数字信号处理实验报告三--用FFT对信号作频谱分析

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实验报告

实验三用FFT对信号作频谱分析

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一、实验目的

学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便正确应用FFT。

二、实验原理与方法

用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2/N，因此要求2/ND。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。

周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。

对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。

三、实验内容及步骤

（1）对以下序列进行谱分析。

x1(n)R4(n)n1,0n3 x2(n)8n,4n7

0,其他n4n,0n3x3(n)n3,4n70,其他n页脚内容1

实验报告

选择FFT的变换区间N为8和16 两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线。并进行对比、分析和讨论。

（2）对以下周期序列进行谱分析。

x4(n)cos4n

x5(n)cos(n/4)cos(n/8)

选择FFT的变换区间N为8和16 两种情况分别对以上序列进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线。并进行对比、分析和讨论。

（3）对模拟周期信号进行谱分析

x6(t)cos8tcos16tcos20t

选择采样频率Fs64Hz，变换区间N=16,32,64 三种情况进行谱分析。分别打印其幅频特性，并进行分析和讨论。

四、实验结果

(1) 实验源程序

% 用FFT对信号作频谱分析 clear all;close all

%实验内容(1)=================================================== x1n=[ones(1,4)]; %产生序列向量x1(n)=R4(n)

M=8;xa=1:(M/2); xb=(M/2):-1:1; x2n=[xa,xb]; %产生长度为8的三角波序列x2(n)

x3n=[xb,xa];

X1k8=fft(x1n,8); %计算x1n的8点DFT X1k16=fft(x1n,16); %计算x1n的16点DFT X2k8=fft(x2n,8); %计算x1n的8点DFT X2k16=fft(x2n,16); %计算x1n的16点DFT X3k8=fft(x3n,8); %计算x1n的8点DFT X3k16=fft(x3n,16); %计算x1n的16点DFT %以下绘制幅频特性曲线

subplot(3,2,1);mstem(X1k8); %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(1a) 8点DFT[x_1(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k8))])

subplot(3,2,2);mstem(X1k16); %绘制16点DFT的幅频特性图

xlabel({'ω/π';'(1b)16点DFT[x_1(n)]'});ylabel('幅度');

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axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k16))])

subplot(3,2,3);mstem(X2k8); %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(2a) 8点DFT[x_2(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k8))])

subplot(3,2,4);mstem(X2k16); %绘制16点DFT的幅频特性图

xlabel({'ω/π';'(2b)16点DFT[x_2(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k16))])

subplot(3,2,5);mstem(X3k8); %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(3a) 8点DFT[x_3(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k8))])

subplot(3,2,6);mstem(X3k16); %绘制16点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(3b)16点DFT[x_3(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k16))])

%实验内容(2) 周期序列谱分析================================== N=8;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=8 x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);

X4k8=fft(x4n); %计算x4n的8点DFT X5k8=fft(x5n); %计算x5n的8点DFT N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16 x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);

X4k16=fft(x4n); %计算x4n的16点DFT X5k16=fft(x5n); %计算x5n的16点DFT figure(2)

subplot(2,2,1);mstem(X4k8); %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(4a) 8点DFT[x_4(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k8))])

subplot(2,2,3);mstem(X4k16); %绘制16点DFT的幅频特性图

xlabel({'ω/π';'(4b)16点DFT[x_4(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k16))])

subplot(2,2,2);mstem(X5k8); %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(5a) 8点DFT[x_5(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k8))])

subplot(2,2,4);mstem(X5k16); %绘制16点DFT的幅频特性图

xlabel({'ω/π';'(5b)16点DFT[x_5(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k16))])

%实验内容(3) 模拟周期信号谱分析=============================== figure(3)

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Fs=64;T=1/Fs;

N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16 x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)16点采样 X6k16=fft(x6nT); %计算x6nT的16点DFT X6k16=fftshift(X6k16); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F

k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）

subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),'.');box on %绘制8点DFT的幅频特性图

xlabel({'f(Hz)';'(6a) 16点|DFT[x_6(nT)]|'});ylabel('幅度'); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k16))])

N=32;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16 x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)32点采样 X6k32=fft(x6nT); %计算x6nT的32点DFT X6k32=fftshift(X6k32); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F

k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）

subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),'.');box on %绘制8点DFT的幅频特性图

xlabel({'f(Hz)';'(6b) 32点|DFT[x_6(nT)]|'});ylabel('幅度'); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k32))])

