三明市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

三明市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣A．

B．

C．

D．

y=0的距离是（ ）

2． 已知函数f（x）=ax﹣1+logax在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a，则实数a为（ ） A．

B．

C．2

D．4

3． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A．36种 B．38种 C．108种 D．114种

2224． 在ABC中，sinAsinBsinCsinBsinC，则A的取值范围是（ ）1111] A．(0,

] B．[,) C. (0,] D．[,) 66335． 三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（ ） A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a

6． 某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ） A．抽签法

B．随机数表法

C．系统抽样法

D．分层抽样法

，

=0，

7． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ） A．C．

B．D．

8． 若P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF1F2=A．

，则此椭圆的离心率为（ ） B．

C．

D．

=1（a＞b＞0）上的一点，且

9． 已知命题p：2≤2，命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A．￢p B．￢p∨q

C．p∧q D．p∨q

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10．定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ ） A．0

B．2

C．3

D．6

11．AB=6，AC=4如图，在△ABC中，A=45°，O为△ABC的外心，，则•等于（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

12．已知函数f(x)3x22axa2，其中a(0,3]，f(x)0对任意的x1,1都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T，则T（ ） A．22015 B．32015 C．3

2015

2

D．220152

二、填空题

13．若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z12i，则复数（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 14．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．

15．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

= ．

z1在复平面内对应的点在

|z1|2z2

ym16．设mR，实数x，y满足2x3y60，若2xy18，则实数m的取值范围是___________．

3x2y60【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力． 17．i是虚数单位，化简：

= ．

18．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．

三、解答题

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19．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）． （Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；

（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．

20．（本小题满分12分）

112xyx2y222设椭圆C:221(ab0)的离心率e，圆xy与直线1相切，O为坐标原

27abab点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q(4,0)任作一直线交椭圆C于M,N两点，记MQQN，若在线段MN上取一点R,使 得MRRN，试判断当直线运动时，点R是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.

21．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x （1）求f（x）最小正周期； （2）求f（x）在区间[

]上的最大值和最小值．

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22．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

2

（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e]上有两解，求实数m的取值范围；

（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+

23．已知函数f（x）=（1）求m和t的值；

．

在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）

（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

24．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．

（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集； （2）求不等式f（x）＜0的解集．

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三明市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C

2

【解析】解：抛物线y=2x的焦点F（，0），

由点到直线的距离公式可知： F到直线x﹣

y=0的距离d=

=，

故答案选：C．

2． 【答案】A

【解析】解：分两类讨论，过程如下：

①当a＞1时，函数y=ax﹣1 和y=logax在[1，2]上都是增函数， ∴f（x）=a

x﹣1

+logax

在[1，2]上递增，

∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+loga2+1=a， ∴loga2=﹣1，得a=，舍去；

②当0＜a＜1时，函数y=ax﹣1 和y=logax在[1，2]上都是减函数， ∴f（x）=a

x﹣1

+logax

在[1，2]上递减，

∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+loga2+1=a， ∴loga2=﹣1，得a=，符合题意； 故选A．

3． 【答案】A

【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法． 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．

②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案． 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种， 故选A．

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【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．

4． 【答案】C 【

解

析

】

考点：三角形中正余弦定理的运用. 5． 【答案】A

【解析】解：∵a=0.52=0.25， b=log20.5＜log21=0， c=20.5＞20=1， ∴b＜a＜c． 故选：A．

【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．

6． 【答案】C

【解析】解：由题意知，这个抽样是在传送带上每隔10分钟抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多， ∴是系统抽样法， 故选：C．

【点评】本题考查了系统抽样．抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．属于基础题．

7． 【答案】

A

【解析】

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进行简单的合情推理． 【专题】规律型；探究型．

【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的ai，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案． 【解答】因为

=

32

（a1×10+a2×10+a3×10+a4），

括号内表示的10进制数，其最大值为 9999； 从大到小排列，第2013个数为 9999﹣2013+1=7987

所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7 则第2013个数是故选A．

【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可． 8． 【答案】A 【解析】解：∵∴

∵Rt△PF1F2中，∴∴

又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的离心率为e=故选A

【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．

9． 【答案】D

【解析】解：命题p：2≤2是真命题，

2

方程x+2x+2=0无实根，

2

故命题q：∃x0∈R，使得x0+2x0+2=0是假命题，

，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．

，

=

，设PF2=t，则PF1=2t

=2c，

===

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故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题， 命题p∨q是真命题， 故选：D

