＝505， ∴1+7+9+3＝20，

∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0． 故选：A．

二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．【解答】解：在数轴上表示﹣3的点与原点的距离是|﹣3|＝3． 故答案为：3．

10．【解答】解：3x+1＞2（x+4）， 3x+1＞2x+8， x＞7． 故答案为：x＞7．

11．【解答】解：∵S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52， 而1.71＜2.83＜3.52， ∴乙的成绩最稳定， ∴派乙去参赛更好， 故答案为乙．

12．【解答】解：7纳米＝0.000 000 007米＝7×10

﹣9

米．

8

故答案为：7×109．

﹣

13．【解答】解：②﹣①得x＝1 ③ 将③代入①得y＝5 ∴

故答案为：

14．【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′， ∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD' ∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90° ∴∠ABD＝22.5° 故答案为：22.5° 15．【解答】解：∵x2+x＝1，

∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4； 故答案为：4．

16．【解答】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1）， ∴MP＝

∵点P在第一象限， ∴m＞0， ∴MP＝

+1，

＝

，PQ＝

+1，

∴MP＝PQ， 又∵MN∥PQ，

∴四边形PMNQ是广义菱形． ④正确； 故答案为①④；

9

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．【解答】解：原式＝6×

﹣2

+7﹣8+1＝

．

18．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；

∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17； ∴x＝

＝， ∴x1＝

，x2＝

．

四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19．【解答】解：（

﹣

）÷（

﹣1）

＝[]÷[

]

＝

＝

＝

＝

，

当x＝2时，原式＝＝．

20．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）

把A（1，2）代入反比例函数y＝， ∴k＝1×2＝2；

∴反比例函数的表达式为y＝；

（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C， ∴C（3，0）， 设P（x，0），

10

∴PC＝|3﹣x|，

∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5， ∴x＝﹣2或x＝8，

∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21．【解答】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x+100，根据题意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，∴y乙＝10x+100；

（2）①y甲＜y乙，即20x＜10x+100，解得x＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；

②y甲＝y乙，即20x＝10x+100，解得x＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；

③y甲＞y乙，即20x＞10x+100，解得x＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．

22．【解答】（1）证明：连接OD、CD， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠EDC＝90°， ∵DE∥OA， ∴OA⊥CD， ∴OA垂直平分CD， ∴OD＝OC， ∴OD＝OE， ∴∠OED＝∠ODE， ∵DE∥OA，

∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC， ∵AC是切线， ∴∠ACB＝90°， 在△AOD和△AOC中

11

∴△AOD≌△AOC（SAS）， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∵OD是半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：∵BD是⊙O切线， ∴BD2＝BE•BC，

设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6， ∴42＝x（x+6），

解得x＝2或x＝﹣8（舍去）， ∴BE＝2，

∴BC＝BE+EC＝8， ∵AD、AC是⊙O的切线， ∴AD＝AC， 设AD＝AC＝y，

在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2， ∴（4+y）2＝y2+82， 解得y＝6， ∴AC＝6， 故AC的长为6．

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23．【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%＝500（户）；

12

（2）抽查C类贫困户为500×24%＝120（户）， 补全图形如下：

（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000×（24%+16%）＝5200（户）；（4）画树状图如下：

由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果， 所以恰好选中甲和丁的概率为

＝．

24．【解答】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F， ∵AB＝25，DE＝50， ∴sin37°＝

，cos37°＝

，

∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20， ∴BF＝50﹣15＝35，

∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°， ∴∠GBA＝53°， ∴∠CBF＝55°， ∴∠BCF＝35°， ∵tan35°＝， ∴CF≈

＝50，

13

∴FE＝50+130＝180， ∴GD＝FE＝180， ∴AD＝180﹣20＝160，

∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）

25．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1， 故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；

（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3）， 则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，

矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，∵﹣2＜0，故当x＝﹣

＝2，C有最大值，最大值为10，

此时x＝2，点N（0，3）与点D重合； （3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的， 则S△PNC＝

×MN×GM＝

×2×3＝

，

连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n， 过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH， 过点P作PK∥⊥CD于点K，

14

将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，

OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，

设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3）， S△PNC＝

＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3

，

解得：PH＝＝HG， 则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝， 解得：x＝， 故点P（，

），

直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②， 联立①②并解得：x＝，

即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，

）；

故点P坐标为：（，

）或（

，

）或（

，

）．26．【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵CM⊥AB，BN⊥AC， ∴∠BMC＝∠CNB＝90°， 在△BMC和△CNB中，

，

∴△BMC≌△CNB（AAS）；

15

（2）∵△BMC≌△CNB， ∴BM＝NC， ∵PE∥AB， ∴△CEP∽△CMB， ∴

＝

，

∵PF∥AC， ∴△BFP∽△BNC， ∴＝， ∴

+

＝

+

＝1，

∴PE+PF＝BM；

（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM， ∵△BMC≌△CNB， ∴MC＝BN， ∵∠ANB＝90°， ∴∠MAC+∠ABN＝90°， ∵∠OMB＝90°， ∴∠MOB+∠ABN＝90°，

∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB， ∴

＝

，

∴AM•MB＝OM•MC，

∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN， ∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE． 16