工程数学形成性考核册答案带题目

工程数学作业〔一〕答案〔总分值100分〕

第2章 矩阵

〔一〕单项选择题〔每题2分，共20分〕

a1 ⒈设b1a2b2a3a1b32，那么2a13b1a22a23b2a32a33b3〔D 〕．

c1c2c3c1c2c3 A. 4 B. －4 C. 6 D. －6

0001 ⒉假设

00a002001，那么a〔A 〕．

100a A.

12 B. －1 C. 12 D. 1 ⒊乘积矩阵1110324521中元素c23〔C 〕．

A. 1 B. 7 C. 10 D. 8

⒋设A,B均为n阶可逆矩阵，那么以下运算关系正确的选项是〔 B〕． A. AB1A1B1 B. (AB)1BA1

C. (AB)1A1B1 D. (AB)1A1B1

⒌设A,B均为n阶方阵，k0且k1，那么以下等式正确的选项是〔D A. ABAB B. ABnAB

C. kAkA D. kA(k)nA

⒍以下结论正确的选项是〔 A〕．

A. 假设A是正交矩阵，那么A1也是正交矩阵

B. 假设A,B均为n阶对称矩阵，那么AB也是对称矩阵 C. 假设A,B均为n阶非零矩阵，那么AB也是非零矩阵 D. 假设A,B均为n阶非零矩阵，那么AB0

⒎矩阵1325的相伴矩阵为〔 C〕．  A. 131325 B. 25

C. 535321 D. 21

⒏方阵A可逆的充分必要条件是〔B 〕．

A.A0 B.A0 C. A*0 D. A*0

⒐设A,B,C均为n阶可逆矩阵，那么(ACB)1〔D 〕．

A. (B)1A1C1 B. BC1A1

〕． C. AC(B) D. (B)CA

⒑设A,B,C均为n阶可逆矩阵，那么以下等式成立的是〔A 〕． A. (AB)A2ABB B. (AB)BBAB C. (2ABC)122221111112C1B1A1 D. (2ABC)2CBA

〔二〕填空题〔每题2分，共20分〕

21 ⒈140000 7 ． 111 ⒉11111x是关于x的一个一次多项式，那么该多项式一次项的系数是 2 ． 15 ⒊假设A为34矩阵，B为25矩阵，切乘积ACB有意义，那么C为 5×4 矩阵．

111

⒋二阶矩阵A001121 ⒌设A40,B3345

． 1

20，那么(AB)14063518 ⒍设A,B均为3阶矩阵，且AB3，那么2AB 72 ．

⒎设A,B均为3阶矩阵，且A1,B3，那么3(AB1)2 －3 ．

1a ⒏假设A为正交矩阵，那么a 0 ．

01212 ⒐矩阵402的秩为 2 ． 033A1 ⒑设A1,A2是两个可逆矩阵，那么O〔三〕解答题〔每题8分，共48分〕

OA21A11OO． 1A21211 ⒈设A求⑴AB；⑵AC；⑶2A3C；⑷A5B；⑸AB；,B43,C31，

35⑹(AB)C．

036AC答案：AB 01826227A5BAB 23120

617162A3C 37

475621(AB)C 15180

12114121103，求ACBC．

,B,C321 ⒉设A0122110021140246410 解：ACBC(AB)C321221020100231 ⒊A1234解：3A2X0102111，求满足方程3A2XB中的X．

1,B2211B

3412832115  X(3AB)25211

22271157115222 ⒋写出4阶行列式

101403中元素a41,a42的代数余子式，并求其值．

2306253110

020120答案：a41(1)414360 a42(1)4213645

253053 ⒌用初等行变换求以下矩阵的逆矩阵：

12122 ⑴ 212； ⑵ 12211解：〔1〕

1A|I221001r231r392342； ⑶

1110262210311111000100．

11011103021362922312001212212010123223129010102rr22r1r30100100190102313292r2r10132r2r3362100063201122992r3r110092122r3r2010999210012999A1192929291929292 91900226261711751120130(过程略) (3) A1〔2〕A11011021415301000 0111 ⒍求矩阵121011011101100的秩．

