等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结

一、等差数列：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d表示；

等差中项，如果

Aab2，那么A叫做a与b的等差中项；如果三个数成等差数列，

那么等差中项等于另两项的算术平均数；

{a}aa（n-1）d（nN）n1n等差数列的通项公式：；

等差数列{an}的递推公式：anan1d（n2）；

n（n-1）（a1an）nna1d{a}S22等差数列n的前n项和公式：n===

dd（）n2（a1-）nna中22；

【等差数列的性质】

1、anam（n-1）d

【说明】am（n-m）da1（m-1）d（n-m）da1（n-1）dan

1

-

2、若m、n、p、qN，且m+n=p+q，则有amanapaq

【说明】aman2a1（mn-2）d2a1（pq-2）apaq

成等差数列，公差为md 3、ak、akm、ak2m、【说明】akm-akak2m-akmmd

2（n-1）k成等差数列，公差为nd 4、Sk，S2k-Sk，S3k-S2kSnk-S2（S-S）-S（aaa）-（aaa）nd， 2nnnn1n22n12n【说明】

（S3n-S2n）-（S2n-Sn）（a2n1a2n2a3n）-（an1an2a2n）n2d，

2{a}apnq，2aaa，SAnBn nnn-1n1nn5、数列成等差数列

【说明】anam（n-1）ddn（a1-d），Sn=

na1n（n-1）d2=

dd（）n2（a1-）n22

a6、若数列{an}是等差数列，则{c}为等比数列，c>0

ncna-acnn-1cdan-1【说明】c

a2

-

7、Sn是前n项和，S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，则SnS奇S偶

当n为偶数时，

S偶-S奇nd2

当n为奇数时，Sna中n，S奇-S偶a中，

S奇n1S偶n-1

【说明】当n为偶数时，

S偶-S奇（an-an-1）（an-2-an-3）（a2-a1）nd2

当n为奇数时，

S奇-S偶a1（a3-a2）（an-an-1）a1n-1da中2，

S奇S偶1n1（a1an）n122，1n-1n-1S奇S偶Snn（a2an-1）S奇-S偶a中22

anS2n-1bnT2n-18、设

Sn和Tn分别表示等差数列{an}、{bn}的前n项和，则

）a中S2n-1（2n-1anbn 【说明】T2n-1（2n-1）b中【例】等差数列

{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若Sn5n1a，求15Tn3n-1b15

9、apq，aqp（pq），则apq0，d-1

3

-

Spq，Sqp（pq），则apq-p-q

SpS（qpq），则apq0

【说明】ap-aq（p-q）dp-qd-1，apqapqdq-q0

SpSq（aq1ap）Spq（aq1ap）（p-q）q-paq1ap-22（a1apq）（pq）（aq1ap）（pq）-p-q22

二、等比数列：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q表示；

2等比中项，如果Gab，那么G叫做a与b的等差中项；如果三个数成等比数列，那

么等差中项的平方等于另两项的积；

n-1等比数列{an}的通项公式：ana1q（nN）；

等比数列{an}的递推公式：anan1q（n2）；

na1，q1na（a1-anq11-q），q11-q1-q{a}S等比数列n的前n项和公式：n=

4

-

【等比数列的性质】

n-maaqnm1、

n-mm-1n-mn-1aqaqqaqan m11【说明】

2、若m、n、k、lN，且mnkl，amanakal

2mn-22kl-2a1qakal 【说明】amana1qma、a、a、，成等比数列，公比为qkkmk2m3、

【说明】

akmak2mqmakakm

n（n-1）k成等比数列，公比为q 4、Sk、S2k-Sk、S3k-S2kSnk-S【说明】

S2n-Snaan2a2nn1qnSna1a2an

2nn{a}aaa，apq，SA（q-1）nn-1n1nnn5、数列成等比数列

【说明】

ana1qn-1na1a（a1n11-q）q，Sn（qn-1）q1-qq-1

6、若数列{an}是等比数列，则{logcan}为等差数列，an0

5

-

【说明】

logcan-logcan-1logcanlogcqan-1

7、Sn是前n项和，S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，则SnS奇S偶；

a偶S奇-a1qqSa偶若n为偶数时，奇；当n为奇数时，；

a偶aa4an2qaaaa14n-1【说明】当n为偶数时，奇；

S奇-a1aa5an3qa2a4an-1当n为奇数时，S偶；

8、设Tn是前n项积，T奇表示奇数项的积，T偶表示偶数项的积，则TnT奇T偶

T偶Tnq2；当n为奇数时，奇a中，T奇a中T偶当n为偶数时，T奇；

nT偶aa4an2q2a2a4an-1【说明】当n为偶数时，T奇；

nT奇aa4ana12a中a2a4an-1当n为奇数时，T偶；

nT奇a1a2ana1ana2an-1a中。

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