10．【答案】D

【解析】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}， 则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4， 又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}， 其所有元素之和为6； 故选D．

【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．

11．【答案】A

【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点， 可得﹣2； 故选A．

【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题

12．【答案】C 【解析】

22试题分析：因为函数f(x)3x2axa，f(x)0对任意的x1,1都成立，所以，，则•==16﹣18=

f10，解得

f102015a3或a1，又因为a(0,3]，所以a3，在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数，使之与，构成等

2Ta1a2...a2015，比数列，两式相乘，根据等比数列的性质得Ta1a2015Ta2015a2...a1，

132015，

T3

20152

，故选C.

考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.

二、填空题

13．【答案】D 【

解

析

】

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14．【答案】

【解析】解：由方程组

解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，

121

故所求图形的面积为S=∫﹣1（2x）dx﹣∫﹣1（﹣4x﹣2）dx

．

=﹣（﹣4）=

故答案为：

【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．

15．【答案】 ﹣5 ．

2

【解析】解：求导得：f′（x）=3ax+2bx+c，结合图象可得 x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0，

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故，解得

故==﹣5

故答案为：﹣5

16．【答案】[3,6]. 【

解

析

】

17．【答案】 ﹣1+2i ．

【解析】解：

故答案为：﹣1+2i．

18．【答案】 180

【解析】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cna

rn﹣rr

b可设含

=

x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r

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2

可知r=2，所以系数为C10×4=180，

故答案为：180．

【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=﹣a=

，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1， ∵f（）＞2a﹣2， ∴lna+a﹣1＜0，

令g（a）=lna+a﹣1， ∴当0＜a＜1时，g（a）＜0， 当a＞1时，g（a）＞0， ∴a的取值范围为（0，1）．

∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，

【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．

x2y21；（2）点R在定直线x1上. 20．【答案】（1）43【解析】

试

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题解析：

ab1e2122122（1）由e，∴2，∴3a4b，又， 222a47abx2y21. 解得a2,b3，所以椭圆C的方程为43设点R的坐标为(x0,y0)，则由MRRN，得x0x1(x2x0)， 解得x0

x1x21x1x14x2x242xx4(x1x2)12

x14(x1x2)81x24k21232k2244又2x1x24(x1x2)2，

34k234k234k232k2242x1x24(x1x2)(x1x2)88，从而x1， 034k234k2(x1x2)8故点R在定直线x1上.

考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21．【答案】

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2

【解析】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+

sin（2x+），

∴它的最小正周期为（2）在区间=0， 当2x+

=

=π． 上，2x+

∈[

，

]，故当2x+

=

时，f（x）取得最小值为 1+

×（﹣

）

时，f（x）取得最大值为 1+×1=1+．

22．【答案】

【解析】解：（1）

．

因为x=2是函数f（x）的极值点， 所以a=2，则f（x）=

，

则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0； （2）当a=1时，

2

，其中x∈[，e]，

2

当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e]时，f'（x）＞0，

2

∴x=1是f（x）在[，e]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．

又，，

综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}； （3）

若a=1时，由（2）知f（x）=当n＞1时，令x=

等价于

，

在[1，+∞）上为增函数，

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，

即，∴．

故即

，

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即

23．【答案】

．

【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=由题意可得，f（）=即

=

，且

，f′（）=， =，

，

由m∈N，则m=1，t=8； （2）设h（x）=ax+﹣h（）=﹣≥0，即a≥， h′（x）=a﹣若≤x≤

，当a≥时，若x＞

，

＜0，g（x）在[，

]上递减，且g（）≥0， ，h′（x）＞0，①

，x≥．

，设g（x）=a﹣

g′（x）=﹣

则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②

≥0，

由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立； 当a＜时，h（）＜0，不合题意． 综上可得a≥．

【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．

24．【答案】

2

【解析】解：（1）当a=1时，依题意得x﹣3x+2≤0

因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0， 解得：x≥1或x≤2．

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∴1≤x≤2．

不等式的解集为{x|1≤x≤2}．

22

（2）依题意得x﹣3ax+2a＜0

∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0… 对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0 得x1=a，x2=2a 当a=0时，x∈∅．

当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a； 当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；

综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅； 当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}； 当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；

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