012101113201110110110110101101111101100110111012101rr1r21r32r1r40r2r40110100011100001解：

2113201011122100011011011r3r4011011100011100000000R(A)3

〔四〕证明题〔每题4分，共12分〕

⒎对任意方阵A，试证AA是对称矩阵．

证明：(AA')'A'(A')'A'AAA'

 AA是对称矩阵

⒏假设A是n阶方阵，且AAI，试证A1或1．

证明： A是n阶方阵，且AAI

 AAAAA2I1



A1或A1

⒐假设A是正交矩阵，试证A也是正交矩阵． 证明： A是正交矩阵

 A1A

 (A)1(A1)1A(A)

即A是正交矩阵

工程数学作业〔第二次〕(总分值100分)

第3章 线性方程组

〔一〕单项选择题(每题2分，共16分)

x1 ⒈用消元法得2x24x31x1x2x30的解x为〔C 〕．

x232x3 A. [1,0,2] B. [7,2,2] C. [11,2,2] D. [11,2,2]

111110110

x12x23x32 ⒉线性方程组x1x36〔B 〕．

3x3x423 A. 有无穷多解 B. 有唯独解 C. 无解 D. 只有零解

10013 ⒊向量组0,1,0,2,0的秩为〔 A〕． 00114 A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

10111001 ⒋设向量组为1,2,3,4，那么〔B 〕是极大无关组．

01110101 A. 1,2 B. 1,2,3 C. 1,2,4 D. 1

⒌A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，假设那个方程组无解，那么〔D〕． A. 秩(A)秩(A) B. 秩(A)秩(A) C. 秩(A)秩(A) D. 秩(A)秩(A)1

⒍假设某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，那么该线性方程组〔A 〕． A. 可能无解 B. 有唯独解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的选项是〔D 〕．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯独解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解

⒏假设向量组1,2,,s线性相关，那么向量组内〔A 〕可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

9．设A，Ｂ为n阶矩阵，既是Ａ又是Ｂ的特点值，x既是Ａ又是Ｂ的属于的特点向量，那么结论〔 〕成立．

Ａ．是AB的特点值 Ｂ．是A+B的特点值

Ｃ．是A－B的特点值 Ｄ．x是A+B的属于的特点向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n阶矩阵，假设等式〔Ｃ 〕成立，那么称Ａ和Ｂ相似． Ａ．ABBA Ｂ．(AB)AB Ｃ．PAP1B Ｄ．PAPB 〔二〕填空题(每题2分，共16分) ⒈当 １ 时，齐次线性方程组 ⒉向量组10,0,0,21,1,1线性 相关 ．

x1x20有非零解．

xx021 ⒊向量组1,2,3,1,2,0,1,0,0,0,0,0的秩是 ３ ．

⒋设齐次线性方程组1x12x23x30的系数行列式1230，那么那个方程组有 无穷多 解，且系数列向量1,2,3是线性 相关 的．

⒌向量组11,0,20,1,30,0的极大线性无关组是1,2． ⒍向量组1,2,,s的秩与矩阵1,2,,s的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX0中有5个未知量，且秩(A)3，那么其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．

⒏设线性方程组AXb有解，X0是它的一个特解，且AX0的基础解系为X1,X2，那么AXb的通解为X0k1X1k2X2．

9．假设是Ａ的特点值，那么是方程IA0 的根． 10．假设矩阵Ａ满足A1A ，那么称Ａ为正交矩阵． 〔三〕解答题(第1小题9分，其余每题11分) 1．用消元法解线性方程组

x13x22x3x43x8xx5x12342x1x24x3x4x14x2x33x460122

解：

132163rr132163rr11213812r1015r20r32r3507818rrrr1414A21411205810014132013480010197270101000110r411003r4r31r42019100010048110r378183033125613004212442rr141015r4r201546r4r30114013023019234819rr100317r3r2178185r3r40100010114056130000002x121001 方程组解为x21

0101x310013x43488183990122642124154614113323２．设有线性方程组

11x111y 211z 为何值时，方程组有唯独解?或有无穷多解?

