基本逻辑关系

通常，把反映“条件”和“结果”之间的关系称为逻辑关系。如果以电路的输入信号反映“条件”，以输出信号反映“结果”，此时电路输入、输出之间也就存在确定的逻辑关系。数字电路就是实现特定逻辑关系的电路，因此，又称为逻辑电路。逻辑电路的基本单元是逻辑门，它们反

映了基本的逻辑关系。

基本逻辑关系和逻辑门

基本逻辑关系和逻辑门

逻辑电路中用到的基本逻辑关系有与逻辑、或逻辑和非逻辑，相应的逻辑门为与门、或门及非门。

一、与逻辑及与门

与逻辑指的是：只有当决定某一事件的全部条件都具备之后，该事件才发生，否则就不发生的一种因果关系。

如图2.1.1所示电路，只有当开关A与B全部闭合时，灯泡Y才亮；若开关A或B其中有一个不闭合，灯泡Ｙ就不亮。

这种因果关系就是与逻辑关系，可表示为Y＝A•B，读作“A与B”。在逻辑运算中，与逻辑称为逻辑乘。

（a）常用符号

图2.1.1 与逻辑举例 （b）国标符号

与门是指能够实现与逻辑关系的门电路。与门具有两个或多个输入端，一个输出端。其逻辑符号如图2.1.2所示，为简便计，输入端只用A和B两个变量来表示。

与门的输出和输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为： Y＝A•B＝AB

两输入端与门的真值表如表2.1.1所示。波形图如图2.1.3所示。

表2.1.1 与门真值表

A B Y 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 图2.1.2 与逻辑符号 图2.1.3 与门的波形图

由此可见，与门的逻辑功能是，输入全部为高电平时，输出才是高电平，否则为低电平。 二、或逻辑及或门

或逻辑指的是：在决定某事件的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件具备，该事件就会发生；当所有条件都不具备时，该事件才不发生的一种因果关系。

如图2.1.4所示电路，只要开关A或B其中任一个闭合，灯泡Y就亮；A、B都不闭合，灯泡Y才不亮。这种因果关系就是或逻辑关系。可表示为：

Y＝A＋B

读作“A或B”。在逻辑运算中或逻辑称为逻辑加。

图2.1.4 或逻辑举例

（a）常用符号 （b）国标符号 图2.1.5 或逻辑符号

或门是指能够实现或逻辑关系的门电路。或门具有两个或多个输入端，一个输出端。其逻辑符号如图2.1.5所示。

或门的输出与输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为： Y＝A＋B

两输入端或门电路的真值表和波形图分别如表2.1.2和图2.1.6所示。

表2.1.2 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 0 1 1 1 图2.1.6 或门的波形图

由此可见，或门的逻辑功能是，输入有一个或一个以上为高电平时，输出就是高电平；输入全为低电平时，输出才是低电平。

三、非逻辑及非门

非逻辑是指：决定某事件的唯一条件不满足时，该事件就发生；而条件满足时，该事件反而不发生的一种因果关系。

（a）常用符号 （b）国标符号 图2.1.7 非逻辑举例 图2.1.8 非逻辑符号 如图2.1.7所示电路，当开关A闭合时，灯泡Y不亮；当开关A断开时，灯泡Y才亮。这种因果关系就是非逻辑关系。可表示为Y＝A，读作“A非”或“非A”。在逻辑代数中，非逻辑称为“求反”。

非门是指能够实现非逻辑关系的门电路。它有一个输入端，一个输出端。其逻辑符号如图2.1.8所示。

非门的输出与输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为： Y＝A

A Y 0 1 1 0

图2.1.9 非门的波形图

其真值表和波形图分别如表2.1.3和图2.1.9所示。

由此可见，非门的逻辑功能为，输出状态与输入状态相反，通常又称作反相器。

复合逻辑门

由与门、或门和非门可以组合成其他逻辑门。把与门、或门、非门组成的逻辑门叫复合门。常用的复合门有与非门、或非门、异或门、与或非门等。

一、与非门

将一个与门和一个非门按图2.1.10连接，就构成了一个与非门。与非门有多个输入端，一个输出端。三端输入与非门的逻辑符号如图2.1.11所示，它的逻辑表达式为：

Y＝A•B•C＝ABC

（a）常用符号 （b）国标符号 图2.1.10 与非逻辑

图2.1.11 与非逻辑符号 真值表和波形图分别如表2.1.4和图2.1.12所示。

A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Y 1 1 1 1 1 1 1 0

由此可知，与非门的逻辑功能为：当输入全为高电平时，输出为低电平；当输入有低电平时，输出为高电平。

二、或非门

把一个或门和一个非门连接起来就可以构成一个或非门，如图2.1.13所示。或非门也可有多个输入端和一个输出端。

三端输入或非门的逻辑符号如图2.1.14所示，它的逻辑表达式为：

Y=ABC

真值表和波形图分别如表2.1.5和图2.1.15所示。

由此可知，或非门的逻辑功能为：当输入全为低电平时，输出为高电平；当输入有高电

表2.1.5

平时，输出为低电平。

A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 0

三、异或门

当两个输入变量的取值相同时，输出变量取值为0；当两个输入变量的取值相异时，输出变量取值为1。这种逻辑关系称为异或逻辑。能够实现异或逻辑关系的逻辑门叫异或门。异或门只有两个输入端和一个输出端，其逻辑符号如图2.1.16（a）所示。 异或门的逻辑表达式为：

