等差数列的教学设计

吴忠高级中学 李海毅

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时教学内容。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在教学时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。

三、教学目标

1. 理解等差数列的概念，掌握其通项公式及实质并会熟练应用.

2. 通过对等差数列概念及通项公式的归纳、抽象和概括，体验等差数列概念的形成过程，培养学生的抽象、概括能力．

3. 培养从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，并锻炼学生归纳、猜想、论证的能力．

四、教学重点与难点

重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

五、教学过程

教学环节

情境设计和学习任务

学生活动

上两节课我们学习了数列的定义及给

倾听 出数列和表示的数列的几种方法——列举

创设法、通项公式、递推公式、图象法,这些方情景 法从不同的角度反映数列的特点。

在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列．这些问题该怎样解决呢？ 由学生观察分析并得出答案： 观察分析，发表各自的意见

在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___,___,___,___,„

2000年,在澳大利亚举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目,该项目共设探索

置了7个级别,其中较轻的4个级别体重组

研究 成数列(单位:kg):48,53,58,63

水库的管理人员为了保证优质鱼类有

良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5

思考：同学们观察一下上面的这三个数列： 观察分析并得出答案: 0，5，10，15，20，„„„„ ① 引导学生观察相邻两项间的关48, 53, 58 ,63 „„ „„ ② 系，得到： 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 对于数列①，从第2项起，每一

看这些数列有什么共同特点呢？

项与前一项的差都等于 5 ； 发现

对于数列②，从第2项起，每一

规律 项与前一项的差都等于 5 ；

对于数列③，从第2项起，每一

项与前一项的差都等于 -2.5 ； 由学生归纳和概括出，以上三个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

[等差数列的概念] 由学生归纳和概括出，以上三个

等差数列：一般地，如果一个数列从第数列从第2项起，每一项与前一项的2项起，每一项与它的前一项的差等于同一差都等于同一个常数（即：每个都具个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 有相邻两项差为同一个常数的特点）。

总结

这个常数叫做等差数列的公差，公差通学生认真阅读课本相关概念，找出关提高 常用字母d表示。

键字。

数学语言：

anan1d(d是常数，n2,nN*)或an1and(d是常数,n1,nN*)第 2 页 共 4 页

设计意图 课堂引入

引向课题

通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。

通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。

（注：公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求。）

提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13„中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。由此看来，

a2a4a1a5,a4a6a3a7 从而可得在一等差数列中，若m +n =p+q 则 amanapaq

[等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。

以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为

总结提高 ana1(n1)d

也就是说，只要我们知道了等差数列的

首项a1和公差d，那么这个等差数列的通项

an就可以表示出来了。

例1、⑴求等差数列8，5，2，„的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，„的项？如果是，是第几项？ 分析：

⑴要求出第20项，可以利用通项公式应用

求出来。首项知道了，还需要知道的是该等

巩固 差数列的公差，由公差的定义可以求出公差⑵这个问题可以看成是上面那个问题

的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。第 3 页 共 4 页

由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A 所以就有 Aab2 深入探究，得到更一般化的结论

引导学生根据等差数列的定义进行探索、猜想、寻求等差数列的通项公式： a2a1d

a3a2da12d a4a3da13d

„„ 由此可得：

ana1(n1)d

让两个学生分别对这两小题加以分

析。

解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得

a208(211)(3)49 ⑵由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得

这个数列的通项公式为an54(n1)4n1,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

让学生

参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。

引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。

学会发现规律，并加以总结。

让学生参与课堂。

随堂练习1：课本39页“练习”第1题

和第2题

完成练习

讲练结合，有利提高学生的知识应用

4n34(n1)3水平,加深对

概念的理解。

随堂练习2：（1）已知在等差数列an，

an4n3，求首项a1和公差d。

(2)已知在等差数列an中，danan1a520,a2035,求通项公式an.

=4

naa(n1)da点拨：在n中，n，1解：(1) a1=4*1-3=1,

a1，d四个量中已知三个，运用方程思想求出另一个。

本节主要内容为： ① 等差数列定义：

课堂

即anan1d(n≥2)

小结 ②等差数列通项公式：

ana1(n1)d(n≥1)

推导出公式：anam(nm)d 1、已知{an}是等差数列. ⑴ 2a5a3a7是否成立？

2a5a1a9呢？为什么？ ⑵ 拓展2anan1an（1n1）是否成立？据此你能得出什么结论？ 延伸

2anankan（kn1）是否成立？据此你又能得出什么结论？

2、已知等差数列{an}的公差为d.求证：

amanmnd

课本第40页习题2、2 A组：第1题；第3题；

课后

作业

六、教学反思

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(2)∵a520，a2035，则

a14d20a116a119d35d1 ∴ana1(n1)d15n

以学习小组为单位，在学习小组中，各自归纳自己对这堂课的收获，后由小组代表总结归纳。

进行学习小组讨论。

学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识。

引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。

作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究思考。