112rr1111112rr1r31r3A11110112111011211解：

1122r3r011(1)200(2)(1)(1)(1) 当1且2时，R(A)R(A)3，方程组有唯独解

当1时，R(A)R(A)1，方程组有无穷多解

2213］

３．判定向量能否由向量组1,2,3线性表出，假设能，写出一种表出方式．其中

82353756,1,2,3 710310321 解：向量能否由向量组1,2,3线性表出，当且仅当方程组1x12x23x3有解

235810那个地点 A756311,2,3,01037003211000R(A)R(A)

 方程组无解

 不能由向量1,2,3线性表出

４．运算以下向量组的秩，同时〔1〕判定该向量组是否线性相关

13111732,9128,30,436

933413361311131111217390解：1,2,3,4280600018 39330000413360000该向量组线性相关

５．求齐次线性方程组

x13x2x32x405x1x22x33x40x111x22x 35x403x15x24x40的一个基础解系． 解：

13125rr13123r52A5123r1213r301437r1r414r1r102r3141112501437r2r40143003504014310000037341101170571127 03 11r214r3r4000010051431400112113r302300001005143140011rr12213112r3r202100001005143140000 1055xx31141433  方程组的一样解为x2x3 令x31，得基础解系 1414x4001 ６．求以下线性方程组的全部解．

x15x22x33x4113x1x24x32x45x19x24x

4175x13x26x3x41解：

1523113rr1523115r2r1A31425r127281r35r1r40142142r10r2r32r4190417014272801453611028414560000109711x7x1x114r21201121932410072000 方程组一样解为x11

2x3x200000724令x3k1，x4k2，那个地点k1，k2为任意常数，得方程组通解

x711k1k7121x192k192112211k22kx1k2 3x727k120014k2010７．试证：任一４维向量aa1,2,a3,a4都可由向量组

11110，1，11123，04001001

1线性表示，且表示方式唯独，写出这种表示方式．

1000证明：10 10021 32001 43 00001971122728000000 任一４维向量可唯独表示为

a11000a0aa100a0201a231a40a11a2(21)a3(32)a4(43)

3a40001(a1a2)1(a2a3)2(a3a4)3a44

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯独解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解． 证明：设AXB为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解，即R(A)R(A)n

从而AXB有唯独解当且仅当R(A)n

而相应齐次线性方程组AX0只有零解的充分必要条件是R(A)n

 AXB有唯独解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX0只有零解

9．设是可逆矩阵Ａ的特点值，且0，试证：1是矩阵A1的特点值．

证明：是可逆矩阵Ａ的特点值

 存在向量，使A



I(A1A)A1(A)A1()A1

A11 即

1是矩阵A1的特点值 10．用配方法将二次型fx21x2x2223x42x1x22x2x42x2x32x3x4化为标准型． 解：

f(xxx22x2212)23x42x2x422x32x3x4(x21x2)x32x3(x2x4)x42x2x4

(xx212)2(x3x2x4)2x2

 令y1x1x2，y2x3x2x4，y3x2，x4y4

x1y1y3即x2y3x3y2y

3y4x4y4那么将二次型化为标准型 fy21y222y3

工程数学作业〔第三次〕(总分值100分)

第4章 随机事件与概率

〔一〕单项选择题

⒈A,B为两个事件，那么〔 B〕成立．

A. (AB)BA B. (AB)BA C. (AB)BA D. (AB)BA ⒉假如〔 C〕成立，那么事件A与B互为对立事件． A. AB B. ABU

C. AB且ABU D. A与B互为对立事件

⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，那么前3个购买者中恰有1人中奖的概率为〔D A. C320.3 B. 0.3 C. 0.72100.70.3 D. 307.20.3 4. 关于事件A,B，命题〔C 〕是正确的．

．〕

A. 假如A,B互不相容，那么A,B互不相容 B. 假如AB，那么AB

C. 假如A,B对立，那么A,B对立

D. 假如A,B相容，那么A,B相容

⒌某随机试验的成功率为p(0p1),那么在3次重复试验中至少失败1次的概率为〔D 〕． A.(1p)3 B. 1p3 C. 3(1p) D. (1p)3p(1p)2p2(1p) 6.设随机变量X~B(n,p)，且E(X)4.8,D(X)096.，那么参数n与p分别是〔A 〕． A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2

7.设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，那么对任意的a,b(ab)，E(X)〔A 〕． A. C.

bxf(x)dx B.

baxf(x)dx f(x)dx

af(x)dx D.

