线性代数试题及答案65766

第一部分 选择题 （共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有

一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式

a11a21a12a=m，13a22a23a11a=n，则行列式11a21a21a12a13等于（ ）

a22a23 A. m+n C。 n-m B。 —(m+n) D。 m-n

100—2.设矩阵A=020,则A1等于（ ）

00313 A。 00012000 1

1B。 0012D。 00012000 131003 C. 010 1002

0010 301312＊

3.设矩阵A=101，A是A的伴随矩阵,则A *中位于（1，2)的元素是( ）

214 A. –6 B。 6 C。 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ) A。 A =0 B. BC时A=0 C。 A0时B=C D。 |A|0时B=C 5。已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1 B。 2 C. 3 D. 4

6.设两个向量组α1,α2，…，αs和β1,β2，…，βs均线性相关，则( ) A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1)+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1,λ2，…，λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs—βs)=0

D。有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…

+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A。所有r—1阶子式都不为0 B.所有r—1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D。所有r阶子式都不为0

1

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A。η1+η2是Ax=0的一个解

B.

11η1+η2是Ax=b的一个解 22 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D。2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆,则必有（ ) A.秩(A）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A）α=0，则λ是A的特征值 C。A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D。如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1,α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，

λ3的特征向量，则α1,α2，α3有可能线性相关

11。设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 B。 k<3 C。 k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是（ ） A。｜A｜2必为1 B。｜A｜必为1 C。A-1=AT D。A的行(列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A。A与B相似 B. A与B不等价

C。 A与B有相同的特征值 D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ) A.23 34 B.34 26100 C.023

035

111D。120

102第二部分 非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小

题的空格内。错填或不填均无分。

11115.356 . 92536111123,B=.则A+2B= 。 11112416.设A=17。设A=(aij)3×3，｜A｜=2，Aij表示|A｜中元素aij的代数余子式（i，j=1，2，3),则（a11A21+a12A22+a13A23）2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23）2= 。 18.设向量（2,-3，5)与向量（—4，6,a）线性相关，则a= .

19.设A是3×4矩阵,其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 。

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r（2

数为 。 21。设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α—β）= 。 22。设3阶矩阵A的行列式｜A｜=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .

2010623.设矩阵A=133，已知α=1是它的一个特征向量，则α所对应的特征值

22108为 。

24.设实二次型f（x1，x2，x3，x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3，则其规范形为 。 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分)

12023125.设A=340,B=.求（1)ABT;（2）|4A｜。

24012126.试计算行列式

3521110512341313。

42327。设矩阵A=110,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

1232130301128.给定向量组α1=,α2=，α3=，α4=. 42204193试判断α4是否为α1，α2,α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

12124229。设矩阵A=2103330266。 2334求：（1)秩（A);

(2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

02230。设矩阵A=234的全部特征值为1，1和-8。求正交矩阵T和对角矩阵D，使

243T-1AT=D。

31.试用配方法化下列二次型为标准形

222x2 f（x1,x2，x3)=x123x34x1x24x1x34x2x3，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题,每小题5分,共10分）

—32.设方阵A满足A3=0,试证明E—A可逆，且（E-A）1=E+A+A2。

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明

(1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1,η2线性无关。

3

答案:

一、单项选择题（本大题共14小题,每小题2分,共28分） 1。D 2.B 3.B 4。D 6。D 7。C 8.A 9。A 11.A 12。B 13。D 14.C 二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337

1375。C 10.B

17. 4

18. –10

19. η1+c（η2—η1）（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22。 –2 23. 1

222z224. z12z3z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

1202225。解（1）ABT=34034

1211086=1810. 310（2）|4A｜=43｜A｜=|A|，而

120|A｜=3402. 121所以|4A|=·（-2)=-128 3521526.解

1105123413115121011 01351105110511311300

=1155=655062301040.

5527。解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

223—（A—2E)1=1101211143153. 1 4

143423所以 B=（A—2E）—1A=153110

1123386=296. 21292130053213011301 28。解一 022401123419013112100010000151200088014140002101,

01100031035112

011000所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为（2，1,1)。 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，

2x1x23x30x3x12即 1

2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解(2,1，1）T，组合系数为（2，1，1）.

29.解 对矩阵A施行初等行变换

121000A0320960262 82320283=B。 3100212101210328303200000062000217000(1）秩(B）=3，所以秩（A）=秩(B)=3。

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是

B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，—1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.

5

25/525/15经正交标准化，得η1=5/5，η2=45/15。

05/3λ=-8的一个特征向量为

1ξ3=2，经单位化得η3=1/322/3.

2/325/5215/151/3所求正交矩阵为 T=5/5/152/3.

05/32/3100对角矩阵 D=010.

00825/5215/151/3（也可取T=05/32/3.）

5/545/152/331.解 f(x1,x2，x3)=(x1+2x2-2x3）2—2x22+4x2x3—7x32 =（x1+2x2—2x3）2-2（x2-x3)2—5x32.

y1x12x22x3设x1y12y2y2x2x3, 即x2y2y3，

yx3x33y3因其系数矩阵C=120011可逆,故此线性变换满秩。

001经此变换即得f（x1,x2，x3)的标准形 y12—2y22—5y32 。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32。证 由于(E—A）(E+A+A2）=E—A3=E，

所以E—A可逆，且

（E—A）-1= E+A+A2 。

33.证 由假设Aη0=b,Aξ1=0，Aξ2=0。

（1）Aη1=A(η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b, 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0。

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0。

又由假设，ξ1，ξ2线性无关,所以l1=0，l2=0，从而所以η0，η1，η2线性无关。

6

l0=0 。