N=64;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16 x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)64点采样 X6k64=fft(x6nT); %计算x6nT的64点DFT X6k64=fftshift(X6k64); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F

k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）

subplot(3,1,3);stem(fk,abs(X6k64),'.'); box on %绘制8点DFT的幅频特性图

xlabel({'f(Hz)';'(6c) 64点|DFT[x_6(nT)]|'});ylabel('幅度'); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k64))])

（2）实验运行结果及其分析

为了便于观察频谱、读取频率值对实验结果进行分析，以下对π进行了归一化，即以下分析均以/作为横坐标。

k2kNk0,1,2,,N1

1.实验内容一：

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幅度2000.511.5ω/π(1a) 8点DFT[x1(n)]2幅度4420011.5ω/π(1b)16点DFT[x1(n)]0.5220幅度20幅度10000.511.5ω/π(2a) 8点DFT[x2(n)]2100011.5ω/π(2b)16点DFT[x2(n)]0.52幅度10000.511.5ω/π(3a) 8点DFT[x3(n)]2幅度2020100011.5ω/π(3b)16点DFT[x3(n)]0.52

实验结论：

图（1a）和（1b）说明

x1(n)R4(n)的8点DFT和16点DFT分别是

，所以，

与

x1(n)x2(n)的频谱函数的8点DFT

的8点和16点采样；因为

x3(n)x2((n3))8R8(n)x3(n)与

的模相等，如图（2a）和（3a）。但是，当N=16时，所以图（2b）和（3b）的模不同。

2.实验内容二：

x3(n)x2(n)不满足循环移位关系，

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4幅度幅度64200.511.5ω/π(4a) 8点DFT[x4(n)]2000.511.5ω/π(5a) 8点DFT[x5(n)]232108幅度幅度8642011.5ω/π(4b)16点DFT[x4(n)]0.520011.5ω/π(5b)16点DFT[x5(n)]0.526420

实验结论：对周期序列谱分析

x4(n)cos(n)4的周期为8，所以N=8和N=16均是其周期的整数倍，得到正确的单一

频率正弦波的频谱，仅在0.25π处有1根单一谱线。如图(4a)和(4b)所示。

x5(n)cos(n)cos(n)48的周期为16，所以N=8不是其周期的整数倍，得到的频谱

不正确，如图(5a)所示。N=16是其一个周期，得到正确的频谱，仅在0.25π和0.125π处有2根单一谱线,如图(5b)所示。

3.实验内容三：

页脚内容6

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实验结论：

对模拟周期信号谱分析

x6(t)cos8tcos16tcos20tx6(t)采样频率不是

有3个频率成分，

f14Hz,f28Hz,f310Hz 。所以

x6(t)的周期为0.5s。

Fs64Hz16f18f26.4f3 。变换区间N=16时，观察时间Tp=16T=0.25s，

x6(t)的整数倍周期，所以所得频谱不正确，如图（6a）所示。变换区间N=32,64 时，

观察时间Tp=0.5s，1s，

x6(t)是的整数周期，所以所得频谱正确，如图（6b）和（6c）所

示。图中3根谱线正好位于 4、8、10Hz处。变换区间N=64时频谱幅度是变换区间N=32时的2倍，这种结果正好验证了用DFT对中期序列谱分析的理论。

五、思考题(选做)

（1）对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？（2）如何选择FFT的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）（3）当N=8时，x2(n)和

x3(n)的幅频特性会相同吗？为什么？N=16 呢？

答：(1) 周期信号的周期预先不知道时,可先截取M点进行DFT,再将截取长度扩大1倍截取,比较结果,如果二者的差别满足分析误差要求,则可以近似表示该信号的频谱,如果不

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满足误差要求就继续将截取长度加倍,重复比较,直到结果满足要求。

(2) 对于非周期信号：有频谱分辨率F，而频谱分辨率直接和FFT的变换区间有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2π/N...因此有最小的N>2π/F。就可以根据此式选择FFT的变换区间。对于周期信号，周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。

x(n)(3) 由实验内容一的运行结果知，x2(n)和3的幅频特性是相同的，因为 x3(n)x2((n3))8R8(n)但是,当N=16时，

六、实验总结

通过实验，我知道了用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2л／N≤D。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。

对模拟信号进行频谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，然后按照周期序列的频谱分析方法进行分析。

，所以,

x3(n)与

x2(n)的8点DFT的模相等，如图（2a）和（3a）。

x3(n)与

x2(n)不满足循环移位关系，所以图（2b）和（3b）的模不同。

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