8.在以下函数中能够作为分布密度函数的是〔B 〕．

3sinx,xsinx,0x A. f(x)22 B. f(x)2

其它其它0,0,3sinx,0xsinx,0x C. f(x) 2 D. f(x)0,其它其它0,9.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，那么对任意的区间(a,b)，那么

P(aXb)〔 D〕．

A. F(a)F(b) B. C. f(a)f(b) D.

babF(x)dx f(x)dx

a210.设X为随机变量，E(X),D(X)，当〔C 〕时，有E(Y)0,D(Y)1． A. YX B. YX

C. YX D. YX2

〔二〕填空题

⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，那么那个三位数是偶数的概率为

2． 52.P(A)0.3,P(B)05 .，那么当事件A,B互不相容时，P(AB) 0.8 ，P(AB) 0.3 ．3.A,B为两个事件，且BA，那么P(AB)PA．

4. P(AB)P(AB),P(A)p，那么P(B)1P．

5. 假设事件A,B相互，且P(A)p,P(B)q，那么P(AB)pqpq．

6. P(A)0.3,P(B)05那么当事件A,B相互时，P(AB) 0.65 ，P(AB) 0.3 ． .，

x007.设随机变量X~U(0,1)，那么X的分布函数F(x)x0x1．

1x18.假设X~B(20,0.3)，那么E(X) 6 ．

29.假设X~N(,)，那么P(X3)2(3)．

10.E[(XE(X))(YE(Y))]称为二维随机变量(X,Y)的 协方差 ． 〔三〕解答题

1.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算分别表示以下事件： ⑴ A,B,C中至少有一个发生； ⑵ A,B,C中只有一个发生； ⑶ A,B,C中至多有一个发生； ⑷ A,B,C中至少有两个发生； ⑸ A,B,C中不多于两个发生； ⑹ A,B,C中只有C发生．

解:(1)ABC (2)ABCABCABC (3) ABCABCABCABC (4)ABACBC (5)ABC (6)ABC

2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求以下事件的概率： ⑴ 2球恰好同色；

⑵ 2球中至少有1红球．

解:设A=〝2球恰好同色〞，B=〝2球中至少有1红球〞

22112C3C2C3C2C3312639P(A)P(B) 221051010C5C53. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，假如第一道工序出次品那么此零件为次品；假

如第一道工序出正品，那么由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．

解：设Ai〝第i道工序出正品〞〔i=1,2〕

P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)(10.02)(10.03)0.9506

4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．

解：设A1\"产品由甲厂生产\" A2\"产品由乙厂生产\" A3\"产品由丙厂生产\"

B\"产品合格\"

P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3) 0.50.90.30.850.20.800.865

5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．他每发命中的概率是p，求所需设计次数X的概率分布． 解：P(X1)P

P(X2)(1P)P P(X3)(1P)2P …………

P(Xk)(1P)k1P …………

故X的概率分布是

23k1p(1p)p(1p)2p(1p)k1p 6.设随机变量X的概率分布为

1234560 01.0.20.3012.01.0.03.015试求P(X4),P(2X5),P(X3)．

解：

P(X4)P(X0)P(X1)P(X2)P(X3)P(X4)0.10.150.20.30.120.87 P(2X5)P(X2)P(X3)P(X4)P(X5)0.20.30.120.10.72 P(X3)1P(X3)10.30.7 7.设随机变量X具有概率密度

2x,0x1f(x)