B+A· Y＝A·B＝A⊕B

式中，符号⊕表示异或逻辑。

异或门真值表如表2.1.6所示。波形图如图（b）所示。

异或门表2.1.6 异或门真值表 的逻辑功能 可简述为：输

入相异，输出为高电平。输入相同，输出为低电平。

A B Y 0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 0

四、与或非门

把两个与门、一个或门和一个非门联结起来，就构成了与或非门。它有多个输入端、一个输出端，逻辑符号如图2.1.17（a）所示。其逻辑表达式为： Y＝ABCD

真值表如表2.1.7所示，波形图见图2.1.17（b）。与或非门的逻辑功能是：当任一组与门输入端全为高电平或所有输入端全为高电平时，输出为低电平；当任一组与门输入端有低平或所有输入端全为低电平时，输出为高电平。

表2.1.7与或非门真值表

输 入 A B C D 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 输 出 Y 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 2.2 逻辑代数基础

逻辑代数是讨论逻辑关系的一门学科，它是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔（George·Boole）创立的，故又称布尔代数。

逻辑代数也是用字母表示变量，但是逻辑代数和普通代数有着根本的区别。逻辑代数中的逻辑变量只有两种可能取值—— 0和1，而且这里的0和1不同于普通代数中的0和1。它只表示两种对立的逻辑状态，并不表示数量的大小。

2.2.1 逻辑代数的基本定理与规则

在逻辑运算中，基本的逻辑关系有与、或、非三种。在逻辑代数中，相应地也有三种基本运算，即与运算、或运算和非（求反）运算。

1. 与运算（逻辑乘）

图T1101所示与门电路的逻辑关系为Y＝AB，由此可得与运算的规则为： 0·0＝0 0·1＝0 1·0＝0 1·1＝1 A·0＝0 A·1＝A A·A＝Ａ 2. 或运算（逻辑和）

图T1104所示或门电路的逻辑关系为Y＝A＋B，由此可得或运算的规则为： 0+0＝0 0+1＝1 1+0＝1 1+1＝1 A+0＝A A+1＝1 A+A＝A 3. 非运算（求反运算）

图T1107所示非门电路的逻辑关系为Y＝A，由此可得非运算的规则为： 0＝1 1＝0

A+A＝1 A·A＝０ A＝A

2.2.2 逻辑代数的基本定律

逻辑代数不但有与普通代数相似的交换律、结合律和分配律，其本身还有一些特殊定律。常用的定律如下：

（1）交换律 A·B＝B·A A＋B＝B＋A （2）结合律 （A·B）·C＝A·（B·C）

（A＋B）＋C ＝A＋（B＋C） （3）分配律 A·（B＋C）＝Ａ·B＋Ａ·C A十BC＝（A+B）（A+C） （4）重迭律 A·A＝A A＋Ａ＝A （5）0-1律 0·Ａ＝0 0＋Ａ＝Ａ 1·Ａ＝Ａ 1＋Ａ＝1 （6）互补律 A·A＝0 A＋A＝1

B （7）摩根定律 A•B＝A＋B AB＝A· （8）吸收律 A·（A＋B）＝A A＋AB＝Ａ

1）与门(AND Gate)

[学生活动] 通过演示实验，学习与门电路的逻辑关系。观察实验结果，填写真值表。

输入 A 0 0 1 1

B 0 1 0 1 输出 Z 0 0 0 1

（2）或门(OR Gate)

[学生活动] 分组实验，填写真值表。

输入 A 0 0 1 1

B 0 1 0 1 我们把输入A与输入B均是高电势时，输出Z才是高电势的逻辑电路叫做与门。 [讨论]与逻辑为：当决定某一事件的所有条件全部具备时，这一事件才会发生。 与门用来实现与逻辑关系的电路。

A 与门的符号 ＆ Z B 输出 Z 0 1 1 1 我们把输入A与输入B任一个或者两个都为高电势时，输出Z就为高电势的逻辑电路叫做或门。

[讨论]或逻辑为：当决定某一事件的各个条件中，只要一个或一个以上条件成立，这一事件就会发生。

与门的符号

A

B

（2）非门(NOT Gate)

观察演示实验，填写真值表。

输入 A 0 1

我们把输入A为高电势时输出Z为低电势输入A为低电势时输出Z为高电势的逻辑电路叫做非门。

非逻辑为：当某一事件的发生总是和条件相反，即条件成立，事件不发生；条件不成立，事件发生。

非门的符号

A 1 Z

≥1 Z

输出 Z 1 0