其它0,试求P(X11),P(X2)． 241解：P(X)212f(x)dx1202xdx122x01141 41P(X2)4214f(x)dx212xdxx4115 162x,0x18. 设X~f(x)，求E(X),D(X)．

其它0,解：E(X)2xf(x)dxx2xdx0123x3102 32411x0

042121D(X)E(X2)[E(x)]2()2

231. 设X~N(1,0.62)，运算⑴P(0.2X18.)；⑵P(X0)． 解：

X1P(0.2X1.8)P(1.331.33)(1.33)(1.33)2(1.33)120.908210.81

0.2X1P(X0)P(1.67)1(1.67)10.95250.0475

0.6E(X)xf(x)dx21x22xdx1n10.设X1,X2,,Xn是同分布的随机变量，E(X1),D(X1)，设XXi，求

ni1E(X),D(X)．

21解：E(X)E(n X)nE(Xii1n111X2Xn)[E(X1)E(X2)E(Xn)]

n1n nn111D(X)D(Xi)2D(X1X2Xn)2[D(X1)D(X2)D(Xn)]

ni1nn11 2n22

nn

工程数学作业〔第四次〕

第6章 统计推断

〔一〕单项选择题

⒈设x1,x2,,xn是来自正态总体N(,)〔,均未知〕的样本，那么〔A〕是统计量． A. x1 B. x1 C.

D. x1

222 ⒉设x1,x2,x3是来自正态总体N(,)〔,均未知〕的样本，那么统计量〔D〕不是的无偏估量．

1 A. max{x1,x2,x3} B. (x1x2)

2 C. 2x1x2 D. x1x2x3

22x12

〔二〕填空题

1．统计量确实是 不含未知参数的样本函数 ．

2．参数估量的两种方法是 点估量 和 区间估量 ．常用的参数点估量有 矩估量法 和 最大似然估量 两种方法．

3．比较估量量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．

2

4．设x1,x2,,xn是来自正态总体N(,)〔〕的样本值，按给定的显著性水平检验

2/n 5．假设检验中的显著性水平为事件|x0|u〔u为临界值〕发生的概率．

〔三〕解答题

1．设对总体X得到一个容量为10的样本值

4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0

试分别运算样本均值x和样本方差s2．

H0:0;H1:0，需选取统计量Ux0．

1101x解： xi10363.6 10i1

11012(xx)25.92.878 si101i192

2．设总体X的概率密度函数为

(1)x,0x1 f(x;)0,其它试分别用矩估量法和最大似然估量法估量参数． 解：提示教材第214页例3

11nˆ2x1 xxi,矩估量：E(X)x(1)xdx02ni11x1最大似然估量：

L(x1,x2,,xn;)(1)xi(1)n(x1x2xn)

i1nndlnLnlnLnln(1)lnxi,lnxi0，ˆd1i1i1nnlnxi1n1

i 3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为〔单位：m〕：

108.5 109.0 110.0 110.5 112.0

2222

测量值能够认为是服从正态分布N(,)的，求与的估量值．并在⑴2.5；⑵未知的情形下，分别求的置信度为0.95的置信区间．

151522ˆxxi110 ˆs解： (xix)1.875

5i151i1 〔1〕当22.5时，由1－α＝0.95，()120.975 查表得：1.96

故所求置信区间为：[x222ns,xns][108.6,111.4]

〔2〕当未知时，用s替代，查t (4, 0.05 ) ，得 故所求置信区间为：[x2.776

nn24．设某产品的性能指标服从正态分布N(,)，从历史资料4，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平005.，问原假设H0:20是否成立．

x017203|||0.237， 解：|U||43.162/n4/10由()1,x][108.3,111.7]

2因为 |U|0.237 > 1.96 ，因此拒绝H0

0.975 ，查表得：1.96

5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为〔单位：cm〕：

20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化〔005.〕．

2解：由条件可求得：x20.0125 s0.0671

|T||x0s/n0.259/8t(n1,0.05)t(9,0.05)2.62

||20.012520|0.0350.1365 0.259∵ | T | < 2.62 ∴ 同意H0

即用新材料做的零件平均长度没有变化。